Вот это — иллюстрация к теореме о пределе суммы.

(image credit: Илья Щуров, Математический анализ)

Это иллюстрация к многочленам Тейлора (картинка интерактивная — степень многочлена можно менять!):

(image credit: Илья Щуров, Математический анализ)

А это уже одна иллюстрация из учебника по ОДУ:

(image credit: Илья Щуров, Обыкновенные дифференциальные уравнения)

А ещё — если речь зашла об анализе, давайте я порекламирую серию видео "Essence of calculus" 3Blue1Brown; вот кадр из главы о рядах Тейлора:

(Image credit: 3Blue1Brown, Essence of calculus, Chapter 11: Taylor series)

На фото (с лекции этим утром в школе "Интеллектуал"): Григорий Мерзон засовывает теорему Пифагора в блендер/центрифугу, размазывая прямоугольный треугольник до полной однородности.
Площадь πb^2 кольца, заметённого вторым катетом, равна разности площади πc^2 большого круга, заметённого гипотенузой, и площади πa^2 малого круга, заметённого первым катетом.

Это — частный случай велосипедной теоремы: пусть отрезок-велосипед (у которого вершина-заднее колесо может двигаться только в направлении отрезка-рамы, а вот вершина-рулевое колесо — куда угодно) проезжает по какому-то пути и возвращается в исходное положение, сделав один "оборот". Рассмотрим кривые, по которым проехали переднее и заднее колёса, и ограничиваемые ими площади (с учётом знака и/или кратности, если кривые самопересекающиеся). Тогда разница между этими площадями равна πb^2, где b — длина рамы велосипеда.

На фото: доказательство теоремы. Путь заднего колеса приближается многоугольником, и тогда переднее едет то по прямой, то по дугам окружностей радиуса b (когда нужно повернуть), см. "сектора" на этой фотографии. И получается в точности теорема о сумме внешних углов многоугольника!

А вот соответствующая статья в "Квантике" — https://dev.mccme.ru/~merzon/pscache/pythagoras-final.jpg (Квантик, 2019, №8; рис. — А.Вайнер)

В эту субботу был на Фестивале "Квантика" в Новой школе — ставил станцию с физическими опытами. Кажется, неплохо получилось!
На фото и видео: в заполненный углекислым газом (из сухого льда на дне) сосуд Дьюара медленно опускается горящая зажигалка. В тот момент, когда она опускается в сам углекислый газ — пламя от неё отрывается: газ из неё в CO2 не горит, но успевает подняться до огонька и сгореть там. Так что огонёк пляшет на границе между углекислым газом и воздухом — зажигалка отдельно, пламя отдельно!

Кстати — отсюда видно, сколь углекислый газ коварен: на глаз его совершенно не видно, кажется, что дьюар заполнен воздухом. (И он в полтора раза тяжелее воздуха — поэтому и в сосуде накапливается и не разлетается.)

На всякий случай: при работе с сухим льдом нужно соблюдать технику безопасности! Не хвататься за него голыми руками — можно обжечься, как-никак минус 79 градусов; работать — и хранить — только в хорошо проветриваемом помещении (ибо углекислый газ, которым дышать нельзя, а ещё умеет незаметно накапливаться у пола); его нельзя хранить в герметично закрытой ёмкости — её разорвёт газом; в общем — если захочется повторить, пожалуйста, аккуратно изучите ТБ до того, как что-либо делать!

А тут над таким же слоем углекислого газа "висят" мыльные пузыри — наполненные обычным воздухом и потому спокойно над углекислым газом плавающие!
(Тут фото уже не с фестиваля — увы, там сфотографировать не успел)

P.S. За дьюар (и за удобную зажигалку и за большой УФ-фонарик, с которым флуоресценция тоника была хорошо видна даже днём) спасибо коллегам-химикам, которые ставили соседнюю станцию; у них было здорово — но, каюсь, их я сфотографировать не успел, дети шли потоком. 🙂

1. Три человека со стиральной машиной хотят переправиться через реку. Катер вмещает либо двух человек и стиральную машину, либо трёх человек.

Беда в том, что стиральная машина тяжёлая, поэтому погрузить её в катер или вытащить из него можно только втроём. Смогут ли они переправиться?

Автор задач: Александр Шаповалов

http://www.ashap.info/Zadachi/Perepravy-m.html

для любителей переправ у А.В.Шаповалова есть много задач

(ну и на его сайте есть и много другого интересного)

Есть такая классическая задача: вдоль экватора Земли натянута верёвка; её удлинили на 1 метр, подняв равномерно везде. Пройдёт ли теперь под ней мышка? А кошка? А человек? (Землю считаем идеально сферической.)

Ну и у неё есть столь же классическое решение: длина окружности радиуса R равна 2πR, поэтому новый радиус это
(2πR+1м)/2π = R+ (1/2π)метра,
так что верёвку надо будет поднять примерно на 16 см — кошка спокойно пройдёт. (Что может показаться удивительным, потому что казалось бы, огромный экватор удлинили всего-то на 1м, разве можно увидеть какой-то зримый эффект?)

А этой весной у меня коллега (Беатрис) спросила — а нет ли у этого какой-нибудь геометрической интерпретации?

И вот решение задачи с ТурЛома, как мне кажется, как раз и является такой геометрической интерпретацией. Более того — из неё следует, что даже если мы не будем предполагать, что Земля это идеальная сфера, а только лишь, что экватор выпуклый (и лежит в одной плоскости — иначе будут проблемы), и что верёвку мы поднимаем везде на одну и ту же высоту h, то всё равно h это (1/2π) метра.

если закрасить выпуклый многоугольник, а потом еще добавить все точки на расстоянии не более R от него, то закрашенную площадь легко посчитать:

она складывается из площади самого многоугольника, периметра, умноженного на R (синие прямоугольники) и… площади круга радиуса R — синие сектора как раз складываются в полный круг (подумайте про это!)

замечательно, что зависимость площади от R всегда полиномиальная — даже если брать не многоугольник, а любую выпуклую фигуру, даже если не на плоскости, а в пространстве…

а какой смысл имеют коэффициенты этого многочлена?

(продолжение следует)

Доказательство — приблизим экватор многоугольником. Для многоугольного выпуклого экватора (на проходящей через центр Земли плоскости), когда мы закрашиваем точки над ним, но на расстоянии не больше h от него — получается объединение прямоугольников и секторов круга радиуса h в вершинах.

У "горизонтальных" сторон прямоугольника на высоте h сумма такая же, как периметр экватора. А сектора круга собираются в точности в круг радиуса h — можно себе представить человека ростом h, совершившего по экватору кругосветное путешествие, он как раз сделает полный оборот.

Соответственно, новый периметр это старый периметр (многоугольного экватора) + 2πh. Осталось сказать, что чем точнее мы приближаем экватор многоугольником, тем ближе периметр многоугольника к длине экватора. Так что и в общем (выпуклом) случае длина верёвки, везде поднятой на высоту h, увеличится ровно на 2πh.
(Кстати, если взять в качестве экватора эллипс с полуосями a и b, вопрос о том, насколько увеличится длина верёвки при поднятии везде ровно на h — на вид убойная задача с эллиптическими интегралами!)