Ну или запрячь компьютер — пусть он считает, он железный (ну или кремниевый...) —

а) Становится видно, что проигрышные позиции выстраиваются в две симметричные "цепочки";
б) А ещё поле зрения оказывается заполненным линиями из выигрышных позиций; давайте эти линии спрячем, а оставим только проигрышные позиции и ломаную, которая "верхнюю" цепочку соединяет

в) А ещё видно, что соседние позиции в верхней цепочке отличаются либо на сдвиг на (2,3), либо на сдвиг на (1,2). И на этой картинке первые звенья-сдвиги мы раскрасили красным, а вторые — синим.

А ещё можно их последовательность закодировать, превратив в слово из букв "A" (большой прыжок) и "B" (маленький прыжок). Взяв эту картинку и пройдясь по ней, мы получим —
ABAABABAABAABABAAB +(хвостик торчащего дальше длинного прыжка А)

И...

Видно, что слово одно и то же. А что это за слово?
Это — слово Фибоначчи, а на картинке выше — кусочек из (начинающейся с его определения) статьи "Слова на ленте" в "Квантике".

Это слово получается так: мы начинаем со слова из одной буквы "A", после чего в каждом написанном слове заменяем A на AB, а B на A. Получается последовательность слов
A
AB
ABA
ABAAB
ABAABABA...,
которые все продолжают друг друга — и потому являются началами бесконечного слова; это и есть слово Фибоначчи.

Так вот — то, что слово в задаче о ферзе это слово Фибоначчи, можно понять, просто посмотрев на то, как оно появляется.

Когда у нас идёт верхняя цепочка проигрышных позиций — они последовательно заполняют диагонали, "перепрыгивая" вертикали над уже имеющимися проигрышными позициями на симметричной нижней цепочке.

Давайте будем смотреть, что мы получаем от одного перепрыгивания (включительно) до другого (исключительно), в зависимости от того, через вертикали от каких вершин мы перепрыгивали.

Если мы перепрыгиваем через вертикали на расстоянии 3 (то есть стартующие из проигрышных позиций, симметричных A-звену), то мы делаем один A-прыжок (2,3), перепрыгивая через вертикаль, а потом один B-прыжок (1,2), подходя к следующей вертикали.
А если через вертикали на расстоянии 2 (то есть стартующие из проигрышных позиций, симметричных B-звену), то мы делаем только один A-прыжок (2,3), перепрыгивая через вертикаль, и мы уже вплотную подошли к следующей вертикали.

Вот мы и получили правила замены — А заменяется на AB, а B заменяется на A!

Давайте я закончу этот рассказ — тут совсем немного осталось.
Во-первых, для подстановочного слова есть способ его "считывать" через поворот окружности и то, на какую из двух дуг попадает очередная итерация начальной точки: см. тут+ниже.

Во-вторых, отсюда уже можно увидеть, что "линия" проигрышных позиций в игре "ферзя в угол" идёт под углом наклона, равным золотому сечению. Потому что именно с таким отношением идут буквы A и B в слове Фибоначчи, а применение преобразования "каждое А соответствует сдвигу на (2,3), каждое B — сдвигу на (1,2)" приводит к такому же отношению y:x.

В-третьих, и это отдельно интересно — оказывается, что для проигрышных позиций есть явная формула. И я тут хочу процитировать статью И. В. Арнольда (не Владимира Игоревича — а его отца!), "Об одном свойстве числа τ=(√5 +1)/2", вышедшей в 1936 году в 8 выпуске "Математического просвещения" — ещё первой серии этих сборников!

Вот тут он формулирует задачу и переходит к проигрышным позициям ("основным парам").

А вот — удивительный! — ответ: координаты проигрышных позиций имеют вид ([n φ], [n φ^2]), где [.] — целая часть, а φ=(√5 +1)/2 — золотое сечение (в статье оно обозначено через τ)

С одной стороны — действительно, φ^2=φ+1, так что таких позиций получается по одной на каждой диагонали: [n φ^2]=[n φ] + n.

С другой — возникает вопрос: а почему при этом в каждом столбце будет по одной проигрышной позиции — то есть почему каждое натуральное число представляется либо как [n φ], либо как [n φ^2], причём только одним способом? (Скриншот — опять же, кусочек из статьи И. В. Арнольда)

И это — частный случай более общего, совершенно замечательного, утверждения:
Если α и β — два иррациональных числа, таких, что 1/α + 1/β=1, то натуральный ряд разбивается на две непересекающиеся последовательности, [nα] и [nβ].

То, что это частный случай, проверить несложно — ведь
1/φ + 1/φ^2 =1. Осталось обсудить само это утверждение.

Это утверждение известно как теорема Рэлея или теорема Битти, а последовательности вида [na] — как последовательности Битти.

Вот тут (на скриншоте) она появляется в книге Н. Н. Воробьёва "Числа Фибоначчи".

Появляется, кстати, как раз в связи с этой игрой — вот фото несколькими страницами раньше:

А вот тут — в статье А.Баабабова ""Пентиум" хорошо, а ум — лучше" в "Кванте" за 1994 год:

Так вот — логика рассуждения тут очень простая. Давайте для каждого N посмотрим, сколько в сумме членов обеих последовательностей окажется среди чисел от 1 до N-1. Если их всегда ровно N-1, значит, при переходе от N-1 к N добавляется ровно один — то есть каждое N представлено ровно одним способом. И это в точности то, что и хочется доказать.

Ну и — раз α иррационально, то неравенство с целой частью
[nα]<=N-1
равносильно неравенству
nα<N, то есть
n<N/α;
соответственно, нам подходят [N/α] первых членов последовательности [nα]. Точно так же, нам подходят [N/β] первых членов последовательности [nβ]. И всего их
[N/α]+[N/β].
Но два иррациональных числа под целыми частями в сумме дают целое число N, потому что 1/α+1/β=1. Значит, сумма целых частей ровно на 1 меньше, и равна N-1. Победа!

Наконец, наличие двух "равномерных" последовательностей, на которые разбивается натуральный ряд, немедленно напоминает картинку из статьи Концевича в Кванте — на прямой отмечены точки пересечения с координатной сеткой, раскрашенные в зависимости от того, с горизонтальными или с вертикальными линиями происходит пересечение.

И действительно, вот отрывок и иллюстрация из статьи А.Баабабова: