Это утверждение известно как теорема Рэлея или теорема Битти, а последовательности вида [na] — как последовательности Битти.

Вот тут (на скриншоте) она появляется в книге Н. Н. Воробьёва "Числа Фибоначчи".

Появляется, кстати, как раз в связи с этой игрой — вот фото несколькими страницами раньше:

А вот тут — в статье А.Баабабова ""Пентиум" хорошо, а ум — лучше" в "Кванте" за 1994 год:

Так вот — логика рассуждения тут очень простая. Давайте для каждого N посмотрим, сколько в сумме членов обеих последовательностей окажется среди чисел от 1 до N-1. Если их всегда ровно N-1, значит, при переходе от N-1 к N добавляется ровно один — то есть каждое N представлено ровно одним способом. И это в точности то, что и хочется доказать.

Ну и — раз α иррационально, то неравенство с целой частью
[nα]<=N-1
равносильно неравенству
nα<N, то есть
n<N/α;
соответственно, нам подходят [N/α] первых членов последовательности [nα]. Точно так же, нам подходят [N/β] первых членов последовательности [nβ]. И всего их
[N/α]+[N/β].
Но два иррациональных числа под целыми частями в сумме дают целое число N, потому что 1/α+1/β=1. Значит, сумма целых частей ровно на 1 меньше, и равна N-1. Победа!

Наконец, наличие двух "равномерных" последовательностей, на которые разбивается натуральный ряд, немедленно напоминает картинку из статьи Концевича в Кванте — на прямой отмечены точки пересечения с координатной сеткой, раскрашенные в зависимости от того, с горизонтальными или с вертикальными линиями происходит пересечение.

И действительно, вот отрывок и иллюстрация из статьи А.Баабабова:

Ещё пара комментариев в заключение. Во-первых, у И.В.Арнольда тоже появляется подстановочность — правда, он на неё смотрит чуть-чуть по-другому, выписывая слово последовательно (оно при этом оказывается разбито на группы длиной в числа Фибоначчи):

Во-вторых, у игры "ферзя в угол"/ "цзяньшицзы" есть и англоязычное название, "Ним Витхоффа/Wythoff's Nim/Wythoff's Game"; вот здесь есть отрывок из соответствущей главы из книги Мартина Гарднера, "Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers: And the Return of Dr Matrix". (А вот — AMS Feature Column об этой же игре, D. Austin, "Puppies, Kittens, and the Golden Ratio")

Ну и в-третьих, интересно, что ещё проигрышные позиции можно описывать, исходя из "фибоначчевой" системы счисления. Это можно посмотреть в уже упоминавшихся книге "Числа Фибоначчи" Н.Н.Воробьёва и в статье в "Кванте" — Матулис А., Савукинас А., Ферзя — в угол, ``цзяньшицзы'' и числа Фибоначчи (фото — оттуда):

Но мне хочется добавить ещё и статью (тоже в "Кванте") И. Яглома, аж 1971 года (второй год издания Кванта!), "Две игры со спичками". И вот очень хорошая цитата оттуда:

И — давайте я процитирую ещё книгу 1954 года: Акива Моисеевич Яглом, Исаак Моисеевич Яглом, "Неэлементарные задачи в элементарном изложении" (спасибо К. Кнопу за ссылку!) —

И оттуда же (мне всегда очень интересно "подниматься" по библиографическим ссылкам)

Недавно рассказывал нашу совместную работу с Мишей Христофоровым (работа классная; вообще, мне как-то повезло за последнюю пару лет сделать несколько работ, от которых прямо сердце радуется).
Один из первых слайдов — содержание:

А вот слайд перед этим (и кусочек пред-предыдущего с первой теоремой):

в качестве картинок по выходным — португальские изразцы (азулежу) 18 века с геометрическими теоремами

(конкретно здесь предложение 3 книги 6 «Начал»: биссектриса делит сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам)

подробности: Euclid in tiles: the mathematical azulejos of the Jesuit college in Coimbra, https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s00591-014-0130-8.pdf

https://olimpiada.ru/article/863

…или вот посмотрите подборку задач старых МатПраздников

(а XXXIII Математический праздник — будет 27 февраля)

В лаборатории популяризации математики в МИАНе — в гостях у Андреева — нельзя побывать без того, чтобы не увидеть что-нибудь новое. Как вы думаете, что это?

Сильная подсказка / начало ответа —

Ну и собственно ответ: это зацикленная анимация :)