Maryna Viazovska (плотнейшая упаковки шаров в размерности 8…)

Андрей Окуньков написал достаточно популярные тексты про математику каждого из филдсовских лауреатов этого года:

https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2022/JM_FM.pdf

https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2022/MV_FM.pdf

https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2022/JH_FM.pdf

https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2022/HDC_FM.pdf

IMU Award Ceremony
https://www.youtube.com/watch?v=6I0siVD7RBI — прямо сейчас Николай Андреев, "Математические этюды" и "Математическая составляющая"

введение про плотнейшие упаковки шаров было в «Математических байках» — https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/2004 и далее

или можно посмотреть лекцию http://www.mathnet.ru/present14534 (В.Клепцын на ЛШСМ-2016)

а если хочется больше деталей про конструкцию Вязовской, то можно заглянуть в текст Кона (laudatio к филдсовской премии): https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2022/laudatio-mv.pdf

Ко всему выше мне хочется добавить ещё пару слов.
Результаты Марины Вязовской, что E_8 это плотнейшая упаковка шаров в размерности 8, и её же с соавторами — что решётка Лича это наиплотнейшая упаковка в размерности 24 — самые известные. Это результаты, которые можно легко сформулировать, и понятно, почему это круто.

Но на мой вкус, то, что она с соавторами сделала после того, заслуживает не меньшего, а даже большего внимания. Потому что оказалось, что та "магическая функция", которую она построила — это лишь часть некоторого замечательного "интерполяционного базиса", позволяющего посмотреть под другим углом на пару "функция, её преобразование Фурье". И это всё офигенно круто — только это не сразу осознаёшь (каюсь, у меня ушло очень много времени, чтобы до меня это дошло...).

Вот две работы —
Danylo Radchenko, Maryna Viazovska, Fourier interpolation on the real line, https://arxiv.org/abs/1701.00265
Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller, Danylo Radchenko, Maryna Viazovska, Universal optimality of the E_8 and Leech lattices and interpolation formulas, https://arxiv.org/abs/1902.05438

Смотрю на анонс курса Берштейна в ЛШСМ-2022, и хочу процитировать кусочек:

==
1. Последовательностью Сомоса называется последовательность, заданая рекуррентным соотношением
z_{m+2}z_{m−2}=z_{m+1}z_{m−1}+z_m^2
и начальными членами
z_0=z_1=z_2=z_3=1.
Хотя на первый взгляд определение следующих членов последовательности требует деления, оказывается, что все члены этой последовательности — целые числа. Доказательство, которые мы будем обсуждать, основано на том, что все члены этой последовательности являются полиномами Лорана от первых четырех членов.
==

Красивое утверждение, правда?

Помимо всего прочего, можно вспомнить OEIS — и посмотреть, скольких начальных членов последовательности Сомоса хватит, чтобы найти соответствующую запись.
На всякий случай: энциклопедия целочисленных последовательностей это реально очень полезный инструмент математика, и один из основных шагов в одной из лучших работ с моим участием (наша работа с Вадимом Гориным) получился именно благодаря рефлексу "видишь целочисленную последовательность? посмотри, нет ли её в энциклопедии!".

Ну и разумеется, сразу вспоминается курс Е. Ю. Смирнова 2019 года про фризы. В какой-то момент я про него писал (тут — я объединю ниже несколько сообщений):

==
А именно — мы пытаемся расставлять числа в (повёрнутой на 45 градусов) квадратной решётке так, чтобы в любом квадрате разница произведений лево*право и верх*низ равнялась бы 1, начиная с двух горизонталей сначала из 0, потом из 1:

0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
3 5 5 4 3

Следующий ряд ещё понятно, как заполнить: произведение соседей минус 1:

0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
3 5 5 4 3
14 24 19 11

Но "почему-то" результат и дальше остаётся целым: скажем, в квадрате с верхней вершиной 5 и боковыми 14 и 24 в нижнее число мы должны вписать (14*24-1)/5 — и оно делится нацело!

И чем глубже мы спускаемся, тем больше становятся числа, и тем удивительнее делимость...
==

А ещё с тех пор вышла как статья Е. Ю. Смирнова в номере Кванта, посвящённом памяти Конвея (с ящерицей-живым клеточным автоматом на обложке!), так и дубнинская брошюра — издание записок его курса.

А похожесть утверждений из курсов Берштейна и Смирнова совершенно не случайная — но это то, на чём я собираюсь остановиться.

Один из первых слайдов с доклада Светланы Житомирской на ICM:

https://youtu.be/w3CufD2h_y8

напомним большое интервью Николая Николаевича, которое взял Дима Швецов

На Мат.Этюдах недавно вышел ролик "Параллелограмм", в комментариях к которому есть абзац:
===
В 1669 году в Парижской академии наук Жиль Роберваль продемонстрировал весы, показания которых не зависели от положения груза на чашках. Кстати, это тот самый Роберваль, который вычислил площадь под аркой ⁠⁠циклоиды, сведя эту площадь к площади под синусоидой (так называемые «лепестки Роберваля», см. брошюру Берман Г. Н. «Циклоида»).
===
Что такое эти лепестки, я не знал — а оказывается, история простая, красивая и наглядная. А именно: как найти площадь под циклоидой?

Циклоиду заметает камушек, застрявший в катящемся колесе. Давайте в каждый момент времени спроецируем камушек на вертикальный (в этот момент времени) диаметр циклоиды. Такая проекция движется по синусоиде: за время t колесо повернётся на угол t (пусть угловая скорость единичная), и поэтому высота камушка будет (1-cos t)R — ну а проедет оно расстояние tR.
Площадь под синусоидой найти не штука — получается 2πR^2, потому что половина площади прямоугольника 2R x 2πR, в который она "вписана" и который она разбивает на две равные части. А сколько остаётся на "лепестки"?
Оказывается, ровно площадь круга, πR^2. Ведь горизонтальная "нарезка" позволяет из каждого из "лепестков" собрать по половине круга, сдвинув точку синусоиды на одну и ту же вертикаль.

Итого, ответ: площадь под аркой циклоиды равна 2πR^2+πR^2=3πR^2, то есть втрое больше, чем площадь самого катящегося колеса.

И вот анимация, которая делает это очевидным:
https://www.geogebra.org/classic/hjeyz3cr

Трансляция началась.

https://youtu.be/jmw2JIzbSO8

утром в среду (20.07, 9:30) А.А.Гайфуллин будет на Летней школе «Современная математика» читать лекцию про случайные разрезы и распилы — и планируется ее прямая трансляция



«В геометрии довольно много красивых вероятностных сюжетов, связанных с вопросами о том, как выглядит «типичный» объект какого-либо вида. Например, пусть пространство случайным образом рассечено на части плоскостями; получилось много выпуклых многогранников.

* Сколько граней в среднем будет у такого многогранника?
* Какой будет средняя величина двугранного угла такого многогранника?
* Рассмотрим только те части разбиения, которые являются тетраэдрами. Какой будет средняя величина двугранного угла такого тетраэдра?
(Один из этих трех вопросов тривиален — подумайте, какой...)

Я постараюсь рассказать, как ставить и решать некоторые задачи такого рода (…) и, вообще, как воспринимать вероятность в геометрии и работать с такими понятиями, как «случайная точка», «случайная прямая» (…). В качестве приложения я расскажу вероятностное доказательство знаменитой формулы Шлефли.

Лекция будет доступна школьникам.»

После лекции...

У многообразий бывают триангуляции. Берём — и пытаемся их "отполигонить", разбив на симплексы.
Логично, что "сложные" многообразия просто так не триангулируешь. Собственно, если вершин n "слишком мало" (относительно размерности d), то триангулировать так вообще можно только сферу — и граница проходит тут по n=3(d/2)+3. Если меньше, то точно сфера, а если ровно, то иногда бывает "похоже" на проективную плоскость (над R, C, H, O).

какие бывают нетривиальные (отличные от сферы) триангулированные d-мерные многообразия, у которых мало вершин?

оказывается (Brehm-Kühnel, 1987), тогда количество вершин хотя бы 3(d/2)+3, причем равенство возможно только при d=0,2,4,8,16 — и в этом случае многообразие похоже на соответствующую проективную плоскость (в т.ч. имеет такие же когомологии)

для d=2 картинка с 6-вершинной триангуляцией вещественной проективной плоскости была здесь неделю назад

для d=4 соответствующая 9-вершинная триангуляция комплексной проективной плоскости уже очень нетривиальна, она была найдена с использованием компьютерного перебора (Kühnel, 1980) — и про получившуюся конструкцию можно почитать обзор «The 9-vertex Projective Plane» (W.Kühnel, T.F.Banchoff; Math. Intelligencer 5, p. 11–22 (1983))

продолжение следует

Так вот — до недавнего момента не-сфер с n=3(d/2)+3 было известно ровно 5.
- d=2: одна 6-вершинная триангуляция RP^2 как фактор икосаэдра по центральной симметрии (и известно, что больше ничего нет)
- d=4: одна 9-вершинная триангуляция CP^2 (и известно, что больше ничего нет)
- d=8: три 15-вершинные триангуляции HP^2 (построены давно, а вот то, что это именно HP^2, а не просто что-то "похожее", доказал Денис Городков).

Вчерашний (!) препринт А.А.Гайфуллина: к этому списку добавилось 634 "симметричные" (у которых группа симметрий позволяет перевести любую вершину в любую) — и... >10^103 "не очень симметричных"!