Рассказ про лекцию Кричевера я потом продолжу — а пока другая, более короткая, история.
Есть такое утверждение:
Японская теорема о вписанных многоугольниках. Пусть задан вписанный многоугольник. Разобьём его непересекающимися диагоналями на треугольники, и впишем в них окружности. Оказывается, что сумма радиусов вписанных окружностей не зависит от выбора триангуляции — если разбить по-другому, сумма будет такой же!
Про неё когда-то писали в « Квантике » — на скриншоте с. 22 номера 7 за 2012 год. (Кстати — посмотрите на иллюстрацию на полях!)
Отдельно интересно, откуда эта теорема появилась, — из японской традиции сангаку, табличек с [зачастую геометрическими] утверждениями, приносимыми в храмы — как подношения богам, и чтобы другие могли попробовать свои силы в доказательстве.
Есть такое утверждение:
Японская теорема о вписанных многоугольниках. Пусть задан вписанный многоугольник. Разобьём его непересекающимися диагоналями на треугольники, и впишем в них окружности. Оказывается, что сумма радиусов вписанных окружностей не зависит от выбора триангуляции — если разбить по-другому, сумма будет такой же!
Про неё когда-то писали в « Квантике » — на скриншоте с. 22 номера 7 за 2012 год. (Кстати — посмотрите на иллюстрацию на полях!)
Отдельно интересно, откуда эта теорема появилась, — из японской традиции сангаку, табличек с [зачастую геометрическими] утверждениями, приносимыми в храмы — как подношения богам, и чтобы другие могли попробовать свои силы в доказательстве.
Понятно, что достаточно доказать утверждение для вписанного четырёхугольника — это позволяет « перещёлкивать » диагональ в четырёхугольнике, образованном двумя соседними треугольниками, а чередой таких перещёлкиваний от любой триангуляции можно перейти к любой другой. И кстати — там интересно, что центры четырёх появляющихся окружностей находятся в вершинах прямоугольника (картинка со следующей страницы всё того же номера Квантика).
Но — тут будет вопрос, а как это доказать? И я хочу посмотреть, как можно к доказательству японской теоремы идти немного по-другому (хотя пути в итоге оказываются почти параллельными).
Но — тут будет вопрос, а как это доказать? И я хочу посмотреть, как можно к доказательству японской теоремы идти немного по-другому (хотя пути в итоге оказываются почти параллельными).
Так вот — давайте для начала предположим, что в утверждение японской теоремы мы верим. Если оно правда для четырёхугольника — то и для сколько-угодно-угольника. И можно спросить, а чему именно равна такая сумма для какого-нибудь многоугольника. Но — иногда « ответ для стула с бесконечным числом ножек » бывает проще ответа для стула с конечным числом. Так что давайте возьмём одну хорду — и « понатыкаем » много-много вершин на дуге, которую она стягивает. Вопрос: чему будет равна сумма радиусов вписанных окружностей для триангуляции такого многоугольника?
Если мы верим в то, что ответ от выбора триангуляции не зависит — то можно выбрать какую-нибудь удобную триагуляцию и посчитать сумму для неё. Можно, например, выпустить все диагонали из одной из вершин хорды — и тут в пределе получится довольно простой интеграл. Но можно сделать проще!
Пусть вершины на дуге расставлены через одинаковые промежутки. Тогда мы можем сначала разбить многоугольник на равнобокие трапеции (с основаниями, параллельными исходной хорде), а потом в каждой трапеции провести по диагонали.
Пусть вершины на дуге расставлены через одинаковые промежутки. Тогда мы можем сначала разбить многоугольник на равнобокие трапеции (с основаниями, параллельными исходной хорде), а потом в каждой трапеции провести по диагонали.
Для тонкой и длинной трапеции диаметр каждой из вписанных окружностей будет примерно равен её высоте (тем точнее, чем трапеция тоньше). Значит, тому же (примерно) равна и сумма двух таких радиусов.
А тогда сумма радиусов всех вписанных окружностей будет (примерно) равна сумме высот трапеций — то есть просто высоте сегмента.
А тогда сумма радиусов всех вписанных окружностей будет (примерно) равна сумме высот трапеций — то есть просто высоте сегмента.
Итак, сумма радиусов вписанных окружностей для мелкой-мелкой триангуляции сегмента оказывается примерно равна диаметру вписанной в этот сегмент окружности. (Что забавно — начинали с радиусов, пришли к диаметру.)
Но разбивать сегмент можно и по-другому. Можно сначала построить на хорде какой-то треугольник, а потом разбить две оставшихся после его части — которые тоже будут сегментами!
Но разбивать сегмент можно и по-другому. Можно сначала построить на хорде какой-то треугольник, а потом разбить две оставшихся после его части — которые тоже будут сегментами!
И сумму, которая должна получиться в каждом из маленьких сегментов, мы уже знаем: это его высота. Значит — опять же, если мы верим в японскую теорему — радиус окружности, вписанной в треугольник, должен быть разностью между высотой исходного сегмента и суммой высот двух получившихся.
Тадамм! В этот момент мы пришли к формулировке, в которой собственно « предельного перехода » уже нет. Тут участвует уже только треугольник, и три высоты сегментов, простые геометрические понятия.
Во-первых, это утверждение можно рассмотреть как самостоятельную задачу, и попробовать проверить и доказать. Если бы вдруг оказалось, что оно неверно — это бы автоматически означало, что неверна и сама японская теорема.
Во-вторых — как мы сейчас увидим, если это утверждение доказано, то японская теорема из него следует (и именно это и есть тот путь, которым мне хотелось пройти!).
Ну и в-третьих — вместо высот сегментов можно использовать расстояния до их хорд от центра большой окружности, благо, что это меняет результат на радиус R большой окружности. И получается
теорема (или формула) Карно: пусть в треугольнике R — радиус описанной окружности, r — вписанной, а x,y,z — расстояния от центра описанной окружности до его сторон, считающиеся со знаком в зависимости от того, с какой стороны центр лежит относительно соответствующей стороны (что то же самое, в зависимости от того, острый или тупой соответствующий угол). Тогда
x+y+z = R+r.
Тадамм! В этот момент мы пришли к формулировке, в которой собственно « предельного перехода » уже нет. Тут участвует уже только треугольник, и три высоты сегментов, простые геометрические понятия.
Во-первых, это утверждение можно рассмотреть как самостоятельную задачу, и попробовать проверить и доказать. Если бы вдруг оказалось, что оно неверно — это бы автоматически означало, что неверна и сама японская теорема.
Во-вторых — как мы сейчас увидим, если это утверждение доказано, то японская теорема из него следует (и именно это и есть тот путь, которым мне хотелось пройти!).
Ну и в-третьих — вместо высот сегментов можно использовать расстояния до их хорд от центра большой окружности, благо, что это меняет результат на радиус R большой окружности. И получается
теорема (или формула) Карно: пусть в треугольнике R — радиус описанной окружности, r — вписанной, а x,y,z — расстояния от центра описанной окружности до его сторон, считающиеся со знаком в зависимости от того, с какой стороны центр лежит относительно соответствующей стороны (что то же самое, в зависимости от того, острый или тупой соответствующий угол). Тогда
x+y+z = R+r.
Так вот — допустим, что формулу Карно мы доказали. Оказывается, что японская теорема из неё следует!
Действительно: вот пусть у нас был исходный многоугольник; заключим его в сегмент, построенный на одной из его сторон. Посмотрим на содержащий эту сторону треугольник — и мы из формулы Карно знаем, что высота исходного сегмента равна радиусу вписанной в него окружности плюс сумма высот двух получившихся сегментов.
Действительно: вот пусть у нас был исходный многоугольник; заключим его в сегмент, построенный на одной из его сторон. Посмотрим на содержащий эту сторону треугольник — и мы из формулы Карно знаем, что высота исходного сегмента равна радиусу вписанной в него окружности плюс сумма высот двух получившихся сегментов.
Продолжим дальше — каждый раз, добавляя треугольник, мы заменяем один сегмент на два меньших. И в любой момент сумма радиусов вписанных окружностей в добавленные треугольники плюс сумма высот получившихся сегментов равна высоте исходного сегмента!
И вот мы получили, что сумма радиусов вписанных окружностей не зависит от триангуляции многоугольника: если к ней добавить сумму высот остающихся сегментов, то получится высота исходного сегмента.
Можно сказать, что высота сегмента — это как « потенциальная энергия »: мы « добываем » из сегмента радиус вписанной окружности, остаётся два меньших с суммарным « остатком энергии ».
Ещё мне тут вспоминается задача про Добрыню и кучу камней — каждый раз, когда богатырь делит кучу камней на две, ему платят число монет, равное произведению количеств камней в получившихся кучах. Тогда заработок зависит только от итогового разбиения, а не от пути, которым к нему шли. Действительно:свяжем все камни друг с другом верёвочками, тогда богатырю платят в точности по монете за разорванную верёвочку, а сколько их пришлось разорвать, зависит только от того, к чему мы пришли . Собственно, количество верёвочек в одной куче это и есть аналог высоты сегмента.
(Можно, я вспомню текст в « Квантике » — https://kvantik.com/issue/pdf/2018-11.pdf ? Очень его люблю, и картинки там прекрасные — у « Квантика » замечательные художники!)
Можно сказать, что высота сегмента — это как « потенциальная энергия »: мы « добываем » из сегмента радиус вписанной окружности, остаётся два меньших с суммарным « остатком энергии ».
Ещё мне тут вспоминается задача про Добрыню и кучу камней — каждый раз, когда богатырь делит кучу камней на две, ему платят число монет, равное произведению количеств камней в получившихся кучах. Тогда заработок зависит только от итогового разбиения, а не от пути, которым к нему шли. Действительно:
(Можно, я вспомню текст в « Квантике » — https://kvantik.com/issue/pdf/2018-11.pdf ? Очень его люблю, и картинки там прекрасные — у « Квантика » замечательные художники!)
Итак, по модулю недоказанной формулы Карно, японская теорема доказана! Более того, сейчас мы можем ответить и на вопрос « чему равна сумма радиусов вписанных окружностей в триангуляцию многоугольника? ».
Собственно, мы уже получили выше один вариант ответа — она равна разности высоты исходного сегмента и суммы высот оставшихся мелких сегментов. Но он какой-то несимметричный.
Давайте добавим к обеим частям мелкий сегмент, касающийся исходной хорды (дополнение к исходному большому). И тогда получается вот такая симметричная формулировка (в которой я для красоты заменил слова « высота сегмента » на « диаметр окружности, вписанной в сегмент »):
Сумма радиусов вписанных окружностей в триангуляцию многоугольника плюс сумма диаметров окружностей, вписанных в остающиеся сегменты, равна диаметру исходной окружности.
И в таком виде становится понятно, откуда этот ответ берётся. Это та же самая японская теорема, только написанная для всей окружности (как для бесконечно-угольника)!
С одной стороны, для неё мы должны получить её диаметр (её можно рассматривать, как « максимально возможный сегмент »), с другой, можно взять триангуляцию многоугольника — и дополнить её триангуляциями оставшихся сегментов, каждый из которых принесёт свою высоту (свой диаметр вписанной окружности). Вот формулировка выше и получается.
Собственно, мы уже получили выше один вариант ответа — она равна разности высоты исходного сегмента и суммы высот оставшихся мелких сегментов. Но он какой-то несимметричный.
Давайте добавим к обеим частям мелкий сегмент, касающийся исходной хорды (дополнение к исходному большому). И тогда получается вот такая симметричная формулировка (в которой я для красоты заменил слова « высота сегмента » на « диаметр окружности, вписанной в сегмент »):
Сумма радиусов вписанных окружностей в триангуляцию многоугольника плюс сумма диаметров окружностей, вписанных в остающиеся сегменты, равна диаметру исходной окружности.
И в таком виде становится понятно, откуда этот ответ берётся. Это та же самая японская теорема, только написанная для всей окружности (как для бесконечно-угольника)!
С одной стороны, для неё мы должны получить её диаметр (её можно рассматривать, как « максимально возможный сегмент »), с другой, можно взять триангуляцию многоугольника — и дополнить её триангуляциями оставшихся сегментов, каждый из которых принесёт свою высоту (свой диаметр вписанной окружности). Вот формулировка выше и получается.
И конечно, можно было бы с этой формулировки рассказ о японской теореме начать… но тогда она бы выглядела, как кролик, которого достали из шляпы. А так — мы до неё дошли сами, пытаясь разобраться, « что происходит? ».
(Иллюстрация к формулировке: сумма радиусов красных окружностей и диаметров малых чёрных окружностей равна диаметру большой чёрной).
(Иллюстрация к формулировке: сумма радиусов красных окружностей и диаметров малых чёрных окружностей равна диаметру большой чёрной).
Ещё одна иллюстрация: окружность как « бесконечноугольник » и два варианта её триангуляции (в серых сегментах тоже триангулируем трапециями).
Оставшаяся часть — это доказательство формулы Карно. И тут я дам две ссылки. Во-первых, есть статья 1990 года в « Кванте », посвящённая как раз японской теореме — http://kvant.mccme.ru/1990/07/staraya_yaponskaya_teorema.htm — и там формула Карно доказывается через теорему Птолемея, ac+bd=ef для вписанного четырёхугольника.
(И если об этом зашла речь — должен признаться, что в школьные годы я почему-то не понимал, что о ней хорошо думать в терминах комплексных чисел.)
(И если об этом зашла речь — должен признаться, что в школьные годы я почему-то не понимал, что о ней хорошо думать в терминах комплексных чисел.)
Telegram
Непрерывное математическое образование
Раскрыв скобки, нетрудно убедиться, что (a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d).
Если воспринимать a,b,c,d как целые числа, то получится утверждение задачи с Турнира Ломоносова.
А если воспринимать a,b,c,d как комплексные числа, то возникает неравенство для модулей…
Если воспринимать a,b,c,d как целые числа, то получится утверждение задачи с Турнира Ломоносова.
А если воспринимать a,b,c,d как комплексные числа, то возникает неравенство для модулей…
А во-вторых — вот тут есть доказательство « картинками »:
http://claudialsina.com/wp-content/uploads/2016/10/carnot.pdf ;
спасибо Г. Мерзону за ссылку!
http://claudialsina.com/wp-content/uploads/2016/10/carnot.pdf ;
спасибо Г. Мерзону за ссылку!
Математические байки
И конечно, можно было бы с этой формулировки рассказ о японской теореме начать… но тогда она бы выглядела, как кролик, которого достали из шляпы. А так — мы до неё дошли сами, пытаясь разобраться, « что происходит? ». (Иллюстрация к формулировке: сумма радиусов…
P.S. Ещё один взгляд на японскую теорему — спасибо за него Мише Христофорову!
Проекция « перпендикулярно оси » со сферы на касающийся её цилиндр сохраняет площадь; поэтому площадь « сферической шапочки » пропорциональна её высоте. Поэтому формулу Карно можно переформулировать так: достроим большую окружность (радиуса R) до полусферы. Тогда радиус вписанной окружности в треугольник равен площади висящей над ним части полусферы, делённой на πR.
И значит, дословно так же формулируется и ответ в японской теореме: сумма радиусов вписанных окружностей равна площади части полусферы, висящей строго над многоугольником, делённой на πR.
Проекция « перпендикулярно оси » со сферы на касающийся её цилиндр сохраняет площадь; поэтому площадь « сферической шапочки » пропорциональна её высоте. Поэтому формулу Карно можно переформулировать так: достроим большую окружность (радиуса R) до полусферы. Тогда радиус вписанной окружности в треугольник равен площади висящей над ним части полусферы, делённой на πR.
И значит, дословно так же формулируется и ответ в японской теореме: сумма радиусов вписанных окружностей равна площади части полусферы, висящей строго над многоугольником, делённой на πR.
Forwarded from Непрерывное математическое образование
Юрий Иванович Манин (16.02.1937–07.01.2023)