Для некоторых — часть траекторий периодична, а часть убегает на бесконечность с линейной скоростью.
А есть — очень хитрые: для них (почти все) траектории, которые проходят через центр описанной окружности, посещают (либо в прошлом, либо в будущем) все вообще плитки. То есть это убегание на бесконечность, но гораздо более медленное. А не-проходящие — периодичны, но чем ближе траектория к проходящей через центр, тем больше у неё период.
Более того, эти периоды — удвоенные элементы последовательности Трибоначчи (1,1,1,3, следующее = сумма трёх предыдущих, так что получается
1,1,1,3,5,9,17,...).
2*1, правда, не бывает, зато бывает остальное — 2*3=6, 2*5=10,...
Более того, эти периоды — удвоенные элементы последовательности Трибоначчи (1,1,1,3, следующее = сумма трёх предыдущих, так что получается
1,1,1,3,5,9,17,...).
2*1, правда, не бывает, зато бывает остальное — 2*3=6, 2*5=10,...
Треугольник для этого должен быть с очень специальными углами — вообще, тут (сейчас скажу, почему) играют углы, а не, например, длины сторон или что-нибудь ещё.
Уравнение a+a^2+a^3=1 — то самое, которое играет роль во фрактале Рози. Который сам по себе тема для отдельной байки, а пока лишь пара картинок и ссылок...
https://www.mccme.ru/dubna/2014/courses/kanel-mitrofanov.htm — связанный с этим курс;
Ну и на сейчас хватит — в общем, красивый самоподобный объект. Так вот, периодические траектории в паркете с тем самым Рози-треугольником, когда они становятся всё больше и больше (начинаясь близко к центру описанной окружности) — становятся похожи на этот самый фрактал Рози!
И я обещал рукомахательное объяснение про углы. Оказывается, динамика того, что происходит с траекторией, описывается перекладыванием отрезков со сдвигом и переворотом. И длины там как раз отвечают углам треугольника.
(И это совсем несложно увидеть, но уже точно не в этот раз...)
Пара картинок в завершение рассказа:
Пара картинок в завершение рассказа:
Теорема о том, что траектория через центр окружности в исключительном бильярде проходит через все плитки:
Особенно красив второй случай: если с одной из сторон такая траектория втыкается в вершину, то из этой вершины растёт цветок из шести таких траекторий, и посещают все треугольники они уже все вместе.
Да, "работа над ошибками" — я поторопился в начале сказать, что для квадратного паркета периодичны все траектории. Это для паркета из правильных треугольников так, а для квадратного, если луч соединяет две противоположные стороны, то он как раз линейно убежит на бесконечность.
Математические байки
Photo
Последнее — преобразования перекладывания отрезков это совершенно огромная область (с чем только не связанная). Даже перечислять не буду, а то до завтра не закончу. И индукция Рози (а Рози тот же) как раз оттуда. И похожий на треугольник Серпинского (и даже ему гомеоморфный, но определяемый с помощью проективных отображений) Rauzy gasket, который появлялся в левом верхнем углу на том фото, где описывалось поведение траекторий — оттуда же.