(А третий цвет однозначно определяется двумя, так что переход в обратную сторону тоже мгновенный)
Соответственно, мы можем работать в поле по модулю 3 — зная, что если два из подошедших к перекрёстку цветов это a и b, то третий это -(a+b).
Математические байки
Photo
И теперь уже мгновенно проверяется, что если три подходящих к R3-перестройке сверху (на рисунке выше) цвета это a, b и c (слева направо), то вниз они придут и в том, и в другом случае как
-a+b+c, b и -(a+b).
-a+b+c, b и -(a+b).
Правда, всё равно остаётся ощущение чуда: почему именно при таких правилах получился инвариант?
Оказывается, на это есть хороший ответ — но прежде ещё пара замечаний.
Во-первых, мы между делом обнаружили, что число правильных трёхцветных раскрасок всегда будет степенью тройки. Потому что это число решений системы линейных (однородных) уравнений вида x_i+x_j+x_k=0 (где i,j и k — номера нитей, встречающихся в данном перекрёстке) над полем из трёх элементов.
Во-первых, мы между делом обнаружили, что число правильных трёхцветных раскрасок всегда будет степенью тройки. Потому что это число решений системы линейных (однородных) уравнений вида x_i+x_j+x_k=0 (где i,j и k — номера нитей, встречающихся в данном перекрёстке) над полем из трёх элементов.
Во-вторых, условие "три одинаковых или три разных" встречается ещё в замечательной игре SET:
Там нужно находить (из выложенных на стол 12) тройки карточек, по каждому из четырёх параметров (цвет, тип закраски, количество, форма) либо все совпадающие, либо все различающиеся. И из-за перевода выше это можно переформулировать как поиск прямых в четырёхмерном пространстве над полем из трёх элементов.
Не то, чтобы это сильно в игре помогало. :)
Не то, чтобы это сильно в игре помогало. :)
Так вот — а _почему_ число трёхцветных раскрасок это инвариант?
Оказывается, что хоть мы на него смотрели "аддитивно", на него есть и "некоммутативный" взгляд.
Оказывается, что хоть мы на него смотрели "аддитивно", на него есть и "некоммутативный" взгляд.
У узла есть такой естественный инвариант: фундаментальная группа дополнения к нему (https://en.wikipedia.org/wiki/Knot_group )
Wikipedia
Knot group
fundamental group of a knot complement
То есть группа петель в R^3\K, в которой произведение это последовательный проход сначала одной петли, потом другой.
Если узел "сплющить" до диаграммы почти-в-плоскости, то очень естественно поставить отмеченную точку, в которой петли начинаются и заканчиваются, на бесконечности над этой плоскостью.
Тогда легко увидеть, что фундаментальная группа порождается петлями вида "спустились к диаграмме, обошли вокруг одной из нитей, поднялись обратно":
Тогда легко увидеть, что фундаментальная группа порождается петлями вида "спустились к диаграмме, обошли вокруг одной из нитей, поднялись обратно":
А соотношения приходят из перекрёстков: два обхода "нижних" нитей перекрёстка сопрягаются обходом верхней нити:
На этом рисунке γ_j=γ_i^{-1} γ_k γ_i:
спускаясь в южный квадрант, мы уходим не сразу в западный, а сначала в восточный (это γ_i), потом в верхний (γ_k), и наконец, в восточный (γ_i^{-1}).
спускаясь в южный квадрант, мы уходим не сразу в западный, а сначала в восточный (это γ_i), потом в верхний (γ_k), и наконец, в восточный (γ_i^{-1}).
Так вот: раз фундаментальная группа G=π_1(R^3\K) это инвариант, то инвариант и всё, что по ней можно построить.
Давайте посчитаем число гомоморфизмов из G в группу перестановок S_3 трёх элементов — но не любых, а таких, чтобы петля-один обход нити переходила бы в транспозицию. (Поскольку все такие обходы сопряжены, то это тоже инвариантное условие.)
Давайте посчитаем число гомоморфизмов из G в группу перестановок S_3 трёх элементов — но не любых, а таких, чтобы петля-один обход нити переходила бы в транспозицию. (Поскольку все такие обходы сопряжены, то это тоже инвариантное условие.)