(Это — из исходного текста Хигмана)

Доказательство. Пусть r — наименьший простой делитель 2^m - 1.

Тогда по малой теореме Ферма 2^{r-1} сравнимо с 1 по модулю r, и значит (алгоритм Евклида), 2^{НОД(m,r-1)} тоже сравнимо с 1 по модулю r.

Если r не строго больше наименьшего простого делителя m, то m и r-1 взаимно просты, то есть НОД выше равен 1. И тогда 2=1 по модулю r => противоречие.

Лемма доказана — а теорема из неё выводится мгновенно.

Потому что из неё следует, что у порядков m_i наименьшие простые делители строго возрастают. Но индексы i идут "по кругу" (по модулю n) — а возрастающая последовательность чисел замкнуться не может.

Вот мы и получили противоречие — и тем самым доказали, что у H_n нет нетривиальных конечных факторов.

Теорема выше доказана.

Остаётся из неё получить простую бесконечную группу.

Рассмотрим нормальные подгруппы H_4, не совпадающие с самой H_4. Как минимум одна такая есть — это просто {e}.

Возьмём максимальную по включению такую подгруппу G. Такая есть; это можно увидеть стандартной техникой, через лемму Цорна — у любой "башни" вложенных нормальных подгрупп есть "супремум": объединение их всех.
Это тоже нормальная подгруппа, и тоже меньшая H_4 (если она совпадает с H_4, то в неё входят все 4 образующих a,b,c,d — а тогда они входят уже в какую-то из объединяемых подгрупп, противоречие). Значит, есть "максимальный" элемент — искомая максимальная нормальная подгруппа.

(Собственно, точно так же доказывается наличие базиса Гамеля в бесконечномерном линейном пространстве, и так далее — https://ru.wikipedia.org/wiki/Лемма_Цорна )

Но можно и совсем "вручную": перенумеровать элементы группы, начать с подгруппы {e}, и для каждого очередного элемента g_k из H_4 смотреть, можно ли его добавить в уже построенную подгруппу так, чтобы она (после добавления всех сопряжённых/обратных/степеней, чтобы остаться нормальной подгруппой) не стала H_4. Если можем — добавляем, нет — оставляем. То, что получится, когда мы пробежим всё H_4 (формально — объединение возрастающей башни подгрупп) и будет искомой.

(Вопрос о том, можно ли тут совсем по-честному обойтись без аксиомы выбора, — учитывая, что процедура на каждом шагу однозначная, и совершаем мы только однократный выбор перечисления элементов H_4 — я собираюсь замести под ковёр, ибо речь сейчас не об этом.)

Так вот — возьмём (какую-нибудь) максимальную по включению, меньшую H_4, нормальную подгруппу G в группе H_4.
И рассмотрим фактор H_4/G. Это и есть обещанный исторически первый пример бесконечной конечно-порождённой простой группы.

Действительно, во-первых, это бесконечная группа, потому что у H_4 нет конечных факторов.

Во-вторых, она простая: если бы у неё была бы нетривиальная нормальная подгруппа, то её прообраз при факторизации H_4 -> H_4 / G был бы нормальной подгруппой H_4, большей G, а мы предположили, что G максимальная.

Всё!

Микеле, конечно, рассказывал не [только] об этом — это был лишь кусочек вводной части. А рассказывал он о том, как заставить группу Хигмана H_4 действовать на окружности —

(Картинка отсюда — http://mtriestino.perso.math.cnrs.fr/Higman.pdf )

Вообще, [сохраняющие ориентацию] действия групп на прямой (и на окружности) это очень красивая тема, соединяющая геометрию и алгебру. Например, оказывается, что действия на прямой связаны с лево-инвариантными порядками.

А именно: назовём группу "левоупорядочиваемой" (left-orderable), если на ней есть полный порядок "<", инвариантный относительно умножения слева:
f<g <=> hf<hg
(такой порядок называется "левоинвариантным").