Кстати — левая иллюстрация на обложке как раз на нашу тему, только я показать её забыл: это случайное разбиение, но на шестиугольной, а не на квадратной, решётке. Раскрашенное в три цвета — то есть выглядящее, как кубики, сложенные в углу комнаты.
И я забыл сказать, что для этого случая тоже есть "теорема о полярном круге" —

(Каюсь, не помню, чья это иллюстрация — но не моя. У Кеньона есть похожая, но чуть-чуть в других цветах — http://www.math.brown.edu/~rkenyon/gallery/bppsim.gif )

Кстати: можно пытаться брать не равновероятное — а как-то взвешенное распределение. Например, раз уж мы всё равно смотрим на эту картинку как на кубики — зафиксировать объём. Или (что приводит к очень близкому результату) — сказать, что пусть вероятность разбиения (то есть пирамидки из кубиков) пропорциональна параметру q в степени количество кубиков. (И тут опять начинается статистическая физика, exp(-\beta H) и всё такое). И получим мы, вместо теоремы о полярном круге — предельную форму угла кубического монокристалла:

(Picture credit : A. Okounkov)

Обещанные несколько слов:
— Во-первых, у нас тут выше вырисовалась связка (всё связано со всем) "случайное блуждание—время перемешивания—спектр оператора Лапласа—изопериметрическое неравенство".
Ну, почти вырисовалась — ещё нужно сказать, что за случайное блуждание как раз оператор Лапласа и отвечает, а за "бутылочные горлышки" отвечает изопериметрическое неравенство.

(Прошу прощения — такой большой перерыв не планировался...)
Так вот, во-вторых, тут неподалёку живут слова "концентрация меры".

А именно: как совсем широко известно, стомерные арбузы покупать не стоит. Ибо состоят они в основном из кожуры: даже если толщина кожуры это 5% — доля съедобной части в арбузе будет 0.95^100 ~ e^{-5} ~ 0.0067.

А вот как чуть менее широко известно, многомерный арбуз состоит в основном из своего экватора. Из какого? Да из любого!

А именно — возьмём случайно выбранную точку (x_1,...,x_n) на n-1-мерной единичной сфере.
Посмотрим на первую координату, x_1.
Её модуль — это и есть расстояние до экваториальной сферы, {x_1=0}.

Но поскольку сумма квадратов всех n координат равна единице,
x_1^2+...+x_n^2=1,
то "естественно ожидать", что на квадрат каждой координаты в среднем приходится по 1/n. То есть x_1 (который вообще-то принимает значения от -1 до 1) "обычно" будет иметь порядок 1/sqrt{n}.

И это таки да правда — и более того, при увеличении n распределение произведения \sqrt{n}*x_1 сходится к гауссову нормальному распределению N(0,1) — тому самому, которое самое замечательное в теории вероятностей, и сходимость к которому утверждает ЦПТ.

Наиболее простой способ это увидеть такой. Давайте возьмём n независимых, распределённых как N(0,1) случайных величин \xi_k. Тогда у каждой из них плотность это (1/sqrt{2π}) * exp(-x^2/2), а совместная плотность в R^n — это их произведение, то есть
1/(2π)^{n/2} * exp(-r^2/2), где r^2=x_1^2+...+x_n^2 — радиус.

Тогда это распределение сферически симметричное: плотность в R^n у него зависит только от расстояния до начала координат. Значит, если мы спроецируем выбранную таким образом точку на единичную сферу — получится равномерно распределённая точка на сфере. И её первая координата будет равна
x_1=\xi_1/r.

Но r^2=x_1^2+...+x_n^2 — это сумма n _независимых_ одинаково распределённых случайных величин. И как нас учит закон больших чисел, r^2/n с очень большой вероятностью близко к математическому ожиданию любой из них — то есть к единице.

То есть r это "почти константа \sqrt{n}". Ну а исходная случайная величина \xi_1 была точно N(0,1).
Значит,
\sqrt{n}* x_1 = \xi_1 * (\sqrt{n}/r) —
почти N(0,1), и чем больше n, тем точнее это "почти".

Вернёмся теперь к словам "концентрация меры". А именно — пусть на n-мерной единичной сфере задана какая-то 1-липшицева функция f (то есть такая, что |f(x)-f(y)|<|x-y|) — как в примере выше мы рассматривали функцию f(x_1,...,x_n)=x_1.

Посмотрим на распределение её значений — на какой доле площади точек сферы она принимает какие значения. Оказывается (и это и есть эффект "концентрации меры"), что в основном эти значения очень сконцентрированы.
А именно — хоть (как, собственно, и для функции x_1) максимальное от минимального может отличаться на 2 (на диаметр сферы), на 95% площади принимаются значения, отличающиеся друг от друга на const/sqrt{n} (и на 99%, и на 99.9%, вопрос только в константе).

Так что мера получается сконцентрированной, с характерным разбросом порядка 1/\sqrt{n}.
Более того, функция x_1 оказывается, в каком-то смысле [я тут чуть-чуть привираю — но чуть ниже уточню], "самым разбросанным" примером.