Так что — если мы знаем, как устроено изопериметрическое неравенство для многомерной сферы (чего я, формально говоря, не сказал, но скажу сейчас, что с этим всё хорошо), то мы сможем сказать, что отрезаемый объём будет убывать быстро.

Более того, на самом деле на сфере (что очень естественно) наибольший объём, который можно отрезать данной площадью, это "полярная шапка".

Поэтому самое медленное убывание, которое бывает, будет как раз для функции x_1. А для неё мы знаем, что даже она сконцентрирована с разбросом ~1/\sqrt{n}. Ура, победа!

[И это как раз то место, где я не сильно, но заметно, привираю, путая расстояния "в R^n" и "по поверхности сферы". Чтобы мои слова стали совсем правдой, нужно брать расстояния по поверхности, произнести слова "риманова метрика", и брать функцию arcsin x_1. Те, кого они не пугают — вот после этого всё совсем почти честно]

С другой стороны, возвращаясь, — хоть рассуждение для разброса мы закончили, вместо явного счёта сказав, что "широта" arcsin x_1 это самая разбросанная функция — вообще-то нам достаточно было бы иметь "хорошее" изопериметрическое неравенство (какое максимальное отношение площади поверхности к ограничиваемому ей объёму). Нужно было только его получить/написать.

Константа, которую можно в нём поставить, называется константой Чигера —
https://en.wikipedia.org/wiki/Cheeger_constant#Definition (и, кстати, есть она и для графов — https://ru.wikipedia.org/wiki/Константа_Чигера_(теория_графов) )

И её в каких-то случаях получается проконтролировать — и как только мы знаем, что она большая, это и гарантирует концентрацию меры (а также большое первое собственное значение оператора Лапласа и потому "быстрое" расползание случайного блуждания).

Кстати. Из всё того же многомерного гауссового распределения хорошо получается формула для площади поверхности единичной сферы (и объёма единичного шара) в n-мерном пространстве.

Потому что — давайте рассмотрим его плотность в R^n. Только, для простоты счёта, растянем всё в корень из двойки раз. Тогда плотность по одной координате будет просто e^{-x^2}, делённой (нормировка на интеграл 1) на корень из π.

А совместная —
\rho(x_1,\dots,x_n) = \frac{1}{\sqrt{π}^n} \exp(-x_1^2-\dots-x_n^2),

Эта плотность сферически симметрична. И интеграл от неё равен 1 (это же плотность вероятностного распределения). Но давайте его найдём "в сферических координатах" — а точнее, просто порежем всё пространство на "сферические слои".
Если мы возьмём разницу шаров с радиусами r и r+dr, то её объём примерно равен c_n r^{n-1} dr, где c_n — площадь поверхности единичной сферы в R^n.

А подынтегральная функция на таком слое равна
π^{-n/2} exp(-r^2). Поэтому интеграл от плотности равен интегралу от c_n r^{n-1}* π^{-n/2} exp(-r^2) dr,

А сделав в этом интеграле замену R=r^2, и вынеся константу, мы получим как раз ту самую гамма-функцию Эйлера, которая обобщает факториал:

Ну вот мы и получили (раз интеграл должен равняться единице), что
c_n Г(n/2) /(2 π^{n/2}) = 1,
откуда
c_n = (2 π^{n/2}) / Г(n/2).

А объём единичного шара, соответственно, в n раз меньше (можно сказать, "потому что пирамида из центра", а можно проинтегрировать r^{n-1} и получить r^n/n):

И вот в этом виде — "π в степени n/2, поделить на n/2 факториал" — я эту формулу когда-то давно узнал, и доказывал индукцией по отдельности для чётных и для нечётных n.
А рассуждение с гауссовой плотностью (объясняющее, почему чётные и нечётные n так хорошо объединились в одну формулу) узнал только гораздо позднее...