И вот в этом виде — "π в степени n/2, поделить на n/2 факториал" — я эту формулу когда-то давно узнал, и доказывал индукцией по отдельности для чётных и для нечётных n.
А рассуждение с гауссовой плотностью (объясняющее, почему чётные и нечётные n так хорошо объединились в одну формулу) узнал только гораздо позднее...

Ну и в завершение — вспомнил я эту формулу тут совершенно не случайно. Потому что если мы захотим посмотреть, как устроено изопериметрическое неравенство на единичной сфере в R^n — какое наименьшее отношение площади к отсекаемому ею объёму (считая, что отсекается та часть, которая меньше половины сферы), то не очень сложно поверить, что это будет как раз отношением для экватора.

А тогда оно равно c_{n-1}/(c_n/2). То есть мы видим отношение гамма-функций в точках, отличающихся на (1/2). Но раз Г(m+1)=mГ(m), то очень естественно ожидать, что отношение Г(m+1/2) и Г(m) будет вести себя, как корень из m.

Ну и, соответственно, изопериметрическая константа для n-мерной сферы ведёт себя, как корень из n/2 (ибо там половинный аргумент).

Что как раз и соответствует тому, что x_1 имеет разброс порядка 1/sqrt{n} (у соответствующего дифференциального уравнения решением будет экспонента с изопериметрической константой в показателе).

Начиная рассказ про асимптотическую комбинаторику, я надеялся ацтекский бриллиант проскочить быстро, и перейти к другим красивым картинкам, а в результате там надолго застрял. Так что давайте я волевым решением перейду к другому, менее известному примеру — Random Sorting Networks. А потом вернусь и доскажу остальное.

Итак, Random Sorting Networks. Допустим, что у нас в ряд выстроено n тяжёлых чемоданов. Но мы вдруг обнаружили, что нужно их переставить в обратном порядке. А единственная операция, которая нам доступна, это взять два соседних чемодана, и поменять их местами.

Сколько нам понадобится операций? Несложно видеть, что минимум n(n-1)/2, число беспорядков.
Потому что в лучшем случае каждая операция уменьшает число беспорядков на 1 — ну а отсортировать за такое число действий можно, например, "пузырьком".

С другой стороны, число способов отсортировать чемоданы ровно за это число операций больше одного. Из простейшего — можно запустить сортировку "пузырьком" начиная с 1, можно, начиная с n, можно их чередовать, но даже это только начало. А на самом деле их очень и очень много. И да, вы правильно догадались — давайте из них выберем один равновероятным образом.

Как выбрать равновероятно — отдельная красивая история: их столько же, сколько способов получить диаграмму Юнга в форме равнобедренного прямоугольного треугольника, добавляя к пустой диаграмме по одной клетке за раз. (Это называется Edelman-Greene's bijection.) Но туда мы сейчас не пойдём.

Так вот — давайте посмотрим на случайно выбранную сортировку, когда n достаточно большое. Вот, взятый из статьи Angel, Holroyd, Romik, Virag, "Random Sorting Networks" ( https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870807001545 ) пример для n=6:

Тут выделена траектория, по которой движется чемодан номер 3, и отмечены места, где мы выполняли нашу операцию. Но пока ничего красивого не видно; это потому что n у ещё маленькое!

А вот такая у них получается красивая картина, если взять n=2000, и нарисовать (в соответствующем масштабе по осям) траектории отдельных чемоданов —

Правда ведь, напоминает синусоиды?

А ещё можно посмотреть на то, как будут устроены графики перестановок (при фиксированном моменте времени, какой чемодан на каком месте стоит). Вот, к примеру (опять из той же статьи) график перестановки, которая наблюдается после половины всех операций:

Явно проглядывает круг — но при этом плотность ближе к краям, так, как если бы это была равномерная мера на сфере в трёхмерном пространстве (x,y,z) — которую спроецировали на плоскость (x,y).

А что будет в другие моменты времени? Естественно считать параметром t долю от общего числа N выполненных операций; и вот картинка опять же из их работы —

Начальный и конечный момент времени это начальное и итоговое расположение чемоданов, у которых графики — прямые. А в промежуточные моменты времени видны эллипсы — а синим показаны полученные уже тогда (11 лет назад, препринт ещё 2006-го — https://arxiv.org/abs/math/0609538v1 ) оценки.

Собственно — вот гипотезы из той работы, как раз это и утверждающие: