А что будет в другие моменты времени? Естественно считать параметром t долю от общего числа N выполненных операций; и вот картинка опять же из их работы —

Начальный и конечный момент времени это начальное и итоговое расположение чемоданов, у которых графики — прямые. А в промежуточные моменты времени видны эллипсы — а синим показаны полученные уже тогда (11 лет назад, препринт ещё 2006-го — https://arxiv.org/abs/math/0609538v1 ) оценки.

Собственно — вот гипотезы из той работы, как раз это и утверждающие:

Мера, как при проекции —

Кстати — если рисовать гистограмму того, сколько операций было произведено в такое-то время в таком-то месте, то тоже получается красивая картина:

(иллюстрация из всё той же статьи.)
Ну и оттуда же —

Но ещё интересная история тут — это появление перестановочного многогранника, или пермутоэдра. А именно, давайте посмотрим на обратное отображение после m операций, то есть на набор "на каком месте стоит первый чемодан, на каком второй, ..., как каком n-й".
Это — перестановка, так что в этом векторе каждое из чисел 1,2,...,n встречается по одному разу. При этом одна операция меняет два соседних чемодана — так что какие-то два числа m и m+1 в этом векторе поменяются местами.

И это — переход из одной перестановки в другую на наименьшее возможное расстояние (корень из двух).

Так вот — выпуклый многогранник, вершины которого это всевозможные перестановки вектора (1,2,...,n), называется пермутоэдром, или перестановочным многогранником. Очевидно, что все эти точки лежат в одной плоскости "сумма координат равна 1+...+n", и на одной сфере "сумма квадратов координат равна 1^2+...+n^2".

А синусоиды, что всплыли выше, оказываются связанными с дугами большого круга — но это тот момент, когда я хочу сделать паузу до следующего раза.

Раз уж всё равно сделана пауза — давайте я расскажу пару коротких баек.

Первая — более стандартная, но кажется, не совсем общеизвестная, про чётности перестановок.

Обычно определение чётности перестановки f даётся как чётность числа беспорядков (т.е. пар i<j, для которых f(i)>f(j)) — после чего проверяется, что это же чётность числа транспозиций, в произведение которых f раскладывается.

Что можно проверить напрямую (взять транспозицию, посмотреть, какие беспорядки она добавляет, какие убирает, и что чётность в итоге всегда меняется), но это немного муторно.

А гораздо проще будет сначала рассмотреть разложение f в произведение не абы каких транспозиций, а только транспозиций соседних элементов (i,i+1).
Тогда умножение на такую транспозицию меняет число беспорядков ровно на 1 — как раз на пару (i,i+1).

И поэтому чётность числа беспорядков у f совпадает с чётностью числу транспозиций вида (i,i+1), в произведение которых f раскладывается.

Значит, есть отображение sign(f) из перестановок в {1,-1}, которое корректно определено (ибо определение через беспорядки) и при этом гомоморфизм (ибо определение через чётность числа сомножителей).

Остаётся проверить, что любая транспозиция нечётна — что проще всего увидеть, сказав, что любая транспозиция сопряжена транспозиции (1,2):
(i,j)=g*(1,2)*g^{-1},
где g — любая перестановка, такая, что g(i)=1, g(j)=2.

(Кстати: вот понимание, что "сопряжение отображением g это просто замена координат y=g(x)", каюсь, до меня в своё время тоже довольно медленно доходило...)

Ну а в g и в g^{-1} чётность числа транспозиций (i,i+1) одинаковая — так что всего число таких транспозиций в (i,j) нечётно. (Да, конечно, можно просто посчитать беспорядки. Но хотелось рассуждения "без единой выкладки".)