У нас в ФМШ начинался первый урок алгебры, а за окном мужики забивали сваю: бум-м! Учитель Борис Михайлович Беккер подошёл к окну и посмотрел на стройку:

-- Должен сказать: чтобы заниматься математикой, вам не нужно задаваться вопросом, поможет ли она быстрее построить вот этот дом напротив. Если же вас это беспокоит, то не исключено, что математика вам противопоказана. Да что ж они так грохочут-то...

С учителем я был согласен на все сто. Если математический объект логически красив, то вот вам уже и причина его исследовать -- а применение в народном хозяйстве дело пятнадцатое. Тем удивительнее было потом узнать, что еще в 19-м веке математики -- даже сам король Карл Гаусс -- считали иначе, полагая, что они должны решать практические задачи, а не забавляться абстракциями.

Эту историю я вспомнил, когда прочёл на днях статью (по ссылке) московских геометров Виктора Прасолова и Аркадия Скопенкова о том, почему неевклидова геометрия была принята научным сообществом не сразу. Одна из причин как раз состояла в том, что Гаусс, который пришел к идеям неевклидовой геометрии примерно в то же время, что и Лобачевский с Бойяи, стеснялся пиарить своё открытие, опасаясь критики коллег за абстракционизм.

Опасался он, конечно, напрасно. Рассуждение о том, что математик не должен задумываться о практической пользе своих занятий, со временем было дополнено еще и тем соображением, что никаких бесполезных абстракций мы на самом деле не изобретаем, а только открываем (если везёт) нечто уже существующее, только доселе неведомое -- и рано или поздно оно и так пригодится на практике. Что и случилось с неевклидовыми геометриями впоследствии

https://arxiv.org/pdf/1307.4902.pdf

Ещё один момент в статье Прасолова и Скопенкова из предыдущего поста, уже не очень серьёзный. На странице 5 у них упоминаются фундаментальные области дробно-линейных преобразований комплексной переменной и даётся сноска: "Читатель, не знающий, что это такое, может пропустить этот абзац без ущерба для понимания
дальнейшего".

То есть, авторы вроде бы заботятся о читателе, чтобы он не бросил читать текст на непонятном месте, но звучит это как освобождение в автобусе места инвалиду со словами: "Садитесь, пожалуйста, ведь вы без ноги".

На то, что точные формулировки могут звучать нетактично, обращал внимание еще Джон Литлвуд в "Математической смеси" (по ссылке). Он привел пример, как один математик написал: "Часть 2, принадлежащая Харди и Литлвуду, тривиальна". На самом деле Харди и Литлвуд привели эту "Часть2" просто для полноты, но замечание выглядело так, будто они только и могут, что доказывать тривиальные утверждения. Обидно-с

https://www.e-reading.club/bookreader.php/1040882/Litlvud_-_Matematicheskaya_smes.html

Задачка из школьного учебника 1910 года -- неплохо дрессировали учеников, правда? Всю решать не предлагаю, разомнитесь на пункте 8 -- устно, разумеется

Поздравляю женщин и хочу рассказать об одной яркой представительнице прекрасного пола в математике — это Таня Хованова, исследователь из Массачусетского технологического и активистка программы "Женщины и математика" в Институте перспективных исследований в Принстоне. А родилась и училась она в Советском Союзе.

В середине 1970-х Таня блистала на международных олимпиадах (1975 серебро, 1976 золото), а тренировали команду перед соревнованиями при помощи так называемых "еврейских задач". Обычно тяжёлые задачи у нас называют "гробами", а в Штатах "киллерами", но тут была особая ситуация, от чего и пошло другое название.

При помощи "гробов" в те годы в МГУ на вступительных экзаменах специально заваливали евреев. Подкопаться к приёмной комиссии было невозможно — для решения и правда хватало школьного курса, но задачки были неподъёмными для школьников. Как говорил В.И. Ленин, "формально верно, а по сути издевательство". Чтобы представлять уровень, попробуйте решить одну из тех задачек: сколько цифр в десятичной записи числа 125 в 100-й степени? По воспоминаниям самой Тани Ховановой, сборная смогла решить только половину еврейских задач.

Сейчас Таня пропагандирует и популяризирует математику. Сделала сервис "Сплетни о числах" . Вводите число и получаете на него досье: является ли оно простым, совершенным, счастливым или, допустим, числом Кармайкла. Об этих прекрасных числах, кстати, мы ещё отдельно поговорим.

А пока — всех женщин ещё раз с праздником

старый анекдот к празднику

-- Ты кого больше любишь: меня или алгебру? -- спросила девушка-филолог у своего парня-математика.
-- Допустим, алгебру.
-- Ах, так! -- вспыхнула девушка и убежала, так и не узнав, что бойфренд начал рассказывать ей доказательство от противного

Поговорим немножко, как собирались, о числах Кармайкла. Но сначала -- о поиске внеземных цивилизаций. Когда четыре года назад миллиардер Юрий Мильнер объявил о выдаче грантов на установление коммуникации с инопланетянами, я тоже задумался.

Худшее, что можно было бы сделать -- устроить профанское телевизионное шоу, в котором победила бы 11-летняя Дженнифер из штата Коннектикут. Она бы написала далеким братьям по разуму примерно следующее письмо: "Дорогие плывунцы с планеты Плюк! Пусть у вас две головы, три руки и четыре ноги -- мы всё равно хотим с вами дружить ради мира во всей Вселенной!" Закадровая массовка в этом месте закатилась бы аплодисментами.

Реально же это, конечно, полная ерунда. Ни на какой планете Плюк, Шелезяка или Татуин прочесть наше послание никто не сможет просто потому, что его невозможно дешифровать. Вы сначала доставьте на другую планету Розеттский камень или вроде того -- как ключ к дешифровке, а уже тогда мечтайте о межзвёздных письмах.

В такой ситуации максимум, что мы можем попытаться сделать -- это послать инопланетянам сигнал, который они бы однозначно распознали как искусственный. Но и тут возникают сложности, даже если не задумываться о физической природе этого сигнала.

Мы не можем посылать им просто одинаковые сигналы через равные промежутки времени. Физики однажды поймали такую передачу и уже думали, что это инопланетяне, но увы -- оказалось, что на какой-то звезде есть просто источник излучения, который мы "слышим", когда эта звезда поворачивает его в нашу сторону. Мы также не можем послать к звёздам число "пи" или "е" -- мы же не знаем, какая у плывунцов на Плюке система счисления.

Даже простые числа нехороши для передачи -- как выясняется, они встречаются в природе в виде продолжительности жизни так называемых периодических цикад. Встречаются в природе и числа Фибоначчи -- в соответствии с ними плодятся кролики. Может быть, конечно, в этом факте нет ничего страшного для коммуникации с плывунцами, а , может быть, и есть -- раз уж эти числа носят такой естественный характер.

Вот почему я и подумал в итоге о числах Кармайкла (561,1105, 1729...). Это-то уж точно придумано разумом! Числа, по своим свойствам очень похожие на простые, но таковыми не являющиеся -- это явно игра ума человеков. Ну а плывунцы, если они разумны, тоже должны их придумать. Поэтому когда они засекут сигнал, передающий числа Кармайкла (например, 561 короткий сигнальчик, потом пауза, затем 1105 коротких сигнальчиков etc.), они сразу поймут, что на связь с ними вышли разумные существа.

Только всё это тоже не даёт никакой гарантии. Мы ведь таким образом пытаемся найти цивилизацию, которая будет примерно такой же по развитию, как наша, через то время, которое потребуется сигналу на преодоление чудовищного расстояния -- это могут быть сотни и тысячи лет. Ответный сигнал, если его даже примут и квалифицируют как послание другой цивилизации, будет идти столько же. Наконец, почему мы решили, что у плывунцов хватит терпения досчитать даже до 561? Особенно если их ритм жизни сильно отличается от нашего -- а ведь он может быть в десятки раз быстрее или медленнее.

Короче говоря, облом по всем направлениям. Если только не считать, что числа Кармайкла (см. ссылку) -- красивая штука сама по себе
@obznam

https://math.dartmouth.edu/~carlp/carmsurvey.pdf

Сегодня 3.14 -- День числа "пи". Всех с праздником, и вот вам любимая мнемоника на 15 знаков числа:

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics
@obznam

Тестировщик софта принимает пивной бар

заказывает 1 кружку пива
заказывает 2 кружки пива
заказывает 0 кружек пива
заказывает 999999999 кружек пива
заказывает -0,39 кружек пива
заказывает "1=1" кружек пива
заказывает ЙЦУКЕН кружек пива

все работает корректно -- бар одобряется и открывается

заходит первый посетитель и спрашивает, где тут туалет

Откровенно лженаучная и псевдоисторическая "Новая хронология" Анатолия Фоменко вызвала, тем не менее, бурные дискусии и профессиональный разбор в научной среде во многом из-за того, что автор — большой ученый в другой области. Выдающийся математик, академик РАН.

Заслуги Анатолия Тимофеевича в математике настолько бесспорны, что выдающийся лингвист, академик Андрей Зализняк какое-то время думал, что Фоменко просто шутит.

"Признаюсь, я сам не могу до конца отделаться от мысли, что для А.Т.Ф. его сочинения на гуманитарные темы — это забавный, хотя и изрядно затянутый фарс, мефистофелевская насмешка математика над простофилями гуманитариями, наука которых настолько беспомощна, что они не в состоянии отличить пародию от научной теории" ( http://www.mathnet.ru/links/250e6c2130d0e7634b0e2ab8c66d8485/rm288.pdf )

Далее Зализняк без особого труда разбивает "сенсационные" утверждения Фоменко вроде того, что река Темза это на самом деле пролив Босфор. Но его статья даже более интересна мыслями о соотношении наук, которые он высказывает по ходу развенчивания "Новой хронологии".

Что с того, что Фоменко большой математик? Собственно математики-то в "Новой хронологии" и нет — там не выводятся формулы и не доказываются теоремы. А если автор начинает проводить статистический анализ времён правления царей, так он должен сначала изучить времена этих царей как заправский историк. То же касается лингвистических и географических "открытий" Фоменко.

Не будем пересказывать всю статью, лучше почитайте оригинал. Академик Зализняк был большим знатоком языка и писал безупречно — и литературно, и логически
@obznam

Хорошо известно, что золотое сечение и числа Фибоначчи часто встречаются в природе и создают впечатление гармонии и красоты. О них часто и рассказывают в одних и тех же материалах (они легко гуглятся), но почему-то не так часто упоминают, что они теснейшим образом связаны, и, в сущности, представляют собой одно и то же явление.

Давайте просто начнем откладывать на прямой отрезки так, что каждый следующий длиннее предыдущего в соответствии с золотым сечением, то есть его длина умножается на 1,61803... или число Фидия (был такой древнегреческий скульптор, очень золотое сечение любил). Соответственно, по определению золотого сечения, длина каждого следующего отрезка будет равна сумме двух предыдущих отрезков -- а это, по сути, и есть числа Фибоначчи, только не натуральные.

Ну а поскольку последовательность натуральных чисел Фибоначчи начинается с двух единиц (а не с единицы и иррационального числа Фидия, как было бы в "идеальной" ситуации), то отношение соседних чисел не сразу соответствует золотому сечению, однако стремится к нему, и это совершенно естественно.

Поэтому появлению чисел Фибоначчи в одних формулах с числом Фидия не стоит удивляться -- у них одна природа. Что совершенно не отменяет красоты этих формул, в частности формулы Бине (см. главу из книги А.Н.Швеца "Perl. Примеры программ")

Хотел сначала в качестве традиционной пятничной шутки поставить анекдот, и всё, но потом подумал, что он несколько глубже, чем просто хохма, и заслуживает комментария.

Сам анекдот таков. У математика спрашивают:
— У тебя есть девушка?
— Нет. Но я знаю, что она существует, и как её найти.

Больших математиков Феликса Бореля и Анри Лебега такая формулировка анекдота наверняка бы устроила, а вот их коллегам Давиду Гильберту и Феликcу Хаусдорфу, скорее всего, не понравилась бы. Дело в том, что Хаусдорф и Гильберт были сторонниками так называемой аксиомы выбора, а вот Борель и Лебег были от неё не в восторге.

Аксиома выбора гласит, что в любом непустом множестве можно выбрать некий элемент. Ну, очевидно, казалось бы — раз множество непустое, то элементы в нём есть, ну и, стало быть, можно выбрать. Фокус в том, что мы здесь не знаем, как именно выбрать и что это за элемент. А между тем — оперируем им.

Иными словами, Хаусдорф и Гильберт последнюю фразу анекдота сократили бы до "но я знаю, что она существует" — и достаточно. А вот Борелю и Лебегу был бы важен способ поиска девушки — так мыслят и многие физики.

Использование аксиомы выбора позволяет доказывать удивительнейшие, на первый взгляд, утверждения. Самое известное — парадокс Банаха-Тарского: шар можно разрезать на части таким образом, что эти части потом можно сложить в шар большего радиуса.

Что за чертовщина, скажете вы. Объясните свой парадокс торговцу арбузами на базаре: "Уважаемый, давай разрежем твой маленький арбуз и потом сложим из долек большой". Он покрутит пальцем у виска — в лучшем случае. И всё же.

Дело в том, если кратко, что шар, как его понимают математики — это модель арбуза, но это не в точности арбуз. И потому он вполне может обладать другими свойствами. А, кроме того, "разрезать" в прямом смысле у нас шар не получится — мы только будем знать, что искомые куски существуют, но в точности их не опишем. Это вообще будут такие хитрые куски, что у них даже не будет объема — так называемые неизмеримые множества.

Доказательство теоремы Банаха-Тарского и подробное обсуждение связанной с ней философии можно прочесть по ссылке. Там достаточно знания школьного курса
@obznam

https://www.mccme.ru/free-books/dubna/guba-lvovsky.pdf