#تعاریف_ریاضیات #ریاضی #ریاضی_فیزیک

🟡 تعریف همگرایی دنباله ها (Convergence):
رفتار یک دنباله در بی نهایت، تعیین کننده همگرایی یا واگرایی یک دنباله است. از آن جایی که اعضای یک دنباله، عضو یک فضای متری هستند، میتوان با استفاده از فاصله ای که بینشان تعریف میشود، تعیین کرد که آیا اعضای دنباله، به یک عضو از فضای متری نزدیک میشوند و به آن همگرا هستند یا خیر.

نکته ی مهمی که وجود دارد این است که تعریفی که در تصویر آمده است، عملاً برای تعیین همگرایی دنباله ها به صورت عملی، مناسب نیست و باید متوسل به تعاریف و ابزارهای دیگری شد.

⚛ کانال تکامل فیزیکی
@physical_evolution

#تعاریف_ریاضیات #ریاضی #ریاضی_فیزیک

🟡 تعریف دنباله کوشی (Cauchy sequence):
اینکه تعریف همگرایی دنباله ها به صورت عملی برای تعیین همگرایی دنباله ها مناسب نیست، انگیزه ای است برای تعریف دنباله ی کوشی. دنباله ی کوشی دنباله ای است که اعضای آن با پیشرفتن در طول دنباله، به هم نزدیک تر و نزدیک تر میشوند.

⚛ کانال تکامل فیزیکی
@physical_evolution

#محاسبات_اطلاعات_کوانتومی #کوانتوم #کیوبیت #فضای_هیلبرت #محاسبات_کوانتومی

🟡 گیت کلاسیک NOT و گیت کوانتومی NOT:
در محاسبات کلاسیک، یکی از مدل های محاسبه، معروف به مدل مداری به این صورت تعریف میشود که تعدادی سیم داریم که اطلاعات بیت ها را منتقل میکنند و تعدادی گیت داریم که بر روی این بیت ها تغییراتی ایجاد میکنند. ساده ترین بیت کلاسیکی ۱ بیتی غیربدیهی که میتوان تصور کرد، گیت NOT است. این گیت به این صورت کار میکند که بیت 0 را تبدیل به بیت 1 میکند و بالعکس.

در محاسبات کوانتومی نیز، روش مشابهی را برای محاسبه برمیگزینیم، به این صورت که تعدادی سیم داریم که اطلاعات کیوبیت ها را منتقل میکند و تعدادی گیت کوانتومی که بر روی کیوبیت ها تغییرات (تحول) ایجاد میکند. مشابه کوانتومی گیت NOT را میتوان به صورتی که در تصویر آمده تعریف کرد.

⚛ کانال تکامل فیزیکی
@physical_evolution

#محاسبات_اطلاعات_کوانتومی #کوانتوم #کیوبیت #فضای_هیلبرت #محاسبات_کوانتومی

🟡 گیت های کوانتومی:
مدل مداری در محاسبات کوانتومی به این صورت است که تعدادی سیم برای انتقال اطلاعات کیوبیت ها و تعدادی گیت کوانتومی برای تغییر دادن (تحول) این کیوبیت ها آماده میشود و برای هدفی خاصی که مدنظر است به صورت مناسبی به هم متصل میشود.

گیت های کوانتومی در حالت کلی، تحولی روی کیوبیت ها هستند. تحولات در مکانیک کوانتومی، عملگرهای یکانی هستند و بنابراین، تنها شرطی که برای گیت ها کوانتومی وجود دارد این است که یکانی باشند. منظور این است که نمایش ماتریسی مربوط به گیت کوانتومی، یکانی باشد. این نمایش ماتریسی از نحوه عمل یک گیت روی پایه های محاسباتی (کت 0 و کت 1) به دست می آید.

⚛ کانال تکامل فیزیکی
@physical_evolution

#تعاریف_ریاضیات #ریاضی #ریاضی_فیزیک

🟡 فضای متری کامل (Complete metric space):
از قضیه ی شماره ۱۷ فهمیدیم که دنباله های کوشی لزوماً همیشه همگرا نیستند. اما فضاهای متری وجود دارد که همه دنباله های کوشی در آن ها همگرا هستند. این فضاها بسیار مورد علاقه ی ریاضیدانان و فیزیکدانان هستند. به چنین فضاهایی، فضای متری کامل میگویند.

⚛ کانال تکامل فیزیکی
@physical_evolution

#محاسبات_اطلاعات_کوانتومی #کوانتوم #کیوبیت #فضای_هیلبرت #محاسبات_کوانتومی

🟡 گیت های کوانتومی ۱ کیوبیتی:
بر خلاف محاسبات کلاسیک، که تنها گیت یک بیتی گیت NOT است، در محاسبات کوانتومی، گیت های متعدد ۱ کیوبیتی داریم. در این تصویر، دو مثال از گیت های ۱ کیوبیتی X و Z نشان داده شده است. این گیت ها در الگوریتم های کوانتومی متعددی به کار میروند.

⚛ کانال تکامل فیزیکی
@physical_evolution

#محاسبات_اطلاعات_کوانتومی #کوانتوم #کیوبیت #فضای_هیلبرت #محاسبات_کوانتومی

🟡 گیت هادامارد:
یکی دیگر از گیت های کوانتومی ۱ کیوبیتی مهم، گیت هادامارد است که آن را معمولا با H نشان میدهند. این گیت در الگوریتم های کوانتومی متعددی به کار میرود.

یکی از مهمترین کاربردهایی که این گیت دارد در تولید زوج های درهم تنیده است. ترکیبی از این گیت و گیتی دو کیوبیتی (که در پست های بعدی معرفی خواهد شد) میتواند یک حالت بل تولید کند.

⚛ کانال تکامل فیزیکی
@physical_evolution

#محاسبات_اطلاعات_کوانتومی #کوانتوم #کیوبیت #فضای_هیلبرت #محاسبات_کوانتومی

🟡 شبیه‌سازی عملکرد گیت هادامارد روی کره‌ی بلوخ:
در این تصویر (که از کتاب Nielsen و Chuang برداشته شده) عملکرد گیت هادامارد، به صورت هندسی، روی کره‌ی بلوخ نشان داده شده است. ابتدا حالت، حول محور y به اندازه‌ی ۹۰ درجه دوران می‌کند و سپس نسبت به صفحه‌ی xy قرینه می‌شود.

بنابراین، به طور مثال، حالت <+| تحت عمل گیت هادامارد، ابتدا (بعد از چرخش حول محور y) تبدیل میشود به حالت <1| و سپس (بعد از قرینه شدن)، تبدیل میشود به حالت <0|.

⚛ کانال تکامل فیزیکی
@physical_evolution

#تعاریف_ریاضیات #ریاضی #ریاضی_فیزیک

🟡 عدد اصلی مجموعه (Cardinality):
عمل شمردن اعضای یک مجموعه، در واقع یک نگاشت یک به یک است از یک مجموعه ی نامعلوم به مجموعه ای که تعداد اعضایش معلوم است. اگر چنین نگاشت یک به یک پوشایی بین دو مجموعه وجود داشته باشد، آنگاه میتوان نتیجه گرفت که تعداد اعضای مجموعه ی نامعلوم با تعداد اعضای مجموعه ی معلوم برابر است.
مفهوم عدد اصلی مجموعه نیز از همین جا سرچشمه میگیرد. دو مجوعه دارای عدد اصلی یکسانی هستند (تعداد اعضایشان یکسان است) اگر بتوان یک نگاشت یک به یک و پوشا بین این دو مجموعه تعریف کرد.

⚛ کانال تکامل فیزیکی
@physical_evolution

#تعاریف_ریاضیات #ریاضی #ریاضی_فیزیک

🟡 مجموعه متناهی (Finite set):
مجموعه ی اعداد طبیعی از ۱ تا n را در نظر بگیرید. این مجموعه را متناهی با تعداد اعضای n در نظر میگیریم. حال اگر مجموعه ای دارای یک تناظر یک به یک با مجموعه ی مفروض باشد، مجموعه را متناهی میخوانند و عدد اصلی این مجموعه (تعداد اعضایش) برابر است با n.

⚛ کانال تکامل فیزیکی
@physical_evolution

#محاسبات_اطلاعات_کوانتومی #کوانتوم #کیوبیت #فضای_هیلبرت #محاسبات_کوانتومی

🟡 گیت تک کیوبیتی (حالت کلی):
در حالت کلی میتوان (اثبات میشود) یک گیت تک کیوبیتی را همانند یک فاز خالص و سه ماتریس چرخش توصیف کرد. بنابراین، هر گیت تک کیوبیتی، با استفاده از ۴ پارامتر حقیقی توصیف میشود.

🖋 برای اثبات، به صفحه‌ی ۱۷۵ و ۱۷۶ کتاب زیر نگاه شود:
Quantum Computation and Quantum Information by Nielsen and Chuang

تنها فرض‌های قضیه‌ی بالا این است که گیت یکانی است و روی یک کیوبیت اثر میکند.

⚛ کانال تکامل فیزیکی
@physical_evolution

#محاسبات_اطلاعات_کوانتومی #کوانتوم #کیوبیت #فضای_هیلبرت #محاسبات_کوانتومی

🟡 گیت های چند کیوبیتی (گیت CNOT):
بعد از مطالعه ی گیت های تک کیوبیتی، باید به سراغ مطالعه ی گیت های چند کیوبیتی رفت. چرا که عملاً مدارهای کوانتومی، با چندین کیوبیت سروکار دارند که تحت تحول قرار میگیرند و محاسبه را برای ما انجام میدهند. یکی از مهمترین گیت های دو کیوبیتی، گیت CNOT میباشد.

کمتر مدار کوانتومی میتوان یافت که گیت CNOT در آن حضور نداشته باشد. کلمه ی CNOT مخفف کلمه ی Controlled-NOT میباشد. این گیت دو کیوبیت میگیرد که یکی از این دو کیوبیت، معروف است به کیوبیت کنترل و دیگری معروف است به کیوبیت هدف.

⚛ کانال تکامل فیزیکی
@physical_evolution

#تعاریف_ریاضیات #ریاضی #ریاضی_فیزیک

🟡 مجموعه بی نهایت شمارا (Countably infinite set):
مجموعه ای که با مجموعه ی اعداد طبیعی، تناظر یک به یک داشته باشد را، بی نهایت شمارا میخوانند. ممکن است سوال برایتان پیش بیاید که مگر بی نهایت دیگری هم داریم؟ و اصلا چطور میتوان بی نهایت ها را دسته بندی کرد و به هر دسته خاصیت هایی نسبت داد؟
همه ی این امکانات عجیب، به مدد مفهوم عدد اصلی، ممکن شده است.

⚛ کانال تکامل فیزیکی
@physical_evolution

#تعاریف_ریاضیات #ریاضی #ریاضی_فیزیک

🟡 مثالی از مجموعه ی بی نهایت شمارا:
مجموعه ی اعداد زوج یا فرد، زیر مجموعه ی اعداد طبیعی هستند. ولی میتوان تناظری یک به یک بین این مجموعه ها و مجموعه ی اعداد طبیعی فراهم کرد. بنابراین، طبق تعریف، عدد اصلی مجموعه ی اعداد زوج و مجموعه ی اعداد طبیعی یکسان است و این یعنی تعداد اعضای برابر دارند. ولی چطور ممکن است که یک مجموعه و زیر مجموعه ای از آن مجموعه دارای اعضای یکسانی باشند؟
این خاصیت عجیب، تنها در مجموعه های بی نهایت رخ میدهد. به همین جهت است که گاهی مجموعه های بی نهایت را اینگونه تعریف میکنند که مجموعه هایی که تعداد اعضایشان با تعداد اعضای یکی از زیرمجموعه ی محضشان برابر باشد.

نکته: زیر مجموعه ی محض یک مجموعه، زیرمجموعه ای از آن است که حتماً برابر با خود مجموعه نیست.

⚛ کانال تکامل فیزیکی
@physical_evolution

#محاسبات_اطلاعات_کوانتومی #کوانتوم #کیوبیت #فضای_هیلبرت #محاسبات_کوانتومی

🟡 گیت CNOT:
عمل گیت CNOT بر روی پایه های محاسباتی نشان داده شده است. به طور کلی، این گیت اینطور عمل می کند که اگر کیوبیت کنترل <0| باشد، کاری روی کیوبیت هدف انجام نمیدهد و اگر کیوبیت کنترل <1| باشد، کیوبیت هدف را NOT میکند. در هر حالت، این گیت کیوبیت کنترل را تغییر نمیدهد.
به بیان دیگر میتوان اینگونه به گیت CNOT نگاه کرد که این گیت کیوبیت کنترل را تغییر نمی دهد ولی کیوبیت هدف را با کیوبیت کنترل جمع (به مد ۲) می کند و در کیوبیت هدف ذخیره میکند. بنابراین، به نوعی تعمیم گیت XOR است.


⚛ کانال تکامل فیزیکی
@physical_evolution

#محاسبات_اطلاعات_کوانتومی #کوانتوم #کیوبیت #فضای_هیلبرت #محاسبات_کوانتومی

🟡 جهان شمولی:
ممکن است بپرسید که دیگر وقت آن است که گیت های ۳ کیوبیتی و ۴ کیوبیتی و ... ها را بررسی کنیم. ولی واقعیت این است که نیازی به چنین کاری نیست.

یکی از علت های اصلی اهمیت گیت CNOT در پاسخ به سوال بالا نهفته است. اثبات میشود که گیت CNOT به همراه گیت های تک کیوبیتی، می توانند تمامی گیت های چند کیوبیتی را به وجود آورند. در واقع کافی است که تعدادی از این گیت ها را با هم ترکیب کنیم، تا هر الگوریتیمی را پیاده سازی کنیم. به این خاصیت، جهان شمولی گیت های CNOT و گیت های تک کیوبیتی گفته میشود.

⚛ کانال تکامل فیزیکی
@physical_evolution

#تعاریف_ریاضیات #ریاضی #ریاضی_فیزیک

🟡 مجموعه ناشمارا (Uncountable set):
مجموعه ای که نه متناهی باشد و نه بی نهایت شمارا، ناشمارا خوانده میشود. بیشتر مجموعه های (پیوسته) آشنا از این دسته هستند. به عنوان مثال، مجموعه ی اعداد حقیقی یا فضای سه بعدی حقیقی. این مجموعه ها، به بیانی خودمانی، بی نهایت بیشتری نسبت به مجموعه های بی نهایت شمارا دارند.

⚛ کانال تکامل فیزیکی
@physical_evolution

#تعاریف_ریاضیات #ریاضی #ریاضی_فیزیک

🟡 استقرای ریاضی (Mathematical Induction):
در ریاضیات خیلی پیش می آید که با گزاره هایی که سروکار داشته باشیم که توسط یک عدد طبیعی مشخص می شوند و قصدمان این است که حکم کنیم این گزاره ها به ازای همه ی اعداد طبیعی صادق هستند. برای اثبات چنین احکامی، روش استقرای ریاضی بسیار مفید و سودمند است. دقت شود که روش استقرای ریاضی، یک اثبات یقینی است و از جنس استقرای تجربی نیست.

⚛ کانال تکامل فیزیکی
@physical_evolution