В докладе будут рассмотрены точные и асимптотически точные неравенства бернштейновского и марковского типов для полиномов и рациональных функций, включая соответствующие оценки для старших производных. В частности, нас будут интересовать теоремы покрытия и искажения для многочленов, нормированных на подмножествах единичной окружности, включая особую форму асимптотически точного неравенства Маркова на компактах достаточно общего вида. Результаты сформулированы в терминах теории потенциала. В доказательствах кроме теории потенциала ключевую роль играет ряд результатов геометрической теории функций и быстро убывающие многочлены.

Доклад основан на серии работ, среди которых — совместные исследования с В.Н. Дубининым, К. Коноплевым, Б. Надем и В. Тотиком.

Мы изучаем локальные флуктуации случайных диаграмм Юнга, связанные с вероятностными мерами, возникающими из косой $(\mathrm{Sp}_{2n},\mathrm{Sp}_{2k})$-двойственности Хау. В пределе $n,k\to\infty$ при $n\sim k$ случайные диаграммы Юнга сходятся к предельной форме. Диаграммы представляются случайными конфигурациями частиц, описываемыми ансамблем ортогональных полиномов, получающимися с помощью преобразования Кристоффеля из полиномов Кравчука. Для изучения асимптотики мы рассматриваем преобразование Кристоффеля для общих полиномов с симметрическим весом. Мы доказываем, что ядро Кристоффеля – Дарбу для полиномов четной степени, полученных преобразованием Кристоффеля, и ядро для исходных полиномов четной степени задают операторы, близки друг к другу по операторной норме. В частности, для исходной косой $(\mathrm{Sp}_{2n},\mathrm{Sp}_{2k})$-двойственности Хау мы выделяем четыре асимптотических режима локальных флуктуаций. Помимо универсальных флуктуаций, описываемых дискретным синус-ядром во внутренних точках предельной формы, и флуктуаций типа Эйри на правом краю, мы наблюдаем дискретное ядро Эрмита в режиме $\lim k/n = 1$ и симметричное синус-ядро в левом углу. Совместная работа с А. Назаровым и А. Селеменчуком.

Многие задачи математического анализа можно сформулировать на языке оптимизационных функций, которые в свою очередь допускают Беллмановскую постановку. Доклад — знакомство с методом функции Беллмана на примере неравенства Джона-Ниренберга. Суть метода функции Беллмана в том, чтобы из определённых закономерностей пространства функций, на котором поставлена экстремальная задача понять структуру оптимизационной функции, после чего свести задачу нахождения супремума по бесконечномерному пространству к вычислению определённой конечномерной функции. Часто оптимизационная функция оказывается минимальной локально вогнутой функцией, или минимальной функцией из класса удовлетворяющих неравенству напоминающему вогнутость. Мы рассмотрим несколько стандартных концепций теории функций Беллмана на примере пространства BMO, увидим их взаимосвязи, а также пару стандартных трюков этой теории.

Проблема увеличения времени генерации ответа при инференсе современных больших языковых моделей усугубляется не только ростом размеров моделей, но и необходимостью генерации длинных ответов, что особенно актуально для Reasoning Models, использующих цепочки рассуждений (Chain-of-Thought). Можно ли уменьшить время на генерацию, при этом сохранив длину ответа и, самое главное, его качество? Ответом на этот вопрос стал метод спекулятивного декодирования (Speculative Decoding).

За короткое время этот подход стал стандартом оптимизации LLM, значительно ускоряя их в decode-heavy сценариях. По этой причине особое внимание на семинаре будет уделено рассмотрению эволюции спекулятивного декодирования: от базовых идей до архитектур, ставших state-of-the-art и внедренных в промышленные движки для инференса. Также мы обсудим актуальные направления развития и последние исследования в этой области.

🔘 ауд. 106, Ректорский флигель (инструкция, как пройти)
🔘 Ссылка на трансляцию в Zoom
🔘 Ссылка на регистрацию

Маша пришла ко мне ещё студенткой, и с самого начала было видно, что это редкий случай: человек, который одновременно обладает математической интуицией, смелостью в решении трудных задач и удивительной работоспособностью. За эти годы она выросла в зрелого исследователя, способного самостоятельно ставить глубокие вопросы и находить на них нестандартные ответы.

Её диссертация посвящена бесконечномерной выпуклой геометрии — области на стыке теории вероятностей, функционального анализа и геометрии. Маша сумела обобщить классические результаты, которые до неё существовали только в конечномерном мире, на бесконечномерный случай. Это по-настоящему сильная работа: из четырёх основных публикаций три написаны ею единолично, что для аспиранта — исключительный показатель. Работа уже получила признание: Маша награждена медалью Российской академии наук в номинации «Математика» и стала призёром Всероссийского конкурса Мёбиуса.

А если говорить о Маше как о человеке — она умеет ставить перед собой амбициозные задачи и не пасовать перед трудностями. Она самостоятельна, прилежна и при этом открыта к новым идеям. Я горжусь тем, что был её научным руководителем, и уверен, что впереди у неё большое будущее в математике.

Д.Н. Запорожец, научный руководитель Марии, д.ф.-м.н., член-корреспондент РАН, зам. директора по научной работе ПОМИ РАН

Многие задачи математического анализа можно сформулировать на языке оптимизационных функций, которые в свою очередь допускают Беллмановскую постановку. Доклад — знакомство с методом функции Беллмана на примере неравенства Джона-Ниренберга. Суть метода функции Беллмана в том, чтобы из определённых закономерностей пространства функций, на котором поставлена экстремальная задача понять структуру оптимизационной функции, после чего свести задачу нахождения супремума по бесконечномерному пространству к вычислению определённой конечномерной функции. Часто оптимизационная функция оказывается минимальной локально вогнутой функцией, или минимальной функцией из класса удовлетворяющих неравенству напоминающему вогнутость. Мы рассмотрим несколько стандартных концепций теории функций Беллмана на примере пространства BMO, увидим их взаимосвязи, а также пару стандартных трюков этой теории.