Set bits. Алгоритм Брайана Кернигана
Для подсчета количества единиц в двоичном представлении целого числа, можно использовать алгоритм Брайана Кернигана.
Смысл алгоритма заключается в том, что вычитание единицы из десятичного числа переворачивает все биты после крайнего правого установленного бита (который равен 1), включая самый правый установленный бит.
Для подсчета количества единиц в двоичном представлении целого числа, можно использовать алгоритм Брайана Кернигана.
Смысл алгоритма заключается в том, что вычитание единицы из десятичного числа переворачивает все биты после крайнего правого установленного бита (который равен 1), включая самый правый установленный бит.
Сложение двоичных чисел, представленных в виде строк
Для сложения строк рассмотрим алгоритм сложения "столбиком":
1) Инициализация. Создаем пустую строку для результата (res) и переменную для переноса (carry).
2) Сложение с конца. Проходим по обоим строкам с конца к началу, складывая соответствующие биты и перенос.
3) Формирование результата. Добавляем текущий бит результата в начало строки res, обновляем перенос.
4) Перенос. Если после обработки всех битов остался перенос, добавляем его к результату.
5) Возврат. Возвращаем итоговую строку результата.
Для сложения строк рассмотрим алгоритм сложения "столбиком":
1) Инициализация. Создаем пустую строку для результата (res) и переменную для переноса (carry).
2) Сложение с конца. Проходим по обоим строкам с конца к началу, складывая соответствующие биты и перенос.
3) Формирование результата. Добавляем текущий бит результата в начало строки res, обновляем перенос.
4) Перенос. Если после обработки всех битов остался перенос, добавляем его к результату.
5) Возврат. Возвращаем итоговую строку результата.
Умножение двух чисел с помощью побитовых операций
Одним из интересных методов является алгоритм Русского крестьянина.
Идея состоит в том, чтобы удвоить первое число и многократно разделить второе число пополам, пока второе число не станет равным 1. В процессе, когда второе число становится нечетным, к результату добавляется первое число.
Одним из интересных методов является алгоритм Русского крестьянина.
Идея состоит в том, чтобы удвоить первое число и многократно разделить второе число пополам, пока второе число не станет равным 1. В процессе, когда второе число становится нечетным, к результату добавляется первое число.
Определить, имеют ли два целых числа противоположные знаки
Чтобы определить, имеют ли два целых числа противоположные знаки, можно использовать побитовые операции или операторы сравнения.
При использовании операции побитового исключающего ИЛИ (XOR), если два числа 𝑥 и 𝑦 имеют противоположные знаки, то их побитовое XOR выражение 𝑥⊕𝑦 будет иметь старший бит равным 1. Это объясняется тем, что старший бит в числе определяет его знак: 0 для положительных чисел и 1 для отрицательных чисел.
Этот метод более эффективный, чем второй. Во втором методе используются два оператора сравнения, однако, побитовая операция XOR более эффективна по сравнению с операцией сравнения.
Чтобы определить, имеют ли два целых числа противоположные знаки, можно использовать побитовые операции или операторы сравнения.
При использовании операции побитового исключающего ИЛИ (XOR), если два числа 𝑥 и 𝑦 имеют противоположные знаки, то их побитовое XOR выражение 𝑥⊕𝑦 будет иметь старший бит равным 1. Это объясняется тем, что старший бит в числе определяет его знак: 0 для положительных чисел и 1 для отрицательных чисел.
Этот метод более эффективный, чем второй. Во втором методе используются два оператора сравнения, однако, побитовая операция XOR более эффективна по сравнению с операцией сравнения.
Проверить, равны ли два числа, не используя арифметические операторы и операторы сравнения.
Для проверки равенства двух чисел можно использовать побитовую операцию NOT (~) и побитовую операцию AND (&).
Алгоритм:
- Проверка (a & ~b) == 0 убедится, что все биты, установленные в a, также установлены в b.
- Проверка (b & ~a) == 0 убедится, что все биты, установленные в b, также установлены в a.
- Если обе проверки равны нулю, значит, оба числа имеют одинаковые биты, то есть они равны.
Для проверки равенства двух чисел можно использовать побитовую операцию NOT (~) и побитовую операцию AND (&).
Алгоритм:
- Проверка (a & ~b) == 0 убедится, что все биты, установленные в a, также установлены в b.
- Проверка (b & ~a) == 0 убедится, что все биты, установленные в b, также установлены в a.
- Если обе проверки равны нулю, значит, оба числа имеют одинаковые биты, то есть они равны.
Вычисление абсолютного значения без ветвлений
Абсолютное значение числа — это неотрицательное значение этого числа без учета его знака.
Ветвления - это условные операции, такие как if, else или тернарный оператор '? :'.
Вместо использования ветвлений, можно использовать битовые операции, так как они могут снижать производительность из-за предсказаний ветвлений и возможных ошибок в этих предсказаниях. Особенно это критично в высокопроизводительных системах или на процессорах, где ветвления могут быть дорогими.
Абсолютное значение числа — это неотрицательное значение этого числа без учета его знака.
Ветвления - это условные операции, такие как if, else или тернарный оператор '? :'.
Вместо использования ветвлений, можно использовать битовые операции, так как они могут снижать производительность из-за предсказаний ветвлений и возможных ошибок в этих предсказаниях. Особенно это критично в высокопроизводительных системах или на процессорах, где ветвления могут быть дорогими.
Найти минимум или максимум между двумя числами без ветвлений
Иногда требуется найти минимум или максимум двух целых чисел, избегая использования ветвлений. Это может быть полезно на редких архитектурах, где ветвления являются очень дорогими операциями и отсутствуют инструкции условного перемещения.
Как это работает:
1. Побитовые операции: (x ^ y) вычисляет побитовое XOR между x и y.
2. Преобразование условия в маску: -(x < y) преобразует логическое выражение (x < y) в побитовую маску: все единицы, если условие истинно, и все нули, если условие ложно.
3. Комбинирование с y: ((x ^ y) & -(x < y)) сохраняет значение x, если x меньше y, и обнуляет его в противном случае.
4. Финальный XOR: y ^ (...) окончательно комбинирует результат с y.
Если x < y, то маска будет состоять из всех единиц, и результат будет равен x. В противном случае, результат останется равен y.
В большинстве современных процессоров использование условных операторов и тернарных операторов будет оптимальным, так как компиляторы могут эффективно обрабатывать такие конструкции. Однако понимание того, как можно избежать ветвлений с помощью побитовых операций, расширяет ваше знание оптимизаций и может быть полезно в специфических случаях.
Иногда требуется найти минимум или максимум двух целых чисел, избегая использования ветвлений. Это может быть полезно на редких архитектурах, где ветвления являются очень дорогими операциями и отсутствуют инструкции условного перемещения.
Как это работает:
1. Побитовые операции: (x ^ y) вычисляет побитовое XOR между x и y.
2. Преобразование условия в маску: -(x < y) преобразует логическое выражение (x < y) в побитовую маску: все единицы, если условие истинно, и все нули, если условие ложно.
3. Комбинирование с y: ((x ^ y) & -(x < y)) сохраняет значение x, если x меньше y, и обнуляет его в противном случае.
4. Финальный XOR: y ^ (...) окончательно комбинирует результат с y.
Если x < y, то маска будет состоять из всех единиц, и результат будет равен x. В противном случае, результат останется равен y.
В большинстве современных процессоров использование условных операторов и тернарных операторов будет оптимальным, так как компиляторы могут эффективно обрабатывать такие конструкции. Однако понимание того, как можно избежать ветвлений с помощью побитовых операций, расширяет ваше знание оптимизаций и может быть полезно в специфических случаях.
Расширение знакового числа из фиксированной битовой ширины
В программировании часто требуется преобразовать знаковое число с фиксированной битовой шириной в тип данных с большей битовой шириной, сохраняя его знак. Это называется расширением знака (sign extension). Например, если у нас есть 4-битное число −3 (1101 в двоичном виде), и мы хотим представить его в 8-битном формате, результатом будет 11111101.
В программировании часто требуется преобразовать знаковое число с фиксированной битовой шириной в тип данных с большей битовой шириной, сохраняя его знак. Это называется расширением знака (sign extension). Например, если у нас есть 4-битное число −3 (1101 в двоичном виде), и мы хотим представить его в 8-битном формате, результатом будет 11111101.
Расширение знака из переменной битовой ширины
Иногда требуется расширить знак числа, но заранее неизвестно, сколько битов, b, используется для его представления. В языках программирования, таких как Java, где отсутствуют битовые поля, это становится особенно актуальным.
Объяснение:
1. Создание маски: 1U << (b - 1) создаёт маску с единицей на b-ом бите.
2. Обнуление старших битов: x = x & ((1U << b) - 1) обнуляет биты в x выше b-ого (если они не обнулены заранее).
3. Расширение знака:
- (x ^ m) инвертирует старший бит, если он установлен.
- m корректирует значение, завершая процесс расширения знака.
Иногда требуется расширить знак числа, но заранее неизвестно, сколько битов, b, используется для его представления. В языках программирования, таких как Java, где отсутствуют битовые поля, это становится особенно актуальным.
Объяснение:
1. Создание маски: 1U << (b - 1) создаёт маску с единицей на b-ом бите.
2. Обнуление старших битов: x = x & ((1U << b) - 1) обнуляет биты в x выше b-ого (если они не обнулены заранее).
3. Расширение знака:
- (x ^ m) инвертирует старший бит, если он установлен.
- m корректирует значение, завершая процесс расширения знака.
Более быстрый метод расширение знака из переменной битовой ширины
Иногда требуется расширить знак числа, но заранее неизвестно, сколько битов, b, используется для его представления. В языках программирования, таких как Java, где отсутствуют битовые поля, это становится особенно актуальным.
Объяснение:
1. Определение маски сдвига:
- CHAR_BIT — количество битов в байте (обычно 8).
- sizeof(x) — количество байтов в типе int (обычно 4 на современных системах).
- m = CHAR_BIT * sizeof(x) - b вычисляет количество битов для сдвига.
2. Сдвиг влево: x << m сдвигает число x влево на m битов. Это перемещает старший бит знака на самый левый бит числа.
3. Сдвиг вправо:(x << m) >> m сдвигает результат обратно вправо на m битов, заполняя старшие биты знака.
Иногда требуется расширить знак числа, но заранее неизвестно, сколько битов, b, используется для его представления. В языках программирования, таких как Java, где отсутствуют битовые поля, это становится особенно актуальным.
Объяснение:
1. Определение маски сдвига:
- CHAR_BIT — количество битов в байте (обычно 8).
- sizeof(x) — количество байтов в типе int (обычно 4 на современных системах).
- m = CHAR_BIT * sizeof(x) - b вычисляет количество битов для сдвига.
2. Сдвиг влево: x << m сдвигает число x влево на m битов. Это перемещает старший бит знака на самый левый бит числа.
3. Сдвиг вправо:(x << m) >> m сдвигает результат обратно вправо на m битов, заполняя старшие биты знака.
Условное установление или очистка битов без ветвлений. Использование XOR и побитовых операций
В некоторых случаях необходимо изменить биты в числе в зависимости от условия, но без использования условных операторов (if). Это может быть особенно полезно на архитектурах, где ветвления дорогостоящи.
Метод использует XOR и побитовые операции для условного изменения битов. Он полезен, когда нужно минимизировать количество операций.
В некоторых случаях необходимо изменить биты в числе в зависимости от условия, но без использования условных операторов (if). Это может быть особенно полезно на архитектурах, где ветвления дорогостоящи.
Метод использует XOR и побитовые операции для условного изменения битов. Он полезен, когда нужно минимизировать количество операций.
Условное установление или очистка битов без ветвлений. Использование побитовых операций для суперскалярных процессоров
В некоторых случаях необходимо изменить биты в числе в зависимости от условия, но без использования условных операторов (if). Это может быть особенно полезно на архитектурах, где ветвления дорогостоящи.
Метод использует комбинацию побитовых операций и может быть более эффективным на суперскалярных процессорах, так как позволяет параллельно выполнять несколько операций.
В некоторых случаях необходимо изменить биты в числе в зависимости от условия, но без использования условных операторов (if). Это может быть особенно полезно на архитектурах, где ветвления дорогостоящи.
Метод использует комбинацию побитовых операций и может быть более эффективным на суперскалярных процессорах, так как позволяет параллельно выполнять несколько операций.
Объединение битов из двух значений в соответствии с маской
В данной задаче мы хотим объединить биты двух значений a и b в соответствии с битовой маской mask, где:
1 в маске указывает, что нужно взять бит из b.
0 в маске указывает, что нужно взять бит из a.
Преимущества:
- Оптимизация: Этот метод устраняет одну операцию по сравнению с очевидным способом объединения битов: (a & ~mask) | (b & mask).
- Универсальность: Может быть эффективнее на некоторых архитектурах, особенно если маска не является константой.
В данной задаче мы хотим объединить биты двух значений a и b в соответствии с битовой маской mask, где:
1 в маске указывает, что нужно взять бит из b.
0 в маске указывает, что нужно взять бит из a.
Преимущества:
- Оптимизация: Этот метод устраняет одну операцию по сравнению с очевидным способом объединения битов: (a & ~mask) | (b & mask).
- Универсальность: Может быть эффективнее на некоторых архитектурах, особенно если маска не является константой.
Проверить четность с использованием 64-битного умножения и деления по модулю
Такой метод вычисляет четность байта (8-битного числа) с помощью 64-битного умножения и деления по модулю. Этот метод позволяет вычислить четность за небольшое количество операций.
Преимущества метода:
- Эффективность: Метод использует небольшое количество операций (около 4), что делает его достаточно быстрым.
- Простота: Использование умножения и деления по модулю позволяет избежать циклов и сложных битовых операций.
Такой метод вычисляет четность байта (8-битного числа) с помощью 64-битного умножения и деления по модулю. Этот метод позволяет вычислить четность за небольшое количество операций.
Преимущества метода:
- Эффективность: Метод использует небольшое количество операций (около 4), что делает его достаточно быстрым.
- Простота: Использование умножения и деления по модулю позволяет избежать циклов и сложных битовых операций.
Вычисление четности параллельным методом
Метод позволяет вычислить четность 32-битного числа с помощью параллельных операций за около 9 шагов. Он использует побитовые сдвиги и XOR для объединения битов.
Преимущества метода:
- Эффективность: Всего 9 операций для вычисления четности 32-битного числа.
- Простота: Простые побитовые операции.
- Универсальность: Метод можно адаптировать для 8-битных чисел, убрав первые два сдвига.
Метод позволяет вычислить четность 32-битного числа с помощью параллельных операций за около 9 шагов. Он использует побитовые сдвиги и XOR для объединения битов.
Преимущества метода:
- Эффективность: Всего 9 операций для вычисления четности 32-битного числа.
- Простота: Простые побитовые операции.
- Универсальность: Метод можно адаптировать для 8-битных чисел, убрав первые два сдвига.
Вычисление логарифма по основанию 2 от целого числа с использованием MSB
Вычисление логарифма по основанию 2 от целого числа эквивалентно нахождению позиции самого старшего установленного бита - MSB(Most Significant Bit). Этот метод работает за O(N) операций, где N — количество бит в числе.
Пример использования:
Если v=29:
- В двоичной системе 29 представляется как 11101.
- В каждом шаге цикла v уменьшается следующим образом:
11101 -> 01110 -> 00111 -> 00011 -> 00001 -> 00000
- При каждом сдвиге r увеличивается на 1.
В результате: log_2(29)=4.
Вычисление логарифма по основанию 2 от целого числа эквивалентно нахождению позиции самого старшего установленного бита - MSB(Most Significant Bit). Этот метод работает за O(N) операций, где N — количество бит в числе.
Пример использования:
Если v=29:
- В двоичной системе 29 представляется как 11101.
- В каждом шаге цикла v уменьшается следующим образом:
11101 -> 01110 -> 00111 -> 00011 -> 00001 -> 00000
- При каждом сдвиге r увеличивается на 1.
В результате: log_2(29)=4.
Вычисление логарифма по основанию 2 для целого числа с использованием 64-битного IEEE float
Пояснение метода:
1. Объединение (union):
- Используется для интерпретации одних и тех же битов как целое число и как число с плавающей точкой.
t.u — массив из двух 32-битных целых чисел.
t.d — одно 64-битное число с плавающей точкой.
2. Установка значений:
- t.u[FLOAT_WORD_ORDER == __ORDER_LITTLE_ENDIAN] = 0x43300000; устанавливает старший 32-битный элемент. В зависимости от порядка байтов, этот элемент может быть первым или вторым в массиве u.
- t.u[FLOAT_WORD_ORDER != __ORDER_LITTLE_ENDIAN] = v; помещает исходное целое число v в младший 32-битный элемент u.
3. Манипуляция числом с плавающей точкой:
- t.d -= 4503599627370496.0; вычитает 2^52 (представленное как 4503599627370496.0), чтобы настроить мантиссу и порядок так, чтобы результат оставался корректным для вычисления логарифма.
4. Извлечение порядка:
r = (t.u[FLOAT_WORD_ORDER == __ORDER_LITTLE_ENDIAN] >> 20) - 0x3FF; извлекает порядок из числа с плавающей точкой и корректирует его путем вычитания смещения (bias) 0x3FF (или 1023 в десятичной системе).
Пояснение метода:
1. Объединение (union):
- Используется для интерпретации одних и тех же битов как целое число и как число с плавающей точкой.
t.u — массив из двух 32-битных целых чисел.
t.d — одно 64-битное число с плавающей точкой.
2. Установка значений:
- t.u[FLOAT_WORD_ORDER == __ORDER_LITTLE_ENDIAN] = 0x43300000; устанавливает старший 32-битный элемент. В зависимости от порядка байтов, этот элемент может быть первым или вторым в массиве u.
- t.u[FLOAT_WORD_ORDER != __ORDER_LITTLE_ENDIAN] = v; помещает исходное целое число v в младший 32-битный элемент u.
3. Манипуляция числом с плавающей точкой:
- t.d -= 4503599627370496.0; вычитает 2^52 (представленное как 4503599627370496.0), чтобы настроить мантиссу и порядок так, чтобы результат оставался корректным для вычисления логарифма.
4. Извлечение порядка:
r = (t.u[FLOAT_WORD_ORDER == __ORDER_LITTLE_ENDIAN] >> 20) - 0x3FF; извлекает порядок из числа с плавающей точкой и корректирует его путем вычитания смещения (bias) 0x3FF (или 1023 в десятичной системе).
Нахождение логарифма по основанию 2 от целого числа с использованием таблицы поиска
Пояснение метода
1. Таблица поиска:
- Таблица LogTable256 содержит предвычисленные значения логарифма по основанию 2 для всех возможных значений байта (0-255).
- LT(n) — макрос, который помогает заполнить таблицу.
2. Вычисление логарифма:
- Если число больше 65535 (т.е. старшие 16 бит не нулевые), мы определяем, в каком байте находится самый старший ненулевой бит, и используем соответствующее значение из таблицы.
Если число меньше или равно 65535, повторяем те же шаги для младших 16 бит.
Пояснение метода
1. Таблица поиска:
- Таблица LogTable256 содержит предвычисленные значения логарифма по основанию 2 для всех возможных значений байта (0-255).
- LT(n) — макрос, который помогает заполнить таблицу.
2. Вычисление логарифма:
- Если число больше 65535 (т.е. старшие 16 бит не нулевые), мы определяем, в каком байте находится самый старший ненулевой бит, и используем соответствующее значение из таблицы.
Если число меньше или равно 65535, повторяем те же шаги для младших 16 бит.