1️⃣ Представление комплексных чисел

Чаще всего комплексные числа записываются как z. Представим точку на комплексной плоскости с координатами (a, b). Мы уже знаем, что можем представить это как a + bi (см. этот пост). Это чем-то схоже на прямоугольную с.к. Кроме того, эту точку мы можем представлять в полярной с.к. Это делается так: (φ, r) => r∠φ.

Как перевести точку из `a + bi` в `r∠φ` и наоборот?

Мы уже знаем как переводить из прямоугольной с.к. в полярную. Тогда φ = arctan(b/a), r = √(a^2 + b^2).
Чтобы из r φ выразить в привычном виде (a + bi):

a = r • cos(φ)
b = r • sin(φ) • i. z = r • cos(φ) + r • sin(φ) • i = r • (cos(φ) + sin(φ) • i)

2️⃣ Новые функции в комплексной плоскости

🗣 arg(z) — главный аргумент. Из комплексного числа, выражает значение угла φ заключенный между осью ох и вектором этого числа. Значение это функции ∊ (-π, π]

🗣 Arg(z) — аргумент. Arg(z) = arg(z) + 2πn. Функция возвращает все возможные значения угла φ.

🗣 re(z) (Сокращение от real) — функция возвращает вещественную часть комплексного числа; re(a + bi) = a.

🗣 im(z) (Сокращение от imagine)— функция возвращает мнимую часть комплексного числа; im(a + bi) = b.

🗣 |z| — модуль комплексного числа. Длина отрезка соединяющего начало координат и точку с координатами (a, b). |a + bi|² = a² + b²

📢 Math || #мемы

🌟 Арифметические действия над комплексными числами в полярном виде

У нас есть число, записанное как z₁ = a + b×i и z₂ = c + d×i. Изначально рассмотрим умножение z₁ × z₂, переведём каждое число в полярный вид r₁∠φ₁ и r₂∠φ₂ (это мы уже разбирали в прошлом посте)

φ = arctan(b/a)
r = √(a² + b²)

Подставим в формулу и получим

φ₁ = arctan(b/a)    r₁ = √(a² + b²)
φ₂ = arctan(c/d)     r₂ = √(c² + d²)
z₁ = r₁∠φ₁
z₂ = r₂∠φ₂
z₃ = z₁ × z₂ = (a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Теперь новое число переведём в полярный вид.

φ₃ = arctan((ad + bc)/(ac - bd))
r₃ = √((ac - bd)² + (ad + bc)²) = √(a²×c² - 2×ac×bd + b²×d² + a²×d² + 2×ad×bc + b²×c²)
r₃ = √(a²(c² + d²) + b²(d² + c²))
r₃ = √(a² + b²) × √(c² + d²)

Вспомним, чему равно r₂ и r₁

r₂ = √(c² + d²)
r₁ = √(a² + b²)

Тут можно заметить, что r₃ = r₁ × r₂

🤔 Предположим, что φ₃ = φ₁ + φ₂, подставим сюда значения, которые получили. arctan((ad + bc)/(ac - bd)) = arctan(b/a) + arctan(d/c).
Сумма двух арктангенсов равна arctan(X) + arctan(Y) = arctan((X + Y)/(1 - XY)), вместо X у нас b/a, а вместо Y у нас d/c. Тогда arctan(b/a) + arctan(d/c) = arctan((b/a + d/c) / (1 - b/a×d/c)) = arctan(((bc + ad)/ac)/((ac - bd)/ac)) = arctan((bc + ad)/(ac - bd)). Наше предположение оказалось верным, значит φ₃ = φ₁ + φ₂. Составим число в полярном виде.

φ₃ = φ₁ + φ₂
r₃ = r₁ × r₂
z₃ = z₂ × z₁ = r₁∠φ₁ × r₂∠φ₂ = r₃∠φ₃
r₁∠φ₁ × r₂∠φ₂ = r₃∠φ₃

➗ Теперь разберёмся с делением, зная формулу умножения чисел в полярном виде, мы можем деление представить как, z₁ × z₂⁻¹, z₁ = a + bi, z₂ = c + di.
Переведём в полярный вид

φ₁ = arctan(b/a)   r₁ = √(a² + b²)
φ₂ = arctan(d/c)   r₂ = √(c² + d²)
z₁ = r₁∠φ₁
z₂ = r₂∠φ₂
z₃ = z₂⁻¹ = 1/z₂ = 1/(c + di) = c/(c² + d²) - d/(c² + d²)×i

φ₃ = arctan(- d/(c² + d²) / c/(c² + d²)) = arctan(-d/c) = - arctan(d/c) = -φ₂
r₃ = √((-d/(c² + d²))² + c/(c² + d²)²) = √(1 / (c² + d²)) = (√(c² + d²))⁻¹ = r₂⁻¹
z₃ = z₂⁻¹ = (r₂⁻¹)∠(-φ₂)

Мы получили, что если некое число в полярном виде возвести в минус первую степень, то угол изменится на отрицательный, а расстояние надо возвести в минус первую степень. Чтобы найти результат деления, осталось подставить в формулу умножения z₁ и z₂⁻¹.

r₁∠φ₁ × (r₂⁻¹)∠(-φ₂) = (r₁ × r₂⁻¹)∠(φ₁ - φ₂) = (r₁/r₂)∠(φ₁ - φ₂).

📝 Подведём итоги:
При умножении двух чисел вида z₁ = r₁∠φ₁ и z₂ = r₂∠φ₂, мы просто умножаем расстояние и суммируем углы.
При делении двух чисел вида z₁ = r₁∠φ₁ и z₂ = r₂∠φ₂, мы просто делим расстояние и вычитаем углы.
Именно поэтому умножение и деление легче делать в полярном виде.

📢 Math || #углублённо

📢 Math || #мемы

🔢 Корни разных степеней

Кроме квадратных корней, которые изучаются в школе, существует бесконечное множество других. Для начала разберём, что вообще такое корень n-ой степени. Это операция над числом a. Допустим ответ = b. Значит bⁿ = a. Обычно корень n-ой степени обозначается как ⁿ√a. Также корень n-ой степени можно записать с помощью степени: ⁿ√a = a^(¹/ₙ). Проверим: мы должны возвести ответ в степень n и получить a. (a^(¹/ₙ))ⁿ = a^(n/n) = a¹ = a.

ⁿ√a = a^(¹/ₙ)
"Корень n-ой степени числа — это число в степени 1/n"

Также корни бывают двух типов:
1️⃣ Арифметические: арифметический корень у числа только неотрицательный и действительный. √4 = 2.
2️⃣ Алгебраические: алгебраический корень возвращает множество значений. Если каждое значение возвести в ту степень, которой был корень, то мы получим изначальное число. Бывает несколько. Например, у 4 это -2 и 2.

📢 Math || #углублённо

📢 Math || #мемы

🟡 Алгебраические корни из комплексного числа

Есть комплексное число вида z, необходимо извлечь алгебраический корень k-ой степени, где k ∈ ℤ, то есть найти все числа, которые в степени k дают число z. Для начала переведём число в полярный вид, поскольку при умножении и делении удобнее работать с числами в этом виде. Для нахождения угла воспользуемся функцией arg, а для определения длины вектора используем |z|.

φ = arg(z)
r = |z|

Пусть первый алгебраический корень равен r₁∠φ₁. Возведём его в степень k, и мы должны получить r∠φ. По правилам умножения чисел в полярном виде углы складываются, а расстояния перемножаются, тогда:

(r₁∠φ₁)ᵏ = (r₁ᵏ)∠(k × φ₁) = r∠φ

Получаем:

r₁ᵏ = r
φ₁ × k = φ

Отсюда:

r₁ = ᵏ√r
φ₁ = φ / k

Мы получили первый корень:

ᵏ√z = ᵏ√r ∠ (φ / k)

С другой стороны, мы можем прибавить к изначальному углу числа z значение 2π, и само число не изменится. Однако при извлечении корня получим другое значение, а именно:

r₂ = ᵏ√r
φ₂ = (φ + 2π) / k = φ / k + 2π / k

Таким образом, второй корень:

ᵏ√z = ᵏ√r ∠ (φ / k + 2π / k)

Можно заметить, что второй корень отличается от первого только значением угла. Следуя аналогии, прибавим к углу числа z значение 2π × n, где n — целое число. Вычислим значение корня:

rₙ₊₁ = ᵏ√r
φₙ₊₁ = (φ + 2π × n) / k = φ / k + 2π / k × n

🟡 Вывод: На первом этапе мы нашли два корня k-ой степени из комплексного числа z, используя полярную форму числа. Эти корни отличаются только значением угла.

ᵏ√()ₙ — это алгебраический корень, а n означает номер элемента из множества.

📢 Math || #углублённо

📢 Math || #мемы

🔜 Продолжение темы алгебраических корней из комплексного числа

Если рассматривать то, что мы получили в предыдущем посте, у корня k-ой степени бесконечное множество корней. Однако большинство корней совпадают. Чтобы узнать, сколько корней будут различаться, необходимо определить количество разных значений угла (значение модуля числа не меняется). Также известно, что k и n — целые числа. Пусть n = a × k + b, где a, b — целые не отрицательные числа и b < k. Тогда:

φₙ₊₁ = (φ + 2π × n) / k = φ / k + 2πa + 2πb / k

Из этого следует, что 2π × a можно убрать, так как изменение угла на 2π × a никак не влияет на значение корня. Получаем:

φₙ₊₁ = φ / k + 2πb / k

Поскольку b < k и целое не отрицательное, то b принимает значения (0, 1, 2, ..., k-1). Таким образом, количество всех значений равно k. Мы получили значения (n+1)-ого корня k-ой степени, но для удобства запишем значение n-ого корня k-ой степени:

rₙ = ᵏ√r
φₙ = φ / k + 2π / k × (n - 1)

Переведём в обычный вид:

aₙ = ᵏ√r × cos(φ / k + 2π / k × (n - 1))
bₙ = ᵏ√r × sin(φ / k + 2π / k × (n - 1)) × i

Таким образом:

ᵏ√zₙ = ᵏ√r × (cos(φ / k + 2π / k × (n - 1)) + sin(φ / k + 2π / k × (n - 1)) × i)

На этом можно остановиться, но зная формулу Эйлера:

r × e^(i × x) = r × (cos(x) + sin(x) × i),
+ можно записать корень короче:
ᵏ√zₙ = ᵏ√r × e^(i × (φ / k + 2π / k × (n - 1)))
ᵏ√zₙ = ᵏ√|z| × (cos(arg(z) / k + 2π / k × (n - 1)) + sin(arg(z) / k + 2π / k × (n - 1)) × i)
ᵏ√zₙ = ᵏ√|z| × e^(i × (arg(z) / k + 2π / k × (n - 1)))

🔵 Вывод: Алгебраические корни k-ой степени из комплексного числа z можно найти, используя полярную форму числа и распределив углы равномерно вокруг круга. Всего существует k различных корней, отличающихся значениями углов

ᵏ√()ₙ — это алгебраический корень, а n означает номер элемента из множества.

📢 Math || #углублённо

📢 Math || #мемы

🤪 Решение кубических уравнений

Ранее мы начали тему кубических уравнений и вывели формулу для их решения. Однако, по сравнению с дискриминантом, эта формула гораздо сложнее, и её нужно рассматривать более детально. Чтобы понять данную статью, важно хотя бы немного разобраться в выводе формулы для уравнений вида ax³ + bx² + cx + d

✴️ Читать статью

📢 Math || #углублённо

⚫️Math || #мемы

🚩 2025 год со стороны математики

Для начала напомню, что 2030 год теперь ближе 2019.

9
📝 n³ = 2025
n=0

(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)² = 2025

(20 + 25)² = 2025

(2+0 +2+5)²0!25 = 2025

✔️ 2025: натуральное, составное, не совершенное, целое, рациональное, действительное, комплексное, гиперкомплексное, дуальное число и не число Мерсенна

Кроме этих трёх признаков, число 2025 является числом Нивена. Это значит, что это число делится на сумму своих цифр (2025 ⋮ (2+0+2+5)). Также такие числа называют числами харшад, что обозначает "великая радость".

Какой интересный год!

🤪 Решение кубических уравнений: Продолжение

Продолжение к предыдущей статье. Какое количество корней кубического уравнения? Откуда они берутся?

✴️ Читать статью

⚫️Math || #мемы

Ранее мы с вами разбирали тему тригонометрии, но не затронули некоторые законы и тождества; Если вы ещё не знаете, что такое синус и косинус, советую посмотреть посты, начиная с этого.

1⃣ Основное тригонометрическое тождество
Теорема пифагора: a² + b² = c²
Поделим обе части на c²:

(a² + b²)/c² = c²/c²
a²/c² + b²/c² = 1
(a/c)² + (b/c)² = 1²
sin² x + cos² x = 1

2⃣ Тангентс
Заметим, что тангенс выражается через синус и косинус:

tg x = b / a
tg x = (b/c) / (a/c) = sin(x) / cos(x)
ctg = tg⁻¹ = (sin(x) / cos(x))⁻¹ = cos(x) / sin(x)

3⃣ Вернёмся к основному тождеству, и поделим на sin²:

sin² x + cos² x = 1;
1 + cos²(x) / sin²(x) = 1 / sin²(x)
1 + ctg² x = 1 / sin²(x)

Если поделить на cos²(x):

sin² x + cos² x = 1;
tg² x + 1 = 1 / cos²(x)

Попробуйте вывести по этим формулам, чему равен tg(x) и ctg(x)

⚫️Math || #мемы

🟡 Тригонометрическая окружность

Ранее, чтобы дать определения синуса, косинуса и других тригонометрических функций, мы рассматривали прямоугольный треугольник. Но что делать с sin(120°)? Прямоугольный треугольник с углом 120° не существует. Для таких целей была придумана тригонометрическая окружность.

Рассмотрим окружность в декартовой системе координат с радиусом 1 и центром в точке (0, 0). Проведём отрезок от центра до любой точки на этой окружности. Тогда между отрезком и лучом (от центра координат в направлении оси Ox в положительную сторону) образуется угол, назовём его α. Теперь опустим перпендикуляр из этой точки на ось Ox, этот перпендикуляр назовём y. Затем проведём отрезок из точки пересечения отрезка y с осью Ox в центр окружности. Этот перпендикуляр назовём x. Получается прямоугольный треугольник с катетами x и y, а гипотенуза — это радиус окружности, и он у нас равен 1.

Таким образом:

💬 sin(α) = y/1 = y
💬 cos(α) = x/1 = x
💬 tg(α) = y/x

Также стоит помнить, что когда отрезок, соединяющий точку с центром окружности, лежит:

🔵 в 1-й четверти, то y > 0, x > 0. Отрезок лежит в первой четверти только тогда α > 0° и < 90°
🔵 во 2-й четверти, то y > 0, x < 0, когда α > 90° и < 180°.
🔵в 3-й четверти, тогда x < 0, y < 0, когда α > 180° и < 270°
🔵в 4-й четверти x > 0, y < 0, и α > 270° и < 360°.

Если α > 360°, то мы из угла вычитаем 360° от α, пока угол не будет < 360; Мы это делаем, так как 360° это целый круг, а значит каждые 360°, угол между отрезком и лучом(от центра координат в направлении оси Ox в положительную сторону будет «сбрасываться»

⚫️Math || #мемы

📸 Проекция тригонометрических функций на тригонометрической окружности

Давайте разберём, как проецировать тригонометрические функции на тригонометрической окружности. Для удобства введём обозначения:
- Центр окружности обозначим как O.
- Точка на окружности — A.
- Перпендикуляр, проведённый из точки A к оси OX, пересекает её в точке X.
- Перпендикуляр из точки A к оси OY пересекает её в точке Y.

🙂Основные зависимости

1. На окружности радиусом 1 отрезок OA образует угол α с положительным направлением оси OX.
2. Синус угла: sin(α) = OY или AX.
3. Косинус угла: cos(α) = OX или AY.

Теперь разберём, как вычисляется тангенс:
- Проведём касательную к окружности в точке B, перпендикулярную оси OX.
- Продлим радиус OA, чтобы он пересёк касательную в точке C.
- Длина отрезка CB равна tan(α). Докажем это.

🙂Доказательство

Рассмотрим треугольники OAX и OCB:
1. Углы ∠AXO и ∠CBO равны 90°.
2. Углы ∠XOA и ∠BOC равны α.
3. Треугольники OAX и OCB подобны.

Из подобия треугольников следует:

OB / OX = CB / AX

Подставим значения:

OX = cos(α),
AX = sin(α),
OB = 1 (радиус окружности).

Подставляем в пропорцию:

1 / cos(α) = CB / sin(α)
Выразим CB:
CB = sin(α) / cos(α)

Получаем:

CB = tan(α)

ЧТД.

🟦Вывод

Тригонометрические функции, такие как синус, косинус и тангенс, могут быть представлены с помощью проекций и построений на тригонометрической окружности. Синус и косинус являются длинами проекций радиуса окружности на оси координат, а тангенс — это длина отрезка касательной, пересекающей продолжение радиуса. Такое представление упрощает понимание их геометрической интерпретации и взаимосвязей.