♾️ Бесконечная геометрическая прогрессия: вывод формулы

Не все прогрессии надо обязательно обрывать. Иногда можно сложить и бесконечно длинную последовательность. Главное — чтобы она убывала. Бесконечная геометрическая прогрессия имеет вид:

a₁ + a₁q + a₁q² + a₁q³ + ...

Такую сумму можно найти, если знаменатель прогрессии q по модулю меньше 1: |q| < 1. Попробуем вывести, чему равна сумма такой прогрессии. Умножим обе части на q:
qS = a₁q + a₁q² + a₁q³ + a₁q⁴ + ...
Теперь вычтем второе уравнение из первого:

S - qS = (a₁ + a₁q + a₁q² + ...) - (a₁q + a₁q² + a₁q³ + ...)
S - qS = a₁

Вынесем S за скобки:

S(1 - q) = a₁
S = a₁ / (1 - q)

Это и есть формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии.

🤔 Где пригодиться? Узнаем в следующем посте

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #мемы

⚫️Math || #цитаты

Давайте попробуем использовать выше выведенные формулы на деле.

🟣 Чему равна сумма первых n нечётных чисел?

1 + 3 + 5 + ... (2n - 1)
Здесь читается простая арифметическая прогрессия:
a₁ = 1, d = 2, aₙ = 2n - 1
Давайте распишем сумму по формуле:

Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2
Sₙ = (1 + (2n - 1)) · n / 2 = (2n) · n / 2 = n²

✔️ Ответ: 1 + 3 + 5 + ... (2n - 1) = n²


🔴 Чему равна бесконечная сумма 1 + 1/2 + 1/4... ?

Опять же: дана прогрессия
a₁ = 1, q = 1/2
Сумма бесконечной прогрессии при |q| < 1:

S = a₁ / (1 - q)
S = 1 / (1 - 1/2) = 1 / (1/2) = 2

↘️ Ответ: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8... = 2

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #мемы

⚫️Math || #мемы

⬇️ Погружаемся глубже: Гармоническая прогрессия

Гармоническая прогрессия — это последовательность, у которой обратные значения образуют арифметическую прогрессию.

Пример:
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... → их обратные: 1, 2, 3, 4 — это обычная арифметика

✍️ То есть:
если aₙ = 1 / bₙ,
и bₙ — арифметическая прогрессия,
то aₙ — гармоническая.

Формула n-го члена:
aₙ = 1 / (a + (n - 1)·d)

Здесь a — первый член обратной арифметической прогрессии, d — разность

🔥 Гармонические прогрессии встречаются:
– в физике (напр., длины волн в резонансе)
– в задачах на «вклад по времени», «работа вместе»
– в теории чисел и анализе

Сумма гармонической прогрессии растёт бесконечно — но очень медленно (логарифмически). То есть сумма есть, но конечной она не станет.

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #цитаты

⚫️Math || Math Тесты

📈 Сумма гармонической прогрессии: как растёт

Рассмотрим сумму:

Hₙ = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n

Эта сумма называется гармоническим числом. Hₙ не имеет простой формулы, но известно приближённое значение:

Hₙ ≈ ln(n) + γ

Здесь ln(n) — натуральный логарифм,
а γ ≈ 0.577 — постоянная Эйлера (её значение уточняется численно)

❤️ Вывод (приближённый):

1. Заменим сумму интегралом:
∫₁ⁿ (1/x) dx = ln(n)

2. Площадь под графиком функции 1/x до точки n очень близка к Hₙ

То есть:
Hₙ ≈ ln(n) + что-то небольшое (это и есть γ)

💯 Вывод

Сумма растёт бесконечно, но медленно. Например:

– H₁₀ ≈ 2.9
– H₁₀₀ ≈ 5.2
– H₁₀₀₀ ≈ 7.5

И только при n = 10⁶ сумма чуть больше 14

⚫️Math || #углублённо

Калькулятор в руках гуманитария

⚫️Math || Math Тесты

⚫️Math || Math Тесты

😍 Последовательность Фибоначчи

Это, пожалуй, самая известная числовая последовательность после натуральных чисел.

Определение
a₁ = 1, a₂ = 1
aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
Каждое число — сумма двух предыдущих

📌 Свойства:
– aₙ / aₙ₋₁ → приближается к золотому сечению
– Формула Бине:
aₙ = (φⁿ – (–1/φ)ⁿ) / √5

📍 Где встречается:
– Природа: количество лепестков, ветвление деревьев, спирали
– Искусство и архитектура: пропорции
– Алгоритмы: рекурсия, динамика

Следующий пост — вывод формулы Бине: покажем, как из рекурсии получить явную формулу для aₙ

⚫️Math || #углублённо

⚫️Math || #мемы

⚫️Math || Math Тесты

➡️ Формула Бине

Последовательность Фибоначчи задаётся рекурсией:

a₁ = 1, a₂ = 1
aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂

Мы привыкли считать члены последовательно, но существует формула, которая позволяет сразу найти любой член без предыдущих:

aₙ = (φⁿ – ψⁿ) / √5

Где:
φ = (1 + √5) / 2 — золотое сечение
ψ = (1 – √5) / 2 — его “зеркальный” корень

🔎 Откуда она берётся?

Рекурсия второго порядка — это когда значение зависит от двух предыдущих (aₙ₋₁ и aₙ₋₂). Такие уравнения называются линейными рекуррентными. У них есть стандартный метод решения:
1. Предполагаем, что решение имеет вид aₙ = rⁿ
2. Подставляем в рекурсию: rⁿ = rⁿ⁻¹ + rⁿ⁻²
3. Делим обе части на rⁿ⁻² и получаем характеристическое уравнение:

r² = r + 1

Решаем это квадратное уравнение:

r = (1 ± √5) / 2 → φ и ψ

Теперь общее решение имеет вид:
aₙ = A·φⁿ + B·ψⁿ
Подставляем начальные условия:
a₁ = A·φ + B·ψ = 1
a₂ = A·φ² + B·ψ² = 1
Решаем систему — получаем:
A = 1 / √5
B = –1 / √5
И окончательно:
aₙ = (φⁿ – ψⁿ) / √5

📌 Эта формула даёт точное значение aₙ при любом n. Даже если n = 100, ты просто подставляешь в формулу — и всё.

В следующем посте посмотрим, почему значения по этой формуле всегда получаются целыми, хотя в ней есть корни и дроби.

⚫️Math || Math Тесты