🟣 Аксиома выбора

После того как идеи Кантора утвердились, стало ясно, что для работы с бесконечными множествами нужно уметь из них выбирать элементы — даже если правило выбора не задано.

Если есть множество {1, 2, 3} или {-1, π, 0}, всегда можно построить правило, по которому мы можем "вытянуть" элемент. Например, берём элементы по возрастанию или с большего к меньшему.

В бесконечных множествах такого правила не придумать. Хотя интуитивно кажется, что вытянуть элемент можно из любого множества, нельзя придумать одно универсальное правило, которое выбирало бы элементы из любого бесконечного семейства множеств

Аксиома выбора утверждает: такая функция выбора f существует, даже если мы не знаем, как её построить.

На первый взгляд аксиома кажется очевидной. С помощью этой идеи, Эрнст Цермело доказал теорему о добром порядке — что любое множество можно упорядочить так, что у каждого подмножества есть наименьший элемент. Это выглядело как логическое продолжение идей Кантора: если множества можно сравнивать по мощности, то их можно и упорядочить.

❔ Но начался новый спор:

Конструктивисты (ученики идей Кронекера) считали аксиому выбора опасной, потому что она утверждает существование без явного построения. Им казалось, что математика снова превращается в философию. Цермело, напротив, утверждал, что без аксиомы выбора теория множеств перестаёт быть цельной: бесконечные множества теряют структуру, а доказательства вроде теоремы Тихонова становятся невозможными. Гёдель позже показал, что аксиома выбора не создаёт противоречий, а Коэн — что она не выводится из остальных аксиом. То есть она не ложна.

👾 В чём мораль?

Если бы не спор Кронекера и Кантора, вопрос о праве выбора так и остался бы нерешённым. Именно сомнение заставило математиков уточнить некоторые моменты — и так появилась аксиома выбора. Споры, также как и ошибки — двигают математику вперёд

Этот пост я постараюсь сделать максимально простым для понимания

👍 Диофантовы уравнения

Думаю, многие впервые слышат это понятие. Диофантово уравнение - то же уравнение, но обязательно с целыми коофицентами и решениями.

Может быть не очень понятно, поэтому давайте разберёмся на примере

a² + b² = c² (Это кстати, теорема Пифагора)

В данной ситуации, нам неизвестны a, b, c. Если решать это как обычное уравнение, то ответами могут быть например
a=1.5 b=2 c=2.5. Но если представлять уравнение, как диофантово, то это решение не подходит - a, b, c должны быть целыми. Такие числа, в примере с теоремой Пифагора называются Пифагоровыми тройками

➡️ Диофантовые уравнения делятся на линейные и нелинейные. Отличаются они тем, что для линейных метод решения однозначнее.

Линейное диофантово уравнение - то, которое может представить как ax + by = c, где a, b, c - целые числа, а x и y - искомые переменные

Решений в уравнении может не быть совсем, может быть несколько или бесконечно много. Диофантовы уравнения хороши тем, что практически нет общего алгоритма их решения - над каждым уравнением надо подумать