В треугольнике АВС точка Q - отражение вершины A относительно точки Фейербаха Fe. Доказать, что существует окружность, касающаяся прямых BC, BQ, CQ и касательной в Fe к вписанной окружности в АВС.

Через середины сторон треугольника провели прямые, перпендикулярные биссектрисам противоположных углов. Дальше так, как на картинке.

@n_1_8_27_64_125_216_343 поведал такой красивый факт.

ABCD - вписанный четырёхугольник, тогда аж восемь инцентров понятно каких треугольников лежат на одной конике

На командной олимпиаде ЮМТ сегодня предложили вот такую задачку от меня.

Условие:

В треугольнике ABC окружность касается AB, BC и (ABC) в точках X, Y, Z соответственно. Точки A’, C’ изогонально сопряжены A, C в XYZ. Докажите, что BA’ = BC’.

На втором туре ЮМТ сегодня предложили ещё одну совсем простенькую задачу от меня, Димы Крохалева и Саши Коваленко.

Условие:

Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 с углом ∠𝐴𝐵𝐶 = 45°, его высоты из вершин 𝐴 и 𝐶 пересекают (𝐴𝐵𝐶) в точках 𝐸, 𝐷. Пусть 𝐺 — пересечение касательных к (𝐴𝐵𝐶) в 𝐴, 𝐶. Докажите, что ортоцентр 𝐷𝐸𝐺 лежит на 𝐴𝐶.

Вчера в последнем туре ЮМТ предложили ещё одну задачку от меня, Димы Крохалева и Саши Коваленко

Условие:

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол при вершине 𝐶 равен 60°. Биссектрисы 𝐴𝐼, 𝐵𝐼 пересекают 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 в точках 𝐷, 𝐺. Пусть 𝐾, 𝐽 и 𝑀, 𝐿 — пересечения (𝐴𝐼𝐺), (𝐵𝐼𝐷) с 𝐷𝐺 и биссектрисой угла 𝐴𝐼𝐵 соответственно. Докажите касание (𝐾𝐷𝑀) и (𝐺𝐽𝐿).

Сегодня очень прикольная задача от @vkomplahposchitaetsa

Дан треугольник АВС, H - ортоцентр, O - центр описанной, I - центр вписанной, Fe - точка фейербаха.
Пусть прямая HFe пересекает (АВС) в точках X и Y, докажите что одна из окружностей (IHX) (IHY) касается OI.

Последняя задача от меня и Димы с ЮМТ

Условие:

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точка 𝐷 диаметрально противоположна 𝐵 на (𝐴𝐵𝐶). Пусть 𝐼₁, 𝐼₂ — инцентры треугольников 𝐴𝐵𝐷, 𝐶𝐵𝐷. Пусть точка 𝑋 такова, что 𝐼₁𝐵𝐼₂𝑋 — параллелограмм. Докажите, что angle(ADX) = angle(CDX).

Сегодня задачка от @emil_sadykov:

Дан равнобедренный треугольник АВС(АВ=АС), В' и C' - отражение O(центра описанной) относительно АС и АВ соответственно. В'' и С'' изогонально сопряжены В' и C' относительно АВС. Н - ортоцентр АВС

(!) В''C'' = 2ВС * (OH/AO)

Сегодня вот такая задачка от меня.

Upd:
Х_10 - инцентр треугольника из середин сторон треугольника;
Х_12 - точка пересечения чевиан, соединяющих соответствующие вершины треугольника и внешние точки Фейербаха.
Про них как обычно можно почитать на страничке ЕТС.

Чат для обсуждения геометрии


Около 4 месяцев назад был закрыт чат канала Олимпиадная Геометрия, ставший большим централизованным местом для обсуждения геометрии. После закрытия того чата была предпринята попытка полного отказа от цензуры, которая не увенчалась успехом по понятным причинам, поэтому:

Мы — Юсуф Нагуманов, Дима Герасимов и Петя Ким представляем Вам новый чат для обсуждения геометрии.
Идея заключается в создании крупного модерируемого чата, в котором будет исключительно здравое обсуждение геометрии разного уровня.

Заходите, всем будем рады:
https://news.1rj.ru/str/olympgeomchat

Моя авторка вот такой красивый факт недавно нашел.

В треугольнике АВС О - центр описанной окружности, Fe - точка Фейербаха. Касательные ко вписанной окружности и (ВОС) пересекаются в точке D. Доказать, что AD, AFe - изогонали

Закинул эту задачу в геометрический марафон:

(Новое применение этого чата)

Оказывается, что три окружности, каждая из которых касается трех вневписанных как на рисунке, имеют общую точку.

@MeZox_111 сообщил такую красоту

Олимпиада НИУ ВШЭ по геометрии

Наконец стала известна дата, так что:

Устная олимпиада по геометрии НИУ ВШЭ пройдет 23 ноября.


В этом году олимпиада проводится для учеников 8–11 классов в трёх параллелях: 8, 9 и 10–11 классов.

Чтобы не утруждать вас отборами, сразу на заключительный этап допускаются дипломанты любых перечневых олимпиад по математике.

Если дипломов ещё нет, то несложный отбор всё-таки придётся пройти. Подробности о том, как он проходит, можно найти на сайте. Там же можно найти задания и решения олимпиады прошлого года и другую полезую информацию.

Для участия необходима предварительная регистрация, доступная по ссылке.

(Если планируете участвовать, то зарегаться лучше сейчас, так как сайт вышки имеет свойство уходить на тех. обслуживание в рандомный момент времени)



P.S. Как жюри хочу сказать, что мы подобрали очень крутые варианты и олимпиада действительно будет насыщена красивыми задачами и новыми конструкциями. Так что всем рекомендую принять участие.

А почему бы не запостить классное геом.неравенство...

В треугольнике АВС AD - биссектриса; оказалось, что вписанные окружности треугольников ABC, ADC касаются. Найти инфинум угла B.

Наконец то задача от подписчика! Сегодня от @kyrovins

В треугольнике АВС Б_a, Б_b, Б_c - соответствующие точки Болтая, АА1, BB1, CC1 - высоты. В треугольниках АB_1C_1, BA_1C_1, CB_1A_1 выбраны понятно какие Болтаи.

a) Доказать подобие черных треугольников на рисунке.

б) Доказать точно такой же факт про точки Шалтая.