В треугольнике ABC окружность касается AB, BC и (ABC) в точках X, Y, Z соответственно. Точки A’, C’ изогонально сопряжены A, C в XYZ. Докажите, что BA’ = BC’.

Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 с углом ∠𝐴𝐵𝐶 = 45°, его высоты из вершин 𝐴 и 𝐶 пересекают (𝐴𝐵𝐶) в точках 𝐸, 𝐷. Пусть 𝐺 — пересечение касательных к (𝐴𝐵𝐶) в 𝐴, 𝐶. Докажите, что ортоцентр 𝐷𝐸𝐺 лежит на 𝐴𝐶.

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол при вершине 𝐶 равен 60°. Биссектрисы 𝐴𝐼, 𝐵𝐼 пересекают 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 в точках 𝐷, 𝐺. Пусть 𝐾, 𝐽 и 𝑀, 𝐿 — пересечения (𝐴𝐼𝐺), (𝐵𝐼𝐷) с 𝐷𝐺 и биссектрисой угла 𝐴𝐼𝐵 соответственно. Докажите касание (𝐾𝐷𝑀) и (𝐺𝐽𝐿).

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точка 𝐷 диаметрально противоположна 𝐵 на (𝐴𝐵𝐶). Пусть 𝐼₁, 𝐼₂ — инцентры треугольников 𝐴𝐵𝐷, 𝐶𝐵𝐷. Пусть точка 𝑋 такова, что 𝐼₁𝐵𝐼₂𝑋 — параллелограмм. Докажите, что angle(ADX) = angle(CDX).