📕Справочник по тригонометрии

На этом сайте собранно все необходимое для изучения тригонометрии: таблицы значений, основные формулы, а главное - интерактивный тригонометрический круг, который можно двигать и наблюдать, как меняются значения функций при изменении угла.

#полезные_материалы

💈Фестиваль журнала Квантик

Отличный вариант, как провести выходные всей семьей и приобщиться к культуре математики. Это хороший способ подкрепить мотивацию и интерес ребенка и показать на личном примере, увлекательность математики. Вся информация в посте ниже.

#мероприятие

Трое сотрудников хотят узнать свою среднюю зарплату, но им не разрешается делиться своими индивидуальными зарплатами. Придумайте, как им это сделать.

Пишите свои решения в комментарии, только не забывайте скрывать их спойлером. Завтра опубликую своё решение там же.

#интересная_задача
#задача_на_алгоритм

📐📚Трудности с геометрией

Ученики часто сталкиваются с большими трудностями в изучении геометрии, чем в изучении алгебры. Чем может быть вызвана эта проблема?

▪Возраст и уровень обучения
Изучение геометрии начинается в 7 классе, когда подростки активно исследуют мир вокруг, и школа уходит на второй план. В 7 классе появляются новые предметы и увеличенная нагрузка требует больших усилий.

▪Отличия в подходах
Успех в алгебре может быть обусловлен применением алгоритма, а не пониманием предмета. В то время как в геометрии вообще нет универсальных алгоритмов и без понимания не обойтись.

▪Строгость и логичность
Геометрия требует строгой логики и обоснования каждого шага, которая до этого могла не встречаться ученикам. Понимание аксиом, теорем и свойств играет ключевую роль, что может быть сложным для некоторых учеников.

▪Работа с чертежами
Умение создавать точные и реалистичные чертежи является важным навыком для успешного решения геометрических задач.

▪Уделяйте внимание знаниям
Геометрия требует систематизации и последовательности в изучении. Отличное понимание каждой темы является важным фактором успеха.

▪Сложные задачи
Решение сложных геометрических задач требует применения множества теорем и свойств. Разрешение таких задач может быть вызовом даже для опытных учеников.

Однако, для каждой проблемы существует свое решение. Ниже приведены советы по облегчению изучения геометрии:

🔹Начните знакомство с геометрией заранее. На примере наглядной геометрии изучите основные фигуры и научитесь создавать точные чертежи.
🔹Развивайте логическое мышление и навыки доказательств уже в других разделах математики, чтобы быть готовым к геометрическим доказательствам.
🔹Уделяйте внимание устранению пробелов в знаниях, не оставляйте неясные моменты на потом.
🔹Развивайте геометрическую интуицию, применяя теоретические знания на практике.

И помните, практика и упорство помогут вам преодолеть трудности и успешно изучить геометрию.🌟
#мысли

📐📲Пифагория
Пифагория — это набор из 377 задач по геометрии, собранных в 28 разделов, в формате мобильного приложения. Условия задачи сформулированы предельно лаконично и сопровождаются чертежом (на котором могут быть изображены точки, отрезки, лучи, прямые или фигуры).

📊Сложность
Некоторые разделы может осилить ученик начальной школы. Другие разделы требуют большего понимания и знание теории, которую можно посмотреть тут же в приложении.

💬Заключение
Данная игра отлично помогает заинтересовать геометрией и отработать навыки по решению задач. Плюс она даёт пример полезного времяпрепровождение в смартфоне, в которых дети проводят большое количество времени. Пифагория имеет отличный дизайн и интуитивно понятный интерфейс. Приложение затрагивает большое количество тем, помогая мыслить нестандартно и смотреть на проблему с другой стороны.

p.s. Я сам с удовольствие провел много времени в этом приложении
#полезные_материалы

Задача из "Math olympiad contest problems"
Еще одна интересная задачка.

🏴󠁧󠁢󠁥󠁮󠁧󠁿The original version
📖Condition:
X and Y are two different numbers selected from the first fifty counting
numbers from 1 to 50 inclusive.
What is the largest value that (X+Y)/(X-Y) can have?
💡Hint:
Make X+ Y as large as possible and X - Y as small as possible.

🇷🇺Перевод на русский
📖Условие:
X и Y - это два разных числа, выбранных из первых пятидесяти натуральных чисел от 1 до 50 включительно.
Какое наибольшее значение может иметь (X+Y)/(X-Y)?
💡Подсказка:
Сделайте X+ Y как можно больше, а X - Y - как можно меньше.

Решение и ответ в комментариях
#contest_problems

В спортивном клубе занимается 81 участник, тренеру необходимо выбрать четырёх лучших для участия в соревнованиях. Тренер может проводить забеги среди не более чем девяти спортсменов. Какое минимальное количество забегов ему нужно провести, чтобы однозначно определить четырёх самых быстрых?

Пишите свои решения в комментарии, только не забывайте скрывать их спойлером. Завтра опубликую своё решение там же.

#интересная_задача
#задача_на_алгоритм

Олимпиада "Физтех"
📆Началась регистрация на отборочный онлайн этап олимпиады МФТИ "Физтех", по предметам: математика, физика, русский язык для школьников 9-11 класса.

📌 Регистрация на 1 тур по физике продлится до 5 октября 10:00 (по МСК), а на 1 тур по математике - до 12 октября, 10:00 (по МСК).
Торопитесь, больше попыток - больше шансов пройти на заключительный этап!

✅ Также рекомендую ознакомиться с заданиями и решениями прошлых лет на официальном сайте.

1️⃣ Онлайн-этап является единственным отборочным этапом для заключительного этапа олимпиады школьников «Физтех»;

2️⃣ Онлайн-этап пройдет в 3 тура для участников из 11 класса и в 2 тура для участников из 9-10 классов;

3️⃣ На каждый тур даётся 4 часа для внесения ответов и 1 дополнительный час для прикрепления решений;

4️⃣ В случае успешного прохождения одного из отборочных туров, участие в последующих не предусматривается.

🔴Кружок на метро Университет

Я хочу рассказать, что на метро Университет, по адресу проспект Вернадского, 9/10, проводится очный кружок для учащихся 2-6 классов. Остались свободные места в некоторых группах, так как оказалось, что многие не были в курсе о нашем существовании. Поэтому приглашаем всех заинтересованных на пробное занятие. Подробности в закрепленном посте, а зарегистрироваться можно по ссылке.

✔Занятие состоится уже в эту субботу, а тема занятия будет посвящена цифрам и числам (десятичная запись числа). И хочется поделиться моей любимой задачей из этой темы, которая заставляет остановиться и подумать даже самых способных учеников.

📝Задача
В строку одно за другим записаны числа от 1 до 60: 1234567...5657585960 вычеркнуть 100 цифр так, чтобы оставшееся число было:
а) наименьшим;
б) наибольшим.

Пишите свои ответы в комментарии.

🔮Что такое кружок по олимпиадной математике?
За последние годы спрос на олимпиадную математику сильно увеличился и она уже стала брендом и несколько нарицательным названием для разных кружков и занятий, но мне кажется, важно понять, что скрывается за данным названием.

Конечно, на олимпиадной математике изучают темы, которые встречаются на олимпиадах и разбирают задачи оттуда, так и появилось это название. Но подготовка к олимпиадам, это далеко не главный аспект занятий. На олимпиадной математике проходят множество тем, которые не встречаются на олимпиадах, и цель скорее стоит показать красоту математики, её многогранность, но в тоже время и взаимосвязанность. Занятия строятся больше не на подготовке к олимпиаде, а на выстраивание мышления и развитие логики, и постепенном погружении в серьезный мир математики.

Мне кажется важно отличать длительные программы кружков и напрямую направленную подготовку к предстоящим олимпиадам.

Всё, что встречается на олимпиадах изучают на олимпиадной математике, но не всё, что изучают на олимпиадной математике встречается на олимпиадах.
#мысли

На столе лежит 8 батареек, 4 из них заряжены, а 4 нет. Вы можете взять две батарейки и вставить в свой фонарик. Фонарик засветит только при условии, что обе батарейки в нём рабочие. Какое минимальное количество пар батареек необходимо проверить, чтобы наверняка найти две заряженные батарейки.

Пишите свои решения в комментарии, только не забывайте скрывать их спойлером. Завтра опубликую своё решение там же.

#интересная_задача
#задача_на_алгоритм

🔼Треугольник Паскаля

Хочу рассказать об одной из самых изящных и известных схем в истории математики, которая была придумана за долго до Паскаля во многих культурах мира. Треугольником Паскаля называется бесконечная треугольная таблица, в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предшествующей строке. Данная конструкция обладает множеством свойств и закономерностей хранящихся в ней.

🔴 Натуральные числа
Во второй диагонали треугольника любого направления размещаются натуральные числа.

🟣 Треугольные числа
В третьей диагонали треугольника любого направления размещаются треугольные числа. Треугольные числа — это числа, которые являются суммой всех натуральных чисел от 1 до n. Проще говоря, треугольными числами называется количество шаров, которые можно выложить в виде равностороннего треугольника.

🔵 Тетраэдральные числа
В четвертой диагонали треугольника любого направления размещаются тетраэдральные числа. Тетраэдральные числа — это числа, которые являются суммой всех треугольных чисел от 1 до n. Проще говоря, тетраэдрическими числами называется количество шаров, которые можно выложить в виде правильного тетраэдра.

🟢 Числа пентатопа
Пятая диагональ треугольника содержит числа пентатопа. Числа пентатопов представляют собой суммы тетраэдральных чисел. Пентатоп можно описать как простейшую правильную фигуру в четырёх измерениях, представляющую собой четырёхмерный аналог тетраэдра.
Как вы уже поняли так с диагоналями можно продолжать бесконечно, поэтому перейдем к другим закономерностям.

🟡 Квадратные числа
Квадратные числа также можно найти в треугольнике Паскаля, вычислив произведение шести чисел, окружающих любое внутреннее число. Квадратное число — это произведение некоторого целого числа на само себя. Наглядно говоря, квадратными числами называется количество шаров которые можно выложить в виде квадрата.

🟠 Степень двойки
Сумма чисел n-ной строки (отсчет ведется с нуля) треугольника Паскаля равна двойке в степени n. Действительно, при переходе от каждой строки к следующей сумма членов удваивается, а для нулевой строки она равна двум в нулевой степени.

🟤 Кратность простым числам
Когда второе число в строке и предпоследнее (из-за симметрии треугольника), являются простыми, все числа между ними кратны этому простому числу.

⚫ Числа Фибоначчи
Если посчитать для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля (удобнее представить в виде прямоугольного треугольника) сумму всех стоящих на этой диагонали чисел, то получится соответствующее число Фибоначчи. Числа Фибоначчи — это элементы числовой последовательности, где каждое следующее число равно сумме двух предыдущих чисел.

⚪ Числа Каталана
Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана. Числа Каталана можно задать формулой, где n-ное число можно определить как: (2n)!/n!(n+1)!. Проще говоря, числа Каталана — это числа, которые определяют количество различных правильных скобочных структур из n пар скобок.

🔷 Биномиальные коэффициенты
Бином — это выражение вида (a + b). Когда мы возводим его в степень, коэффициенты при каждом члене выражения можно найти в треугольнике Паскаля, где номер строчки соответствует степени бинома.

🔷 Число сочетаний
Число сочетаний — это количество способов выбрать k элементов из n элементов без учёта порядка. Каждое число в треугольнике Паскаля равно числу сочетаний из n по k, где n — номер строки, k — номер (отсчет ведется с нуля) элемента в строке.

🔷 Треугольник Серпинского
Если закрасить все нечётные числа, то образуется структура аналогичная треугольнику Серпинского. Треугольник Серпинского — это фрактал, который получается из треугольника путем рекурсивного деления его на меньшие треугольники. На каждом шаге берется каждый треугольник и заменяется на еще три равносторонних треугольника меньшего размера.

🔮Треугольник Паскаля – удивительное математическое явление, которое переплетает элементарную арифметику с более сложными понятиями алгебры и комбинаторики. Этот математический объект несет в себе богатый потенциал, позволяя решать разнообразные задачи и обнаруживать удивительные закономерности между числами.

В комментариях можно посмотреть на картинки для наглядности и понимания.

🇺🇸Задача из "Math olympiad contest problems"
Любопытная задача, которая помогает разобраться с остатками и способствует пропедевтике арифметики остатков.

🏴󠁧󠁢󠁥󠁮󠁧󠁿The original version
📖Condition:
Suppose all the counting numbers are arranged in columns as shown at the right. Under what column-letter will 1000 appear?
💡Hint:
Divide each of the numbers in column A by 7. What do you observe?

🇷🇺Перевод на русский
📖Условие:
Предположим, что все подсчитываемые числа расположены в столбцах, как показано справа. Под какой буквой столбца будет значиться 1000?

💡Подсказка:
Разделите каждое число в столбце А на 7. Что вы заметили?

Решение и ответ в комментариях
#contest_problems

XLVII Турнир имени М. В. Ломоносова
📆Началась регистрация на турнир имени Ломоносова, он состоится 6 октября 2024 года в онлайн формате. Зарегистрироваться можно по ссылке.

📌Турнир имени М.В. Ломоносова — ежегодное многопредметное соревнование по математике, физике, астрономии и наукам о Земле, химии, биологии, истории, лингвистике, литературе. Задания ориентированы для учащихся 6-11 классов, но принять участия могут и ученики младшего возраста.

✅Участники Турнира регистрируются и выполняют задания на компьютере. На ответы выделяется 5 часов. Участвовать можно по одной или нескольким дисциплинам. Жюри подводит итоги как по отдельным направлениям, так и в многоборье – по сумме достижений в нескольких предметах.

✔Для подготовки к соревнованиям по математике, мной был собран перечень задач прошлых лет разделенный по классам. Рекомендую прорешать и подготовиться по темам, так как есть структура, которая повторяется из года в год. Подборка задач доступна по ссылке.

💡Помимо участия в математическом соревновании рекомендую попробовать себя в лингвистике и астрономии - это две дисциплины в которых присутствуют интересные и уникальные задания, которые помогут расширить кругозор и могут открыть для вас новые сферы интересов.

Турист находится на краю пустыни и у него есть автомобиль с пустым баком вместительностью 20 л и есть три канистры с топливом, каждая — по 100 л. На автомобиле помещается не больше одной канистры бензина. Турист знает, что ближайшее поселение в 172 км от него, на другом краю пустыни. Сможет ли он добраться до поселения, если на 1 км расходуется 1 л топлива?

Как вы думаете? Пишите свои решения в комментарии. Завтра опубликую своё решение там же.

#интересная_задача
#задача_на_алгоритм

💫Роль родителей в процессе обучения ребенка
Родители играют огромную роль в обучении математике своих детей. Они - те, кто могут развить интерес ребенка, быть самой надежной поддержкой и те, кто могут дать возможность развивать интерес.

📈Развитие интереса:
Развитие интереса к математике у ребенка - это важная задача. Нужно создать комфортную атмосферу, которая будет способствовать любви к этой науке, ведь внутренняя мотивация работает намного лучше внешней.

Вот несколько практических советов, как помочь ребенку полюбить математику:

♟Игровой аспект. Используйте игры для обучения математике. Сейчас существует огромное количество головоломок и настольных игр, где нужно решать интересные задачи, они помогут ребенку весело провести время, развить логическое и стратегическое мышление.

👀Практические примеры. Попробуйте показать где применяется математика в повседневной жизни, как она облегчает выполнение многих задач. Например: расчёт времени в пути, где надо понять за сколько вы доберетесь, построить оптимальный маршрут, сколько бензина надо, чтобы доехать до дачи, сколько грамм ингредиентов нужно при известных пропорциях. И все это можно делать в игровой форме.

🏫Посещение дополнительных занятий и мероприятий. Когда интерес уже есть, можно посетить фестиваль посвященный науке, олимпиаду или записаться на кружок, где ребенок сможет изучать интересные темы с опытными преподавателями и общаться со сверстниками, увлеченными этой наукой.

👨‍💻Создание среды:
Если ваш ребенок проявляет интерес к этой науке, важно создать и поддержать условия для успешных занятий математикой.

В первую очередь стоит создать удобное рабочее место, стоит обеспечить его всем необходимым: удобным столом и стулом, хорошим освещением, достаточным количеством канцелярских принадлежностей.

Так же важно подобрать удобный формат для вашего ребенка, это могут быть групповые или индивидуальные занятия в очном и дистанционном формате. Как привило групповые занятия лучше сказываются на мотивации и вовлеченности ребенка, а очные занятия оставляют меньше отвлекающих факторов и позволяют ученику больше погрузиться в происходящее. Часто бывает, что нужно походить на разные кружки (в этом нет ничего страшного), чтобы найти преподавателя который подойдет именно вашему ребенку, а так же группу в которой ему будет комфортно.

Стоит обратить внимание на разного рода выездные мероприятия: турниры, выездные школы и олимпиады. Это может стать ярким событием, которое даст возможность дальнейшего роста и развития вашему ребенку.

🤗Психологическая поддержка:
Важно понимать, что поддержка со стороны родителей может существенно повлиять на успех в познании математики. Исследования показывают, что дети, у которых есть поддержка и поощрение со стороны родителей, имеют больше мотивации и уверенности в своих математических способностях. Но важно находить баланс - многие родители, стремясь мотивировать своих детей, могут слишком сильно реагировать на их успехи или неудачи в математике. Например, похвала за каждую правильно решенную задачу может создать завышенные ожидания, а критика за ошибки может вызвать стресс и отвращение к предмету. Вместо этого, важно поддерживать ребенка независимо от результата и показывать, что ошибки - это естественная часть процесса обучения.

Помните, что успех в математике зависит не только от таланта, но и от усилий и стараний. Поддерживайте своего ребенка, помогайте ему развиваться и добиваться новых высот в этой увлекательной науке!
#мысли