🚀 Задачи на движение

Задачи на движение — это обширная тема, которая занимает важное место как в школьной программе, так и на олимпиадах. Впервые ученики сталкиваются с такими задачами уже в начальных классах и продолжают решать их до 11 класса. Из-за множества подходов к решению и нюансов в этой теме ученики иногда испытывают затруднения, а ведь это важная тема, задачи на движение не только помогают лучше понять физическую природу процессов, но и развивают логическое и пространственное мышление.

Я хочу поделиться с вами циклом из пяти занятий, который я когда-то составил и успешно провёл. Каждое занятие включает в себя введение с пояснениями к теме, комментарии к задачам и, в конце, подробное решение каждой из них. Материал ориентирован на учащихся средней школы, но будет полезен и для всех, кто интересуется данной темой.

Помните, что единственный способ научиться решать задачи — это решать их.
#материалы

🇺🇸Задача из "Math olympiad contest problems"

🏴󠁧󠁢󠁥󠁮󠁧󠁿The original version
📖Condition:
During a school year, a student was given an award of 25¢ for each math test he passed and was fined 50¢ for each math test he failed. At the end of the school year, the student had passed 7 times as many tests as he had failed, and received $3.75. How many tests did he fail?

💡Hint:
Suppose the student passed 7 tests and failed 1. How much would he then receive?

🇷🇺Перевод на русский
📖Условие:
В течение учебного года ученик получал премию в размере 25 центов за каждый пройденный тест по математике и был оштрафован на 50 центов за каждый проваленный тест по математике. В конце учебного года ученик сдал в 7 раз больше тестов, чем провалил, и получил 3,75 доллара. Сколько тестов он провалил?

💡Подсказка:
Предположим, что студент прошел 7 тестов и провалил 1. Сколько он тогда получит?

Решение и ответ в комментариях
#contest_problems

♟Теория игр

Теория игр — это математический метод анализа стратегического взаимодействия двух и более сторон, а также последствий принятия этими сторонами тех или иных решений.

В теории игр есть большое количество устоявшихся игр, но одна из самых известных — это дилемма заключенного. В ней возникает трудность достижения наилучшего исхода из-за недоверия к другому игроку. И данная дилемма заставляет задуматься, как влияет доверие на решение разных теоретико-игровых задач и, как следствие, на нашу повседневную жизнь.

🐶Эволюция доверия

Эволюция доверия — это фундаментальная проблема в теории игр, согласно которой игроки не всегда будут сотрудничать друг с другом, даже если это в их интересах.

Хочу поделиться с вами интересным проектом, на который я наткнулся в интернете, это игра «Эволюция доверия», перейти можно по ссылке. Игра наглядно показывает, как разные модели поведения, основные на доверии или недоверии (обманщик, наивный и т.д.), работают в разных условиях.

Поиграйте и попробуйте разные стратегии, это очень увлекательная и развивающая игра. Лучше играть с компьютера, а не смартфона. Занимает примерно 30 минут.

🏛Дилемма заключенного

Дилемма заключенного — фундаментальная проблема в теории игр, согласно которой рациональные игроки не всегда будут сотрудничать друг с другом, даже если это в их интересах.

Формулировка:

А и Б — партнеры по преступлению и были арестованы за совершенное вместе преступление. У полиции недостаточно доказательств для осуждения их по основному обвинению, но достаточно для осуждения обоих по менее тяжкому обвинению.

Полиция разделяет А и Б, предлагая каждому одно и то же: если один даст показания против другого и другой останется молчать, сдавший будет освобожден, а не сотрудничающий получит тяжелый приговор (например, 10 лет). Если оба останутся молчать, они оба будут осуждены по менее тяжкому обвинению и получат умеренный приговор (например, по 2 года каждый). Если оба предадут друг друга, они оба получат значительный приговор (например, по 5 лет каждый).

Дилемма: дилемма возникает, потому что у каждого заключенного есть два варианта, ни один из которых он не может с уверенностью выбрать, не зная решения другого. Оптимальный исход для обоих — оставаться молчаливыми, что приведет к общему сроку в тюрьме в 4 года. Однако страх того, что другой может сдать и оставить их нести тяжелый приговор, часто приводит каждого к сдаче подельника, в результате чего общий срок в тюрьме составляет 10 лет. В теории игр говорят, что стратегия «сдачи» доминирует над другими.
#полезные_материалы

Стандартный способ «честного» деления пирога на двоих: первый участник делит, второй выбирает себе один из кусков, оставшийся кусок достается первому.

А как трем людям справедливо разделить пирог между собой?

Как вы думаете? Пишите свои решения в комментарии. Завтра опубликую своё решение там же.

#интересная_задача
#задача_на_алгоритм

📕Справочник тем по математике

Еще один сайт, на котором собрана теория уже не только для школьников, но и для студентов младших курсов. Теория удобно разбита по разделам, вся информация дана ёмко и с примерами, также из плюсов можно отметить наличие удобного поиска.

Кроме теории на сайте есть раздел с собранными онлайн-калькуляторами (кажется, для сложных вычислений они используют WolframAlpha). Например, с их помощью можно построить график функции, сократить дроби и привести их к общему знаменателю, разложить число на множители, вычислить производную и или взять интеграл.

#полезные_материалы

🧙‍♂️ Задачи о мудрецах

Задачи о мудрецах — увлекательная тема кружковой и олимпиадной математики, объединяющая алгоритмы и логику в увлекательный пазл. Эта серия задач требует от участников просчитать или придумать, каким образом будет действовать группа мудрецов, руководствуясь строгой логикой.

👨‍💻 Эти задачи не только популярны на олимпиадах, но и популярны на собеседованиях в крупных компаниях, что вполне понятно: они проверяют логику, креативность и умение анализировать информацию у кандидата. Однако, помимо этих качеств, в решении задач требуется и некоторая математика. Задачи о мудрецах знакомят с разделами математики, такими как теория игр, теория информации, а также эпистемика — раздел модальной логики, изучающий состояния познания.

🔮 Изучение задач о мудрецах не только развивает логическое мышление, но и учит нас разрабатывать алгоритмы (кооперативные алгоритмы) для эффективного решения сложных задач в команде. Они помогают предсказывать поведение субъекта в различных ситуациях и извлекать максимальную выгоду из них, что, несомненно, пригодится в повседневной жизни.

🧠 Поэтому задачи о мудрецах — это отличное упражнение для ума, которое развивает не только математические навыки, но и способность мыслить логически и находить нестандартные решения.

#мысли

Одна из самых известных задач про мудрецов.

Султан позвал своих трёх мудрецов и говорит: «У меня есть три белых колпака и два чёрных. Я надену на каждого из вас по колпаку. Каждый увидит колпаки двух других, но не увидит свой колпак. Первый, кто осмелится назвать цвет своего колпака, должен сделать это правильно! Но если в течение минуты никто не ответит, тоже всех распущу. И никаких подсказок друг другу — только цвет своего колпака».
Как мудрецам справиться с данной задачей?

Как вы думаете? Пишите свои решения в комментарии. Завтра опубликую своё решение там же.

#интересная_задача
#задача_про_мудрецов

🧮 Олимпиада имени Леонарда Эйлера
Началась регистрация на олимпиаду им. Леонарда Эйлера, в ней могут принять участники 8 класса (можно младше).

👩‍💻 Дистанционный этап
Дистанционный этап пройдет в три независимых тура, можно участвовать в каждом этапе.Чтобы попасть на региональный этап, достаточно успешно выступить на одном из туров.
🍁10 ноября
🍁24 ноября
❄️8 декабря

🙇‍♀️ Задания рассчитаны на восьмиклассников и по сложности соответствуют муниципальному этапу Всероссийской олимпиады. Попробовать свои силы могут и ученики более младших классов.
На региональный этап также пригласят школьников по результатам выводящих соревнований.

🏁В финал попадут лучшие участники регионального. Эти два последних этапа призваны восполнить отсутствующие для восьмиклассников аналогичные этапы Всероссийской олимпиады. Заключительный этап пройдёт в марте 2025 года.

📜 Правила проведения

✍️ Инструкция для регистрации

📝 Материалы прошлых лет для подготовки

🌐Официальный сайт

🇺🇸Задача из "Math olympiad contest problems"

Задача на взвешивание, в которой скрыта система линейных уравнений с тремя переменными. Такой тип задач отлично подходит для учеников 4–5 классов, чтобы в будущем им легко давались уравнения.

🏴󠁧󠁢󠁥󠁮󠁧󠁿The original version
📖Condition:
Thirteen plums weigh as much as two apples and one pear. Four plums and one apple have the same weight as one pear. How many plums have the weight of one pear?

💡Hint:
In the first condition, replace pear by 4 plums and 1 apple.

🇷🇺Перевод на русский
📖Условие:
Тринадцать слив весят столько же, сколько два яблока и одна груша. Четыре сливы и одно яблоко имеют тот же вес, что и одна груша. Сколько слив имеют вес одной груши?

💡Подсказка:
В первом условии замените грушу на 4 сливы и 1 яблоко.

Решение и ответ в комментариях

#contest_problems

📚 Материалы из кружка

В этом году я начал вести кружок по олимпиадной математике в нескольких государственных школах с целью познакомить учеников, не имевших опыта в этой области, с увлекательным миром олимпиадной математики.

Хочу поделиться материалами с наших занятий здесь, в этом канале, чтобы все желающие смогли погрузиться в тему олимпиадной математики. К каждому занятию буду добавлять вводную часть, раскрывающую основные идеи и необходимую теорию.

Кружки предназначены для учеников с третьего по восьмой класс. Поскольку ученики ранее не занимались олимпиадной математикой, мы рассматриваем все темы с нуля, проходя все этапы подготовки для изучения более сложных тем. Материалы, как правило, будут актуальны для учеников 3-4, 5-6 и 7-8 классов.

1⃣ Первое занятие

Первое занятие посвящено основам математики, а именно цифрам, числам и нашей системе исчисления. Здесь со всеми классами мы обсуждаем, что такое цифры и числа, сколько их. Какие множества чисел бывают и какие они уже знают. Почему наша система называется десятичной. Запись какого единственного целого числа начинается с нуля.

📕 3-6 класс

Хоть набор задач для третьего и шестого класса разный, но основная идея занятия схожа.

❕Что важно знать:

5⃣ Число — основное понятие математики; абстрактная сущность, используемая для описания количества.

5⃣ Цифра — это письменный знак, изображающий число.

⚖ Когда мы сравниваем два натуральных числа, мы в первую очередь смотрим на количество цифр, где их больше, то число соответственно больше. А при равном количестве начинаем пошагово сравнивать цифры в старших разрядах.

➡ Из этого следует то, что для максимизации натурального числа сначала нужно добиться чтобы оно состояло из максимального количества цифр, а после уже необходимо сделать так, чтобы цифры в старших разрядах были как можно больше. Для минимизации натурального числа нужно сделать всё то же самое, но минимизируя.
После чего переходим к решению задач.

📕 7-8 класс

После обсуждения мы записываем в общем виде разложение натурального числа на разрядные слагаемые (вся теория дана в начале листочка). А после разбираем нулевую задачу и переходим к решению остальных задач.

Если будут какие-то вопросы по занятию, смело задавайте в комментариях.

#материалы

У Терентия, есть 10 копилок с табло, где показывается сколько денег накоплено.  Каждый день Терентий кладёт по рублю в девять своих копилок. Как Терентию откладывая деньги каждый день сделать так, чтобы во всех копилках стало одинаковое количество монет.

Как вы думаете? Пишите свои решения в комментарии. Завтра опубликую своё решение там же.
             
#интересная_задача             
#задача_на_алгоритм