جورج پولیا (۱۸۸۷-۱۹۸۵)

📚 دو کتاب مرجع برای درس
مباحثی در آموزش ریاضیات
👇
👇
👇

چاپ ۱۹۸۵

چاپ ۱۹۴۵

⭕️ پوانکاره نوعی تجارب گشتالتی در بخش مبانی علم
(Foundations of science)
با عنوان خلق ریاضی
(Mathematical creation)
شرح داده که در سال ۱۹۰۸ میلادی منتشر شد. داستان مبانی علم پوانکاره در سال ۱۹۴۵ موضوع تحقیق گسترده‌ای توسط هادامارد شد. در این زمان، الگوی نخستین طرح چهار مرحله‌ای حل مسئله گشتالتی توسط گراهام والاس با نام هنر تفکر تدوین شد. این چهار مرحله حل مسئله گشتالتی عبارتند از:
🔻
1⃣ اشباع (Saturation): روی مسئله تا هنگامی کار کنید که همه آن‌چه را که می‌توانید، انجام داده باشید؛
🔻
2⃣ کمون/تکوین (Incubation): مسئله را خارج از ذهن خودآگاه خود قرار می‌دهید و به ناخودآگاه خود اجازه می‌دهید تا به آن تسلط یابد؛
🔻
3⃣ الهام (Inspiration): جواب در یک لحظه به سراغ شما می‌آید؛
🔻
4⃣ تأیید/تصدیق (Verification): راه‌ حل را بازبینی می‌کنید.


@MathEducationTopics

⭕️ بررسی سیر تاریخی حل مسئله نشان می‌دهد که سال ۱۹۴۵ نقطه عطفی در نهضت حل مسئله ریاضی بود.

⬅️ از یک سو، با پایان جنگ دوم جهانی تحولی در ریاضی و آموزش ریاضی در سطح بین‌المللی روی داد. دالمدیکو (۲۰۰۱) سال ۱۹۴۵ را یک گسیختگی مهم برای ریاضیات قرن بیستم می‌داند و اظهار می‌دارد:

در این سال تحولی در جهت تغییر رویکرد از ریاضیات محض به ریاضیات بیش‌تر کاربردی صورت گرفت.

➡️ از سوی دیگر، آموزشگران ریاضی آثاری از خود به‌جای گذاشتند که تحولی چشم‌گیر در حل مسئله به‌دنبال داشت. در این سال، تفکر خلاق ورنهایمر در انگلستان منتشر شد که مطالعه‌ای کلاسیک در حل مسئله محسوب می‌شد. به‌همین ترتیب، رساله روان‌شناسی ابداع در حوزه ریاضی اثر ژاک هادامارد و تک‌نگاشت کارل دانکر در حل مسئله انتشار یافت.


با این حال، پولیا و شونفیلد جایگاه ویژه‌ای در ادبیات معاصر حل مسئله ریاضی، به خود اختصاص داده‌اند.


@MathEducationTopics

شاهکار پولیا با عنوان چگونه حل کنیم
(How to solve it)
در سال ۱۹۴۵ منتشر شد. وی کتاب خود را با معرفی مراحل حل یک مسئله ریاضی آغاز می‌کند.

پولیا عقیده دارد که برای یافتن جواب مسئله باید به صورت مکرر دیدگاه و روش نگریستن خود را به آن مسئله عوض کنیم.
💢 نخست باید به صورتی آشکار بدانیم که چه چیز خواسته شده است (فهمیدن مسئله).

💢 دوم باید ببینیم که اجزای مختلف مسئله چگونه به هم پیوسته‌اند و ارتباط مجهول با داده‌های مسئله از چه قرار است تا از این راه اندیشه‌ای در خصوص حل مسئله پیدا کنیم (طرح نقشه).

💢 سوم، اجرای نقشه است.

💢 چهارم، پس از پایان یافتن مسئله به عقب نگاه کردن و تجدیدنظر کردن و بحث کردن درباره حل انجام شده است.


@MathEducationTopics

شونفیلد که خود شاگرد پولیا به حساب می‌آید، نقش بزرگی در شناسایی بیش‌تر پولیا به جامعه ریاضی و هم‌چنین تأثیر عظیمی در بازشناسی "روش حل مسئله" و "رهیافت‌های حل مسئله" داشته است.

شونفیلد که خود را وام‌دار کارهای پولیا می‌داند، به تأسی از نیوتن اظهار می‌دارد:

اغلب گفته می‌شود هر شخص وقتی می‌تواند مسافت دوری را ببیند که بر شانه غولی ایستاده باشد. در حقیقت، ما اکنون بر بالای تلی از غول‌ها ایستاده‌ایم. ما از فراز شانه‌های پولیا به منظره می‌نگریم. پولیا نیز بر شانه‌های دکارت قلمرو حل مسئله را مورد بررسی قرار داد.

شونفیلد در سال ۱۹۸۵، در کتاب حل مسئله ریاضی
(Mathematical problem solving)
چهار دسته دانش مورد نیاز برای حل مسئله را معرفی می‌کند:
1⃣ منابع. دانش ریاضی مرتبط با مسئله داده شده که شخص دارد؛

2⃣ رهیافت‌ها. راهبردها و فنونی برای ایجاد روش‌هایی برای مسئله‌های ناشناخته یا غیراستاندارد، هم‌چنین قواعد مشخص برای حل ثمربخش مسئله داده شده؛

3⃣ کنترل. تصمیم‌های عمومی راجع به گزینش و به‌کارگیری "منابع" و "رهیافت‌ها"؛

4⃣ نظام‌های باوری. جهان‌بینی ریاضی شخصی درباره خود، محیط، موضوع، و ریاضی.


@MathEducationTopics

✍ شونفیلد با اشاره به‌مجموعه رهیافت‌های پولیا که در کتاب چگونه حل کنیم ارائه کرده، "پولیا را احیاگر رهیافت‌ها می‌خواند."

✍ پولیا، برای دو دسته از مسئله‌های ریاضی به نام "مسئله‌های ثابت کردنی" و "مسئله‌های یافتنی" رهیافت‌هایی ارائه می‌دهد. وی مثال‌های متنوع و مسئله‌های پیکارجویی ارائه می‌کند و با "استدلال رهیافتی" به آن‌ها جواب می‌دهد.

✍ این مسئله‌ها و استدلال‌ها را می‌توان در هر دو کتاب چگونه حل کنیم و خلاقیت ریاضی مشاهده کرد.

✍ به عقیده پولیا "استدلال رهیافتی، استدلالی است که نه به‌عنوان قطعی و نهایی، بلکه تنها به‌عنوان موجه‌نما و موقتی در نظر گرفته می‌شود و هدف آن کشف راه‌حل مسئله حل‌کردنی است."

✍ پولیا در سراسر خلاقیت ریاضی و چگونه حل کنیم در قالب حل کردن مسئله‌ها، رهیافت‌های بسیاری را معرفی کرده است که می‌توانند قواعدی کلی برای حل تعداد زیادی از مسئله‌های ریاضی به حساب آیند.


@MathEducationTopics

⭕️ حل مسئله اصطلاحی است که در موضوعات گوناگونی مورد استفاده قرار می‌گیرد و می‌تواند معانی متفاوتی به خود بگیرد.

♦️ پیشرفت‌های حل مسئله را به دشواری می‌توان محدود به آموزش ریاضی دانست و هر پیشرفتی در این زمینه، کم و بیش جنبه عام خواهد یافت.

🔴 در ارتباط با استفاده از حل مسئله در آموزش ریاضی، سه تعبیر زیر از هم جدا هستند:
🔻 حل مسئله به‌عنوان یک هدف؛
🔻 حل مسئله به‌عنوان یک فرایند؛
🔻 حل مسئله به‌عنوان یک مهارت.


@MathEducationTopics

🔻 حل مسئله به‌عنوان یک هدف، بر پايه این شناخت است که حل مسئله فعالیت اصلی در توسعه و درک ریاضی است، زیرا یادگیری چگونه مسئله حل‌کردن، علت اصلی مطالعه ریاضی است.

🔻 اما در تعبیر حل مسئله به‌عنوان یک فرایند، توجه اصلی به روش‌ها و رویه‌های حل مسئله است.

🔻 بالاخره، کاربردهای استفاده شده توسط دانش‌آموزان، حل مسئله به‌عنوان یک مهارت تعبیر شده و بر مشخص کردن گونه‌های بخصوصی از مسئله‌ها، حوزه‌های محتوایی خاص و فنون ویژه‌ای اشاره دارد که در حل مسئله مورد استفاده قرار می‌گیرند.


@MathEducationTopics

🔶 شورای ملی معلمان ریاضی [آمریکا] (NCTM) در سال ۱۹۸۰ در "بیانیه‌ای برای عمل"
Agenda for Action
توصیه کرد که حل مسئله باید نقطه تمرکز اصلی آموزش ریاضی باشد.

🔸 این شورا در استانداردهای برنامه درسی و ارزشیابی ریاضیات مدرسه‌ای (۱۹۸۹) هدف اصلی آموزش ریاضی را توسعه قدرت ریاضی دانش‌آموزان بدین‌گونه معرفی کرد:

توانایی‌ فرد در کشف کردن، حدسیه‌سازی، استدلال منطقی، به‌اضافه توانایی استفاده مؤثر از روش‌های گوناگون ریاضی برای حل مسئله‌های غیرمعمولی.

🔸 با وجود تقاضاها و درخواست‌ها برای روی آوردن به رویکردهای حل مسئله در آموزش ریاضی،  انتقال از آموزش حقایق و رویه‌های ریاضی به آموزش همراه با تأکید بر فهم و درک ریاضی و مهارت‌های تفکر، کند و مشکل بود!

🔸 بسیاری از معلمان مجاب نشدند که باید شیوه‌های سنتی کنار گذاشته شوند. اکثر آن‌هایی هم که مایل به تغییر بودند، اطمینان نداشتند که چگونه باید این کار را انجام دهند.

💢 یکی از مشکلات آن بود که اجماعی بر این‌که منظور از حل مسئله چیست!؟ به‌خصوص در مورد حل مسئله باز-پاسخ و این‌که بهترين راه تدریس و ارزشیابی آن چگونه است، وجود نداشت.


@MathEducationTopics

✍ حل مسئله باز-پاسخ چیست؟

♦️ در حل مسئله باز-پاسخ، مسئله چندین پاسخ احتمالی دارد که می‌توان آن‌ها را به چندین روش به‌دست آورد و تمرکز نه بر روی پاسخ مسئله، بلکه بر شیوه‌های رسیدن به پاسخ است.

♦️ حل مسئله واقعی، مستلزم مسئله‌ای است که کمی فراتر از سطح مهارت‌های دانش‌آموزان باشد به‌طوری که آنان به‌طور خودبه‌خودی ندانند که از کدام روش حل مسئله استفاده کنند. مسئله باید برای دانش‌آموز غیرمعمولی، چالش‌برانگیز و ناآشنا باشد و در عین حال ناامیدکننده نباشد.


@MathEducationTopics

♦️ در حل مسئله باز-پاسخ، دانش‌آموزان مسئول اتخاذ بسیاری از تصمیم‌هایی هستند که در گذشته مسئولیت آن تصمیم‌گیری‌ها به عهده معلمان و کتاب‌های درسی بودند.

♦️ دانش‌آموز برای تصمیم‌گیری در این خصوص که کدام روش یا رویه برای حل مسئله باز-پاسخ باید درنظر گرفته شود، به دانش و تجربه‌های قبلی خود درباره مسئله‌های مرتبط متکی خواهد بود.

♦️ دانش‌آموز باید رویه خود را بسازد و یکی یکی آن‌ها را امتحان کند تا آن‌که به پاسخ برسد. سپس این موارد را بررسی کرده و برای دیگران، تجربه حل مسئله خود را شرح دهد و فرآیند تفکر خود را پی گرفته و راهبردهای اتخاذ شده را مرور کند و مشخص کند که چرا برخی از آن‌ها مفید و برخی نامید هستند.

♦️ این مرحله بررسی باعث فهم عمیق و درک دانش‌آموز از مسئله شده و به شفاف شدن تفکر او درخصوص شیوه‌های مؤثر حل مسئله و چگونگی ارتباط مسئله و شیوه‌های مورد استفاده او با سایر مسئله‌ها یا حوزه‌های ریاضی کمک خواهد کرد.


@MathEducationTopics

♦️ یکی از مسئولیت‌های کلیدی معلمان، انتخاب و ارائه مسئله‌های مناسب است. معلم با انتخاب مسئله‌های "خوب"، شرایط مناسب را برای دانش‌آموزان فراهم می‌کند تا آن‌ها درگیر فرآیند معنادار حل مسئله شوند.

♦️ این بدان معناست که مسئله باید:
➖ باز-پاسخ باشد، یعنی شیوه‌های متنوع حل و پاسخ‌های چندگانه را ارائه کند؛
➖ به مفاهیم مهم ریاضی اشاره کند؛
➖ دانش‌آموزان را جذب کرده و به چالش بکشد؛
➖ با یادگیری‌های قبلی دانش‌آموزان مرتبط باشد.


@MathEducationTopics

✍ چرا باید حل مسئله باز-پاسخ آموزش داده شود؟

♦️ برای کمک به جوانان که بتوانند مسئله حل‌کن‌های بهتری باشند، علاوه بر این‌که باید آن‌ها را برای ریاضی‌وار فکر کردن آماده کرد،  باید آن‌ها را آماده کنیم که به چالش‌های زندگی، با اطمینان به توانایی حل مسئله خود نگاه کنند.

♦️ تفکر و مهارت‌های ضروری برای حل مسئله‌های ریاضی، به سایر حوزه‌های زندگی هم گسترش می‌یابد.
🔺 تجربه با شیوه‌های گوناگون تفکر ریاضی، قدرت ریاضی را می‌سازد، یک ظرفیت ذهنی باارزش فزاینده در این دوره فن‌آوری که هر فرد را قادر به مطالعه نقادانه، شناسایی نارسایی‌ها، تشخیص یک‌سویه‌نگری‌ها، ارزیابی خطرات، و ارائه پیشنهادهای بدیل می‌کند. ریاضیات این قدرت را به ما می‌دهد که جهان اشباع شده از اطلاعاتی را که در آن زندگی می‌کنیم، بهتر بفهمیم.

♦️ یادگیری ریاضی به وسيله درگیر شدن با مسئله‌های چالش‌برانگیز و باز-پاسخ، در خدمت انواع یادگیری‌های واگراست. ماهیت فعال و متنوع حل مسئله، به دانش‌آموزانی که شیوه‌های یادگیری مختلفی دارند، کمک می‌کند تا فهم و درک ریاضی خود را گسترش داده و آن را نشان دهند.

♦️ رویکردهای یادگیری سنتی که تکیه بر یادگیری طوطی‌وار و راهبردهای تدریسی معلم-محور دارند، اغلب توانایی پاسخ‌گویی به نیازهای آموزشی بسیاری از دانش‌آموزانی را ندارند که شاید یادگیرنده‌های فعالی باشند یا نیازمند راه‌های متنوعی برای وارد شدن به برنامه درسی هستند.


@MathEducationTopics

♦️ یادگیری از طریق حل مسئله باز-پاسخ، به دانش‌آموزان کمک می‌کند تا فهم و درکی را توسعه دهند که منعطف بوده و می‌تواند با موقعیت‌های جدید سازگار شود و برای یادگیری چیزهای جدید استفاده شود.

♦️ یادگیری مفهومی، بهترین روش برای یادگیری در یک جهان در حال تغییر و غیرقابل پیش‌بینی است. با این وجود،  مفید بودن تنها دلیل برای یادگیری مفهومی نیست. یاد گرفتن مفهومی و در عین حال به‌طور علمی و دقیق، با ریاضیات به‌عنوان یک موضوع هماهنگی دارد.

♦️ زمانی که ما قواعد کار کردن با نشانه‌ها را در یک صفحه به خاطر می‌سپاریم ممکن است چیزی یاد بگیریم، ولی ریاضیات را یاد نمی‌گیریم‌. دانستن یک موضوع به‌معنای رفتن به درون آن و مشاهده چگونگی کارکرد اجرا، چگونگی ارتباط اجزا با یکدیگر و این که چرا این گونه کار می‌کنند، می‌باشد!

♦️ وقتی دانش‌آموزان با ایده‌های ریاضی مواجه می‌شوند که علاقه و چالش را در یک زمینه حل مسئله باز-پاسخ برمی‌انگیزد، احتمال بیشتری هست که انواع پاداش‌های درونی را تجربه کنند و این احساس آن‌ها را با جریان حل مسئله، فعالانه درگیر می‌کند. اما دانش‌آموزانی که به حفظ کردن روی می‌آورند، فاقد فهم و درک بوده و احتمالا احساس رضایت اندکی خواهند داشت و شاید به‌طور کامل از یادگیری دست بکشند.


@MathEducationTopics

♦️ در حقیقت شواهد نشان می‌دهند که اگر دانش‌آموزان با تکرار و به شکل طوطی‌وار به حفظ کردن و تمرین کردن رویه‌ها بپردازند، برای‌شان مشکل خواهد بود که در آینده دوباره به این مفاهیم برگشته و درک عمیق‌تری از مفاهیم ریاضی پیدا کنند که در پس رویه‌ها قرار دارد.

♦️ در نتیجه، درس‌های مبتنی بر حل مسئله باز-پاسخ که این مسئله‌ها مضمون اصلی آن‌ها باشند، بالقوه برای بهبود تدریس و یادگیری ریاضی غنی هستند.

♦️ با قبول اهمیت حل مسئله برای یادگیری ریاضی،  راهبران آموزشی در دو دهه آخر قرن بیستم، حل مسئله را به تمرکز اصلی در اصلاح استانداردها تبدیل کردند. شورای ملی معلمان ریاضی [آمریکا] در بهار سال ۲۰۰۰، هنگام انتشار "اصول و استانداردهای ریاضیات مدرسه‌ای" که در واقع تجدید گزارش ۱۹۸۹ این شورا در مورد "استانداردهای ارزیابی و برنامه درسی برای ریاضیات مدرسه‌ای" بود، تعهد خود را نسبت به حل مسئله، دوباره تجدید کرد.

♦️ استانداردهای بروز شده شورای ملی معلمان ریاضی، حل مسئله را به‌عنوان یک مؤلفه اصلی آموزش ریاضی برای تمام دوره‌های تحصیلی شناخته است. همچنین بر اهمیت یادگیری و ارزیابی استدلال کردن، گفتمان ریاضی، ایجاد ارتباط و اتصال و به‌کار بردن دانش در موقعیت‌های مسئله تأکید می‌کنند که شعارهای کلیدی حل مسئله هستند.


@MathEducationTopics

✍ چالش‌های آموزش حل مسئله

♦️ با وجود آن‌که پولیا حدود ۸۰ سال قبل، چارچوبی مبتنی بر جست‌وجوگری برای حل مسئله ارائه کرد، اما بعد از تجربه‌ای کوتاه در کاربست آن، به‌کارگیری گسترده ایده‌های او در کلاس‌های درس مدرسه در آمریکا کنار گذاشته شد. زیرا چالش‌های متعددی بر سر راه انجام این کار در تدریس ریاضی وجود داشته و دارد.

با این حال، و با آگاهی از آن تجربه، در دهه ۸۰ شمسی، در کتاب‌های ریاضی دوره راهنمایی ایران، این روند برای تدریس مورد توجه ویژه‌ای قرار گرفت!!! و سال‌ها روش‌های ناکارآمد آن باقی ماند!!!


♦️ از جمله چالش‌های آموزش حل مسئله، می‌توان به این موارد اشاره کرد:
1⃣ آموزش حل مسئله غیرمعمول مشکل است.
حل مسئله همان‌قدر که برای معلم وقت‌گیر و سخت است، برای دانش‌آموزان نیز وقت‌گیر و سخت است. تسلط بر هنر آموزش ریاضی تنها در مدت زمان طولانی ممکن است.

2⃣ مسئله‌های غیرمعمولی برای دانش‌آموزان مشکل است.
مسئله‌های غیرمعمولی و باز-پاسخ به دلیل ماهیتی که دارند، اغلب برای بسیاری از دانش‌آموزان مشکل هستند. پژوهش‌ها نشان می‌دهد که تکلیف‌های حل مسئله، بدون ارائه سرنخ‌ها و گام‌های رویه‌ای به دانش‌آموزان، برای آن‌ها سخت است.

3⃣ معلمان نسبت به تمام کردن محتوای درس دغدغه دارند.
در بسیاری از نظام‌های آموزشی، از معلمان انتظار می‌رود که هر سال حوزه‌های گسترده‌ای از محتوای درسی را پوشش دهند. با این حال، حل مسئله‌های چالش‌برانگیز و غیرمعمولی زمان‌بر است. اغلب، حل یک مسئله می‌تواند تمام یک جلسه از کلاس درس یا بیشتر را اشغال کند.

4⃣ کتاب‌های درسی، مسئله‌های غیرمعمولی اندکی عرضه می‌کند.
اگر چه کتاب‌های درسی در بسیاری از کشورها در حال بهبود هستند، بیشتر آن‌ها تعداد مناسبی از مسئله‌های غیرمعمولی ارائه نمی‌دهند که معلمان بتوانند از بین آن‌ها انتخاب کنند. بسیاری از معلمان از دیدگاه‌ها و توالی مطالب ارائه شده در کتاب‌های درسی احساس راحتی نمی‌کنند، ولی آن‌ها باید اعتمادبه‌نفس خود را توسعه دهند و در جست‌وجوی سایر مواد آموزشی به‌عنوان مکمل کتاب‌های درسی خود باشند.

♦️ با وجود این چالش‌ها، گروهی از معلمان با گنجاندن بعضی از مسئله‌های باز-پاسخ در برنامه کلاس‌های خود، به ارتقای توانایی دانش‌آموزان برای حل مسئله کمک می‌کنند.

رابرت مکینتاش و دنیس جَرت. آموزش حل مسئله ریاضی: تحقق یک چشم‌انداز، مروری بر ادبیات تحقیق. مترجمان: زهرا گویا و زهرا گیلک. رشد آموزش ریاضی. شماره‌ ۸۶. زمستان ۱۳۸۵. دفتر انتشارات و فناوری آموزشی. صص ۴-۲۱.
https://www.roshdmag.ir/fa/magazine2/showissue/2426