مثال برای تفهیم:
فرض کنید A={{a,b},{c},{c,d}}. این مجموعه ناتهی است، پس طبق اصل انتظام باید یک عضو "کمین" داشته باشد. بیایید اعضای A را یکی یکی چک کنیم:
آیا x={a,b} عضو کمین است؟ خیر. چون A شامل هیچ‌یک از اعضای x (یعنی a و b) نیست. پس
x∩A={a,b}∩{{a,b},{c},{c,d}}=∅.

کمی سرگرمی با #نظریه_مجموعه‌ها (عمیق‌ترین بخش ریاضیات که به تمام گرایشات دیگر آن پل ارتباطی دارد) از مقدماتی تا پیشرفته.
Part 2:
اصول دیگر نظریه مجموعه‌ها (در سیستم ZFC) غیر اصل انتظام که توضیحات مبسوط و آکادمیک‌اش ارائه شد .....

نظریهٔ مجموعه‌ها بر پایه چند اصل (Axiom) ساخته شده که کمک می‌کنن مجموعه‌ها رو بدون پارادوکس تعریف و ازشون استفاده کنیم. سیستم استاندارد ZFC (Zermelo-Fraenkel with Choice) شامل 9 اصل اصلی می‌شه. قبلاً اصل انتظام (Regularity یا Foundation) رو توضیح دادم. حالا بقیه‌شون رو به زبان ساده شرح می‌دم. هر کدوم رو با مثال ساده می‌گم تا راحت‌تر بفهمین. این اصول مثل قوانین بازی هستن که می‌گن چی می‌تونی بسازی و چی نه.

۱. اصل گستردگی یا تساوی (Axiom of Extensionality)، خوب این اصل دقیقا چی می‌گه؟ دو مجموعه دقیقاً وقتی برابر هستن که دقیقاً عضوهای یکسانی داشته باشن. یعنی، اگر هر چیزی که تو مجموعه A هست، تو B هم باشه و برعکس، پس A = B.
چرا مهمه؟ این اصل کمک می‌کنه بدون ابهام بگیم دو مجموعه برابرن یا نه. جلوی سردرگمی در مورد "ظاهر" مجموعه‌ها رو می‌گیره.
مثال ساده: فرض کن A = {۱, ۲} و B = {۲, ۱}. این دو برابرن چون عضوها یکسانن، حتی اگر ترتیب فرق کنه (چون مجموعه‌ها ترتیب ندارن).

۲. اصل جفت‌سازی (Axiom of Pairing) چی می‌گه؟ اگر دو چیز (مثلاً x و y) داشته باشی، می‌تونی مجموعه‌ای بسازی که فقط این دو عضو رو داشته باشه: {x, y}. حتی اگر x و y یکی باشن، می‌شه {x} (مجموعه تک‌عضوی). چرا مهمه؟ این اصل پایه‌ای برای ساخت مجموعه‌های کوچک‌تره و کمک می‌کنه از چیزهای ساده، چیزهای پیچیده‌تر بسازیم. مثال ساده: اگر x = سیب و y = پرتقال، می‌تونی مجموعه {سیب, پرتقال} رو بسازی. یا اگر
x =y=سیب،
می‌شه {سیب}.

۳. اصل اتحاد (Axiom of Union) چی می‌گه؟ اگر مجموعه‌ای از مجموعه‌ها داشته باشی
(مثل A = {B, C})،
می‌تونی مجموعه‌ای بسازی که همه عضوهای B و C رو با هم داشته باشه (اتحادشون). چرا مهمه؟ کمک می‌کنه مجموعه‌های بزرگ‌تر از مجموعه‌های کوچک‌تر بسازیم، بدون اینکه گم بشیم. مثال ساده:
A = {{۱, ۲}, {۲, ۳}}.
اتحاد A می‌شه {۱, ۲, ۳} (همه عضوها رو جمع می‌کنه).

۴. اصل مجموعه توانی (Axiom of Power Set) چی می‌گه؟ برای هر مجموعه A، می‌تونی مجموعه‌ای بسازی که همه زیرمجموعه‌های ممکن A رو شامل بشه. به این می‌گن مجموعه توانی P(A). چرا مهمه؟ این اصل اجازه می‌ده مجموعه‌های خیلی بزرگ‌تر بسازیم و مفاهیمی مثل اعداد حقیقی رو تعریف کنیم.
مثال ساده: اگر A = {۱, ۲}، مجموعه توانیش P(A) = {∅, {۱}, {۲}, {۱,۲}} (همه ترکیب‌های ممکن، شامل خالی).

۵. اصل بی‌نهایت (Axiom of Infinity) چی می‌گه؟ حداقل یک مجموعه بی‌نهایت وجود داره. مثلاً مجموعه اعداد طبیعی {۰, ۱, ۲, ۳, ...} که هیچ‌وقت تموم نمی‌شه. چرا مهمه؟ بدون این، فقط مجموعه‌های متناهی (محدود) می‌تونیم بسازیم. این اصل ریاضیات بی‌نهایت رو ممکن می‌کنه. مثال ساده: مجموعه‌ی
{۰, {۰}, {۰, {۰}}, ...}
که هر مرحله یکی اضافه می‌شه و بی‌نهایت ادامه داره.

۶. طرحواره اصل جداسازی یا درک (Axiom Schema of Separation یا Comprehension) چی می‌گه؟ اگر مجموعه A داشته باشی و یک شرط (مثل "x زوجه")، می‌تونی زیرمجموعه‌ای از A بسازی که فقط عضوهایی که شرط رو برآورده می‌کنن داشته باشه. چرا مهمه؟ جلوی پارادوکس‌هایی مثل پارادوکس راسل رو می‌گیره (که می‌گه مجموعه همه مجموعه‌هایی که عضو خودشون نیستن، پارادوکسه). این اصل می‌گه فقط از مجموعه موجود می‌تونی زیرمجموعه جدا کنی، نه از هیچی.
مثال ساده: A = {۱, ۲, ۳, ۴}. شرط: "x زوج باشه". زیرمجموعه: {۲, ۴}.

۷. طرحواره اصل جایگزینی (Axiom Schema of Replacement) چی می‌گه؟ اگر تابعی داشته باشی که هر عضو مجموعه A رو به چیزی جدید نگاشت کنه، می‌تونی مجموعه جدیدی بسازی که عضوهای جدید رو داشته باشه. چرا مهمه؟ کمک می‌کنه مجموعه‌های بزرگ‌تر و پیچیده‌تر بسازیم، مثل اعداد ترامتناهی.
مثال ساده: A = {۱, ۲}. تابع: "x رو دو برابر کن". مجموعه جدید: {۲, ۴}.

اصل انتخاب (Axiom of Choice)
چی می‌گه؟ اگر مجموعه‌ای از مجموعه‌های غیرخالی داشته باشی (مثل یک سبد پر از جعبه‌های پر)، می‌تونی از هر جعبه یکی انتخاب کنی و مجموعه جدیدی بسازی، حتی اگر راه مشخصی برای انتخاب نداشته باشی.
چرا مهمه؟ این اصل جنجالیه و بدون اون بعضی اثبات‌ها (مثل در توپولوژی یا جبر) ممکن نیست. اما بعضی‌ها می‌گن "غیرسازنده" است چون نمی‌گه چطور انتخاب کنی.
مثال ساده: تصور کن بی‌نهایت جفت جوراب داری. اصل انتخاب می‌گه می‌تونی از هر جفت یکی انتخاب کنی (مثلاً همه چپ‌ها یا راست‌ها)، حتی بدون قانون خاص.
این اصول با هم کار می‌کنن تا نظریه مجموعه‌ها محکم باشه. ZFC رایج‌ترین سیستم هست، اما گاهی اصول دیگه‌ای مثل اصل Continuum Hypothesis اضافه می‌شن که مستقلن.

کمی سرگرمی با #نظریه_مجموعه‌ها (عمیق‌ترین بخش ریاضیات که پل ارتباطی به تمام گرایش‌های دیگر همچون توپولوژی، آنالیز و جبر است)؛ از مقدماتی تا پیشرفته.
Part 2.1:
#تکمیل_پست_قبل
پست قبل به بیان ساده و شهودی اختصاص داشت. این بار مسیر را از شهود آغاز کرده و آرام‌آرام به بیان آکادمیک و رسمی می‌رسانیم تا ساختار دقیق ریاضیات شکل بگیرد.
هر اصل را در سه سطح بررسی می‌کنیم: ساده، شهودی-دقیق، و رسمی (ریاضی).

1️⃣ اصل گستردگی (Axiom of Extensionality)
🔹 بیان ساده: دو مجموعه با هم برابرند، اگر و تنها اگر اعضایشان دقیقاً یکسان باشند. ترتیب قرارگیری یا تکرار اعضا اهمیتی ندارد.
🔹 بیان شهودی و دقیق‌تر: هویت یا «شناسنامه»‌ی یک مجموعه، فقط و فقط توسط اعضای آن تعیین می‌شود. هیچ ویژگی حاشیه‌ای مثل «نام»، «رنگ» یا «نحوه‌ی توصیف» در برابری دو مجموعه دخیل نیست. برای اینکه ثابت کنیم دو مجموعه A و B برابر نیستند، کافی است فقط یک عضو پیدا کنیم که در یکی باشد و در دیگری نباشد.
مثال: مجموعه اعداد زوج اول {2} با مجموعه ریشه‌های معادله‌ی x - 2 = 0 یعنی {2} برابر است؛ هرچند توصیف کلامی آن‌ها کاملاً متفاوت است.
🔹 بیان رسمی و ریاضی:
اگر دو مجموعه A و B دارای اعضای یکسانی باشند، آنگاه A = B.
∀A ∀B (∀x (x ∈ A ↔ x ∈ B) → A = B)
(توضیح: اگر برای هر x، بودنِ در A معادل باشد با بودنِ در B، آنگاه A و B مساوی‌اند.)

2️⃣ اصل جفت‌سازی (Axiom of Pairing)
🔹 بیان ساده: اگر دو شیء دلخواه داشته باشید، می‌توانید مجموعه‌ای بسازید که دقیقاً و فقط شامل همان دو شیء باشد.
🔹 بیان شهودی و دقیق‌تر: این اصل، ابزار اولیه‌ی «ساخت‌وساز» است. به ما مجوز می‌دهد که اشیاء را گرد هم آوریم و یک واحد جدید به نام «مجموعه» بسازیم. نکته‌ی بسیار مهم این است که حتی اگر دو شیء یکسان باشند (مثلاً x و x)، می‌توانیم مجموعه‌ی تک‌عضوی {x} را بسازیم.
نکته کلیدی: در نظریه مجموعه‌ها، خودِ شیء x با مجموعه‌ی تک‌عضوی {x} ماهیتی کاملاً متفاوت دارد (اولی یک شیء است، دومی یک جعبه شامل آن شیء).
🔹 بیان رسمی و ریاضی:
به ازای هر دو شیء x و y، مجموعه‌ای مانند A وجود دارد که اعضای آن دقیقاً x و y هستند.
∀x ∀y ∃A ∀z (z ∈ A ↔ (z = x ∨ z = y))
(توضیح: z عضو A است اگر و تنها اگر z همان x باشد یا z همان y باشد.)

3️⃣ اصل اتحاد یا اجتماع (Axiom of Union)
🔹 بیان ساده: اگر مجموعه‌ای داشته باشید که اعضایش خودشان مجموعه هستند (مجموعه‌ای از مجموعه‌ها)، می‌توانید دیوار بین مجموعه‌های داخلی را برداشته و همه اعضای آن‌ها را در یک مجموعه بزرگ‌تر ادغام کنید.
🔹 بیان شهودی و دقیق‌تر: تصور کنید یک «سبد» دارید که داخلش چند «کیسه» است و درون هر کیسه مقداری میوه وجود دارد. اصل اتحاد به شما اجازه می‌دهد تمام میوه‌هایی را که در کیسه‌های مختلف پخش شده‌اند، مستقیماً در یک سبد بزرگ بریزید. در واقع این اصل، یک لایه از پرانتزها یا آکولادها را حذف می‌کند.
مثال: اگر F = {{a, b}, {b, c, d}, {e}} باشد، اجتماع F که با ⋃F نمایش داده می‌شود، برابر است با {a, b, c, d, e}.
🔹 بیان رسمی و ریاضی:
به ازای هر مجموعه F، مجموعه‌ای مانند U وجود دارد که x عضوی از U است، اگر و تنها اگر x حداقل در یکی از اعضای F باشد.
∀F ∃U ∀x (x ∈ U ↔ ∃A (x ∈ A ∧ A ∈ F))
(توضیح: x وقتی در اجتماع U است که مجموعه‌ای مثل A پیدا شود که هم x داخل آن باشد و هم خودِ A داخل دسته‌ی اصلی F باشد.)
راهنمای نمادها:
∀ : به ازای هر (For all)
∃ : وجود دارد (There exists)
∈ : عضو است در (Element of)
↔ : اگر و تنها اگر (If and only if)
→ : آنگاه (Implies)
∨ : یا (Or)
∧ : و (And)

#نظریه_مجموعه‌ها
Part 2.3
🔴 مفهوم «جانشین» و ساختن اعداد از هیچ

در نظریه مجموعه‌ها، ما اعداد (1، 2، 3 و...) را به عنوان مفاهیم اولیه نمی‌پذیریم، بلکه آن‌ها را می‌سازیم. ابزار ما برای این کار، مفهومی به نام «جانشین» است.
تعریف: جانشینِ x، که با نماد S(x) یا
x⁺
نمایش داده می‌شود، عبارت است از:
x ∪ {x}
❓ چرا این‌گونه تعریف شده است؟
این تعریف، قلبِ ساختار «اعداد طبیعی فون‌نویمان» (Von Neumann ordinals) است. در این دیدگاه شاهکار، هر عدد طبیعی برابر است با مجموعه‌ی تمام اعداد طبیعی کوچک‌تر از خودش.
بیایید ببینیم چگونه اعداد از «مجموعه تهی» متولد می‌شوند:
🔹 عدد 0: با مجموعه‌ی تهی (پوچ) نمایش داده می‌شود.
0 = ∅
🔹 عدد 1: جانشینِ 0 است.
1 = 0 ∪ {0} = ∅ ∪ {∅} = {∅}
(یعنی مجموعه‌ای که تنها عضوش 0 است)
🔹 عدد 2: جانشینِ 1 است.
2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0, 1}
(یعنی مجموعه‌ای که اعضایش 0 و 1 هستند)
🔹 عدد 3: جانشینِ 2 است.
3 = 2 ∪ {2} = {0, 1} ∪ {2} = {0, 1, 2}
(اگر باز کنیم: {∅, {∅}, {∅, {∅}}} )
🔎 آنالیز دقیق فرمول جانشین (تبدیل 2 به 3)
بیایید ببینیم فرمول x ∪ {x} چگونه کار می‌کند تا عدد بعدی را بسازد.
فرض کنید x نماینده عدد 2 باشد. می‌دانیم که:
x = 2 = {0, 1}
حالا «جانشین x» را محاسبه می‌کنیم:
x ∪ {x}
1️⃣ جایگذاری مقدار x:
= {0, 1} ∪ {{0, 1}}
2️⃣ از آنجا که {0, 1} همان عدد 2 است، می‌توانیم بنویسیم:
= {0, 1} ∪ {2}
3️⃣ طبق تعریف اجتماع (Union)، این دو را در یک مجموعه می‌ریزیم:
= {0, 1, 2}
✨ نتیجه: مجموعه‌ی حاصل {0, 1, 2}، طبق تعریف فون‌نویمان، دقیقاً همان عدد 3 است.
💡 خلاصه اینکه:
این ساختار به این دلیل «جانشین» نامیده می‌شود که اگر x نماینده عدد n باشد، عملیات x ∪ {x} مجموعه‌ای را تولید می‌کند که دقیقاً نماینده عدد n+1 است.
این روش هوشمندانه به ما اجازه می‌دهد تمام اعداد طبیعی را بدون نیاز به هیچ مفهوم اضافی، و تنها با استفاده از مجموعه‌ها بسازیم.

✍ Masih mohammadi

📖 ردی که دیده نمی‌شد

🔸در میانه‌ی جنگ جهانی دوم، هر پرواز می‌توانست آخرین پرواز باشد.
بمب‌افکن‌ها از مأموریت برمی‌گشتند؛ اما بعضی با بدنه‌هایی که پر از سوراخ گلوله بود. هواپیماهایی که زنده بودند، اما آثار گلوله روی تنشان باقی مانده بود.
برای فرماندهان، این هواپیماها تنها چیزی بودند که می‌شد دید و لمس کرد.

🔹 آن‌ها نقشه‌ها را باز می‌کردند، عکس‌ها را نگاه می‌کردند و روی بخش‌هایی از هواپیما دست می‌گذاشتند که بیشترین آسیب را دیده بود. تصمیم منطقی به نظر می‌رسید:
همان‌جاهایی را تقویت کنیم که بیشترین گلوله به آن‌ها خورده است.
🔸اما جنگ جای تصمیم‌های ساده نیست.
تقویت بیشتر یعنی وزن بیشتر.
وزن بیشتر یعنی سوخت بیشتر.
و سوخت بیشتر یعنی برد کمتر، یا خطر بیشتر.
هیچ تصمیمی بدون هزینه نبود.

🔹در همین فضای پرتنش، یک ریاضیدان و آمارشناس به نام آبراهام والد ، وارد ماجرا شد. او نه خلبان بود، نه فرمانده، و نه در خط مقدم جنگ. اما چیزی را دید که دیگران از آن عبور کرده بودند.
او به داده‌ها نگاه کرد و یک سؤال پرسید؛ سؤالی که پاسخش سکوت بود.
«این آمار… مربوط به کدام هواپیماهاست؟»
پاسخ واضح بود:
هواپیماهایی که برگشته‌اند.
همین جمله، مسیر را تغییر داد.
🔸والد متوجه شد همه دارند بر اساس داده‌هایی تصمیم می‌گیرند که در اصل ناقص‌اند. این هواپیماها، نماینده‌ی کل ناوگان نبودند؛ بلکه فقط آن‌هایی بودند که از نابودی نجات یافته‌بودند.
پس مسئله این نبود که گلوله‌ها بیشتر به کجا خورده‌اند.
مسئله این بود که گلوله‌ها به کجا خورده‌اند که دیگر اثری از آن هواپیما باقی نمانده.
وقتی از این زاویه نگاه می‌کنی، تصویر تغییر می‌کند.

🔹«جاهایی که روی هواپیماها سوراخ گلوله‌ی کمتری داشتند، اتفاقاً آسیب‌پذیرترین نقاط بودند.
نه به این دلیل که کمتر هدف قرار می‌گرفتند، بلکه چون اگر گلوله‌ای به آن‌ها می‌خورد، هواپیما دیگر فرصتی برای بازگشت نداشت.»
بدنه می‌توانست زخمی شود و دوام بیاورد.
بال‌ها هم همین‌طور.
اما موتور نه.
یک گلوله کافی بود تا همه‌چیز تمام شود.
هواپیماهایی که موتورشان هدف قرار گرفته بود، سقوط کرده بودند؛
نه فقط از آسمان، بلکه از آمار، از گزارش‌ها، و از تصمیم‌گیری‌ها.
این همان خطای بزرگی بود که والد سعی کرد جلویش را بگیرد.
🔸برای توضیح موضوع، مثالی ساده اما تکان‌دهنده مطرح شد. اگر به یک بیمارستان جنگی نگاه کنید، پر است از مجروحانی که تیر به پا یا دستشان خورده. اما تعداد کسانی که گلوله به قفسه‌ سینه‌شان اصابت کرده، بسیار کمتر است. نه به این دلیل که سینه کمتر هدف قرار می‌گیرد، بلکه چون بسیاری از آن‌ها زنده نمانده‌اند که به بیمارستان برسند.
ما همیشه بازماندگان را می‌بینیم.
و همین، بزرگ‌ترین دام قضاوت است.

🔹بر اساس همین نگاه، والد توصیه‌ای داد که در ابتدا عجیب به نظر می‌رسید.
او گفت: زره را به جاهایی اضافه نکنید که بیشترین سوراخ گلوله را دارند؛ زره را به جاهایی اضافه کنید که تقریباً سالم مانده‌اند.
چون اگر آسیب ببینند، فرصتی برای جبران وجود ندارد.
این تصمیم اجرا شد.
و نتیجه‌اش خیلی زود خودش را نشان داد: هواپیماهای بیشتری بازگشتند و خلبانان بیشتری زنده ماندند. این روش آن‌قدر مؤثر بود که سال‌ها بعد، در جنگ‌های بعدی هم همچنان از آن استفاده شد.
🔸شاید هیچ‌وقت نشود دقیق گفت این تصمیم جان چند نفر را نجات داد.
اما یک چیز روشن است: عامل پیروزی در جنگ‌ها، معمولا قهرمانی‌های بزرگ نیست؛ اغلب با تصمیم‌های درستِ کوچک پیروز می‌شوند؛ با چند درصد تلفات کمتر، چند درصد مصرف سوخت پایین‌تر، و چند درصد مدیریت بهتر.

📌درس این داستان فقط مخصوص جنگ نیست:
اگر فقط به ظاهر تکیه کنیم،
ممکن است مهم‌ترین بخش ماجرا، همان جایی باشد که دیده نمی‌شود.

#ریاضیدان
#آماردان
#آبراهام_والد

💎کانال پورتال ریاضیات
🆔 @MathPortal

Gunter Ziegler and Martin Aigner
بیست سال را به جمع آوری زیباترین اثبات ها در ریاضیات پرداختند. کتابی به نام اثبات👇👇👇

💎 کانال پورتال ریاضیات
🆔 @MathPortal

ترجمه فارسی کتاب اثبات
نوشته زیگلر و آیگنر

این کتاب دیگر چاپ نمی‌شود.

💎 کانال پورتال ریاضیات
🆔 @MathPortal

توصیه های تائو برای دانشجویان کارشناسی ارشد و دکتری :

۱- این مهم است که سخت و حرفه ای کار کنید، اما این نیز مهم است که از کار خود لذت ببرید.

۲- رو به جلو فکر کنید تا راهی که پیش رو دارید را درک کنید. از خود سوالات احمقانه بپرسید تا راهی که پشت سر گذاشتید را درک کنید.

۳- در سمینارها و کنفرانس‌ها شرکت کنید حتی اگر به طور مستقیم با شاخه‌ای که شما در آن کار می کنید مرتبط نباشد.

۴- با استاد راهنمایتان مشورت کنید اما خلاقیت خود را هم به کار بگیرید.

۵- پیش از موعد ذهنتان را درگیر یک مساله یا نظریه بزرگ نکنید.

۶- هر کاری که انجام دادید را بنویسید و نوشته هایتان را در دسترس دیگران قرار دهید (مثلا در arxiv ). در این زمینه توصیه‌هایی دارم که چگونه مقاله بنویسیم و چه کار کنیم که مقاله‌مان پذیرش بگیرد.

توصیه های تائو برای محققان پسادکتری :

۱ - شاخه ی خودتان را یاد بگیرید و بازهم یاد بگیرید ولی از این که چیزهایی خارج از شاخه‌ی خودتان را یاد بگیرید، نترسید.

۲ - با محدودیت‌های ابزاری که دارید آشنا بشوید و قدرت ابزارهایی که دیگر ریاضیدانان استفاده می کنند را نیز بشناسید و به ویژه پیوسته فراتر از آنچه اکنون هستید را هدف قرار دهید.

۳ - در تحقیقاتتان انعطاف‌پذیر و صبور باشید.

۴ - اگر فرصتی به شما داده شد مطمئنا سفر کنید و تحقیقاتتان را ارائه دهید ولی به مخاطبانتان توجه کنید چرا که سخنرانی‌ها با مقالات متفاوتند.

۵ - با کارهایتان شکاکانه برخورد کنید و از ریختن آنها به سطل آشغال نترسید.

منبع : harmoniclib

💎 کانال پورتال ریاضیات
🆔 @MathPortal

⭐ 6 ابزار برتر هوش مصنوعی برای پیدا کردن منابع معتبر

اگه می‌خوای خیالت راحت باشه که رفرنسی که میدی کاملاً علمی، معتبر و قابل استناده، این ۶ تا ابزار مثل یک صافیِ هوشمند عمل می‌کنن.

🔢 Perplexity:
گوگلِ آینده! برخلاف چت‌بات‌های معمولی که ممکنه توهم بزنن، Perplexity برای هر جمله‌ای که میگه، یک شماره منبع (Citation) میزنه. روش کلیک می‌کنی و مستقیم میره توی سایت خبری معتبر یا مقاله اصلی. عالی برای تحقیق‌های عمومی و دانشگاهی.

🔢 Gemini:
متصل به اقیانوس اطلاعات. از جمینای بپرس و بعد روی دکمه "G" (Double-check) کلیک کن. این قابلیت جملات تولید شده رو توی سرچ گوگل بررسی می‌کنه و اون‌هایی که منبع معتبر دارن رو سبز می‌کنه. یک روش عالی برای راستی‌آزمایی (Fact-checking).

🔢 Scite ai:
دستگاه دروغ‌سنجِ مقالات! این ابزار انقلابی‌ه. بهت میگه این مقاله‌ای که پیدا کردی، توسط بقیه دانشمندان تایید شده (Supporting) یا رد شده (Contrasting). اینطوری از مقالاتی که بعداً رد شدن استفاده نمی‌کنی و اعتبارت زیر سوال نمیره.

🔢 Consensus:
موتور جستجوی "اجماع علمی". یه سوال بپرس (مثلاً: آیا قهوه برای قلب ضرر داره؟). این هوش مصنوعی هزاران مقاله معتبر رو می‌خونه و بهت میگه: "۷۰٪ مقالات میگن نه، ۳۰٪ میگن بله". منبع تک‌تک جملات رو هم از ژورنال‌های معتبر میاره.

🔢 Connected Papers:
تضمینِ جامعیت. یه مقاله معتبر داری؟ اسمش رو به این ابزار بده تا یه نمودار گرافیکی بهت بده و تمام مقالات مهمِ قبلی و بعدی که به اون ربط دارن رو نشون بده. اینطوری مطمئن میشی که "مقاله‌های مادر" و اصلی رو از قلم ننداختی.

🔢 Elicit:
دستیارِ مرور ادبیات. به جای کلمات کلیدی، سوالت رو بپرس. الیسیت میره فقط توی دیتابیس مقالات علمی (Semantic Scholar) میگرده و جواب رو از دلِ چکیده (Abstract) مقالات معتبر میکشه بیرون.

✍️ جهت تهیه اکانت Gemini Pro به پشتیبانی پیام دهید.

🔹 ما را دنبال کنید:

💎 کانال پورتال ریاضیات
🆔 @MathPortal

باسمه‌تعالی
پرسش و پاسخ
سوال ریاضی(۱۵۴)
چرا لم زرن و اصل خوش ترتیبی  معادلند؟
جواب
قسمت اول

۱.فرض کنید لم زرن برقرار باشد. در این صورت  نشان می دهیم که اصل خوش ترتیبی برقرار است.فرض کنید X یک مجموعه غیر تهی باشد.هرگاه W خانواده تمام زوج های از زیر مجموعه های  بطور جزیی مرتب
(A , <A)
در X باشد.در اینصورت  مجموعه W با رابطه زیر یک مجموعه بطور جزئی مرتب است.
(A ,<A) < (B ,<B)
اگر و تنها اگر
A⊆B
و  رابطه B> توسیع  رابطه A> باشد.

۲.هرگاه
{Aᵢ}ᵢ∈I
یک زنجیر در W باشد، آنگاه
A:=∪Aᵢ
یک کران بالای زنجیر می باشد.لذا طبق فرض، Wدارای عنصر ماکسیمال M است.حال نشان می دهیم که
M=X
در غیر اینصورت وجود دارد
x∈X\M
از اینکهMخوش ترتیب است، می توان
N:=(N,<N)=M∪{x}

را خوش ترتیب نمود( با قرار دادنxبعد ازM).بنابراین 
N>M
و تناقض است.در نتیجه
(X ,<X)
خوش ترتیب است.

باسمه‌تعالی
پرسش و پاسخ
سوال ریاضی (۱۵۵)
چرا لم زرن و اصل خوش ترتیبی معادلند
جواب:
قسمت دوم

۱.فرض کنید اصل خوش‌ ترتیبی برقرار باشد.در این صورت  نشان می دهیم که لم زرن برقرار است.یعنی هرگاه F خانواده ای غیر تهی از زیر مجموعه های X باشد بطوری که هر زنجیر در آن دارای کران بالا باشد.آنگاه نشان می دهیم کهF دارای عنصر ماکسیمال  است.

۲.عنصر مینیمال ، عنصری است که هیچ عنصرِ دیگری در مجموعه از آن کوچک‌تر نباشد.عنصر ماکسیمال عنصری  است که هیچ عنصر ی بزرگ‌تر از آن  نباشد.

۳.مجموعه C یک زنجیر در F است، اگر هر دو عضو A , B در C قابل مقایسه  باشند، یعنی
A⊆B
و یا

B⊆A
همچنین
M∈F
یک کران بالای C است، اگر
A⊆M
برای هر A در C.

۴.طبق فرض ، اصل خوش ترتیبی ، یک رابطه رویF وجود دارد بطوری که F خوش ترتیب است.حال با استفاده از استقرا ترتیبی ، روی مجموعه اعداد ترتیبی، یک زنجیر صعودی C در F می سازیم.

هرگاه .A کوچکترین عضو  F باشد. برای هر عدد ترتیبی α ، چنانچه Aβ ،برای هر β<α، تعریف  شده باشد. آنگاه قرار دهید
Uα:=∪{Aβ :β<α}
از اینکه
{A: Uα⊆A}={A: Aβ⊆A ,β<α}
یک زنجیر درF است، لذا طبق  تعریف F ، دارای کران بالاست.بنابراین مجموعه
{A: Uα⊆A}
غیر تهی است.چنانچه
Aα:=min{A∈F: Uα⊆A}
قرار دهید
C:={Aα}
آنگاه  وجود دارد δ بقسمی که
C={Aβ: β<δ}
زیرا: در غیر اینصورت  زنجیری به طول ترتیبی F ساختیم، که با فرض اینکه هر زنجیر در F کراندار است متناقض است.

چونC یک زنجیر درF است، لذا طبق تعریف  F،زنجیر C دارای کران بالایی، مانند M است.حال نشان می دهیم که M عنصر ماکسیمال  F است. در غیر این صورت عنصر N درF وجود دارد بقسمی  که
N>M
پس N کران بالای C است.بنابراین
Aδ⊆M⊂N
پس N عضوی از
{A:Uδ⊆A}
از طرفی
Aδ:=min{A: Uδ⊆A}
و
Aδ⊂N
اما زنجیر C در Aδ متوقف می شود و این تناقض است. بنابراین F دارای عنصر  ماکسیمال M است.



تهیه و تنظیم
دکتر علی رجالی (دانشگاه اصفهان )
۱۴۰۴/۱۱/۲۱

باسمه‌تعالی

مفهوم «فضا» در ریاضیات چیست؟
جواب:

۱.در  ریاضیات، «فضا» یعنی: یک مجموعه  به همراه یک ساختار  می باشد. ساختار می‌تواند یک یا چند عمل همانند:
عمل جمع ، ضرب اسکالر ، تابع نرم ، ضرب داخلی ،  توپولوژی ، مشتق‌پذیری و انتگرال و الی آخر باشد.

بنابراین ما بی‌نهایت فضای مختلف می‌توانیم بسازیم، چون هر بار می‌شود ساختار جدیدی اضافه کرد.

۲. تعداد فضاها در ریاضیات متناهی نیست؛
اما نکته مهم این است که همه فضاها اساسی نیستند. چند خانواده‌ی اصلی داریم که بقیه فضاها اغلب «زیرمجموعه، تعمیم یا حالت خاص» آن‌ها هستند.

۳. ستون فقرات: فضاهای برداری است.
تقریباً همه فضاهایی که نام برده می شود،  در داشتن ساختار فضای برداری مشترک هستند.
یک فضای برداری فقط جمع و ضرب اسکالر دارد. نه طول دارد، نه زاویه، نه مفهوم همگرایی.

۴. فضای چندجمله‌ای‌ها، فضای توابع پیوسته، و فضای نرم‌دار ، فضای باناخ، فضای هیلبرت، فضای ضرب داخلی، مثال هائی هستند که اعمال آنها روی فضای برداری تعریف شده است.

تهیه و تنظیم
دکتر علی رجالی (دانشگاه اصفهان)
۱۴۰۴/۱۱/۲۱

💎 کانال پورتال ریاضیات
🆔 @MathPortal

♦️بهترین اپلیکیشن‌های برنامه‌ریزی که باعث میشه خیلی رشد کنی و بهترین خودت بشی:

1. Todoist:
🔹اپلیکیشنی برای مدیریت وظایف با امکان تنظیم اولویت‌ها و ایجاد پروژه‌های مختلف.

2. Trello:
🔹ابزاری برای مدیریت پروژه‌ها با استفاده از بردهای بصری و کارت‌ها که برای تیم‌ها و افراد بسیار کاربردی است.

3. Notion:
🔹اپلیکیشنی چندکاره که می‌تواند به عنوان ابزار برنامه‌ریزی، یادداشت‌برداری و مدیریت پروژه‌ها استفاده شود.

4. Google Calendar:
🔹یکی از معروف‌ترین ابزارهای تقویم برای مدیریت جلسات، رویدادها و یادآوری‌ها.

5. Microsoft To Do:
🔹اپلیکیشنی ساده و کارآمد برای مدیریت لیست وظایف روزانه با هماهنگی بین دستگاه‌ها.

6. Habitica:
🔹یک اپلیکیشن گیمیفای‌شده که به شما کمک می‌کند تا عادت‌های خوب را به شکل بازی‌وارانه تقویت کنید.

7. TickTick:
🔹اپلیکیشنی برای مدیریت وظایف و یادآوری‌ها که ویژگی‌های مختلفی مثل ردیابی عادت و زمان‌بندی دارد.

💎کانال پورتال ریاضیات
🆔 @MathPortal

💢جاسوسی علمی

▪سازمان‌های جاسوسی، نخبگان و دانشمندان مورد نیاز خود را از روش های مختلفی شناسایی می‌کنند که عبارتند از:

💢رزومه‌های اینترنتی و سایت‌های کاریابی: بسیاری از دانشمندان و متخصصان علمی، سوابق علمی و پژوهشی خود را در سایت‌های اینترنتی درج می‌کنند و سازمان‌های جاسوسی می‌توانند با یک جست وجوی ساده، متخصصین موردنظر خود را پیدا کنند.

💢همایش‌ها و سمینارهای علمی: همایش‌های علمی، جولانگاه سازمان‌های جاسوسی است. این سازمان‌ها در این همایش‌ها می‌توانند نخبگان کشورها و مهمترین دستاوردهای علمی آنها را شناسایی کنند.

💢تحصیل یا تدریس در دانشگاه‌های خارجی: شناسایی افراد توسط سازمان‌های اطلاعاتی از بین دانشگاهیان موضوع تازه‌ای نیست. در طول تاریخ جاسوسی موارد زیادی دیده شده که دستگاه های جاسوسی با نفوذ در جمع‌های دانشجویی، اشخاص مستعد را شناسایی کرده و برای تبدیل شدن این افراد به جاسوسانی کارآمد، سرمایه‌گذاری می‌کنند.

💢فرصت‌های مطالعاتی یا بورسیه‌های تحصیلی: سازمان‌های جاسوسی در پوشش دانشگاه‌های مشهورجهان برای برخی استادان و دانشجویان دعوت‌نامه ارسال کرده و اعلام می‌کنند که به آنها بورسیه یا فرصت مطالعاتی می‌دهند و همه‌ی هزینه‌های مسافرت و اقامت را تأمین می‌کنند یا اینکه از میان افرادی که خودشان داوطلب بورسیه یا فرصت مطالعاتی شده‌اند، افراد مورد نیاز خود را انتخاب می‌کنند، در حالی‌که اهداف دیگری در سر می‌پرورانند.

💎کانال پورتال ریاضیات
🆔 @MathPortal

🔰 معرفی سایت هایی جهت دانلود رایگان کتاب

🔺www.ketabnak.com
🔺www.urbanity.ir
🔺www.98ia.com
🔺www.takbook.com
🔺www.irpdf.com
🔺www.parsbook.org
🔺www.irebooks.com
🔺www.farsibooks.ir
🔺www.ketabesabz.com
🔺www.readbook.ir

💎کانال پورتال ریاضیات
🆔 @MathPortal

سوال :
استاد سلام . یک سوال دارم لطفا در صورت صلاحدید راهنمایی بفرمایید. ما می دانیم که اگر اشتباه نکرده باشم طبق قضایا زمانی یک تابع انتگرال پذیر است که یا پیوسته باشد یا دارای نقاط ناپیوستگی متناهی در بازه مورد نظر باشد و البته در بقیه نقاط تعریف شده باشد. حالا سوال این است که چرا انتگرال برخی از توابع مثل ایکس به توان ایکس که فقط در نقطه صفر تعریف نشده است را نمیتوان پیدا کرد؟ آیا اینکه میگوییم انتگرال اینگونه توابع را نمیتوان بصورت تحلیلی پیدا کرد بخاطر این است که تا بحال کسی نتوانسته پیدا کند یا نه ما قضایایی داریم که طبق آن قضایا نمیتوان انتگرال برخی از اینگونه موارد را پیدا کرد؟ مثلا مثل تربیع دایره که اثبات می‌شود امکان ندارد!!! اگر قضایایی داریم در این خصوص لطفا بفرمایید که کدام قضیه یا قضایا اشاره دارند که برخی توابع را نمیتوان بصورت تحلیلی حل کرد و باید عددی حل شود. با سپاس

💎 کانال پورتال ریاضیات
🆔 @MathPortal

پاسخ :

سلام . شما در اینجا دو مفهوم متفاوت را باهم یکی گرفته اید.
اولی. انتگرال پذیری است. یک تابع کراندار بر یک بازه ی بسته انتگرال پذیر ریمان است اگر و فقط اگر مجموعه ی نقاط ناپیوستگی اش دارای اندازه ی صفر باشد.

دومی. تابع اولیه است.
منظور از اینکه تابع ‌F یک تابع اولیه ی تابع f است، این است که مشتق F برابر f باشد. ارتباط این دو با انتگرال، در قضایای اساسی حسابان آمده است.
اما، اینکه می گوییم فلان تابع تابع اولیه ندارد، به این معنی نیست که انتگرال پذیر نیست. بلکه، به این معنی است که تابع اولیه برحسب توابع مقدماتی ندارد. این گزاره ها اثبات دارند. یعنی ثابت می شود که فلان تابع دارای تابع اولیه نیست. چگونه؟ در توابع حقیقی، یکی از روش ها استفاده از رویه های ریمان است. در توابع مختلط گاهی اوقات از روش های راحت تری مانند استفاده از مسیرهای مختلف در انتگرال گیری انجام می شود.

💎 کانال پورتال ریاضیات
🆔 @MathPortal

هشتمین جلسه از سلسله وبینارهای فیزیک ریاضی - بیست و نهم بهمن



هشتمین وبینار فیزیک ریاضی به یک سخنرانی تخصصی اختصاص خواهد داشت. دکتر مجتبی نجفی زاده سخنرانی خود را با عنوان « مکانیک پسا-کرولی و گرانش » در روز چهارشنبه بیست و نهم بهمن ساعت هفده به سمع و نظر علاقمندان خواهند رساند. درچکیده این سخنرانی آمده است: In this talk, we begin with a brief overview of ..

💎 کانال پورتال ریاضیات
🆔 @MathPortal

آیا می‌دانید مسائل جایزه هزاره چیستند؟!

👇👇👇
مسائل جایزه هزاره

Millennium Prize Problems

هفت مسئله‌ی بسیار عمیق و حل‌نشده‌ی ریاضی هستند که در سال ۲۰۰۰ توسط

Clay Mathematics Institute

معرفی شدند.

برای حل هر کدام از آن‌ها یک میلیون دلار جایزه تعیین شده است.

این هفت مسئله عبارت‌اند از:

1️⃣ حدس ریمان
Riemann Hypothesis

2️⃣ مسئله P در برابر NP
P vs NP

3️⃣ حدس هاج
Hodge Conjecture

4️⃣ معادلات ناویر–استوکس
Navier–Stokes Existence and Smoothness

5️⃣ حدس بیرچ و سوئینرتون-دایر
Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture

6️⃣ حدس پوانکاره
Poincaré Conjecture
✅ حل شده

(این مسئله توسط Grigori Perelman در سال ۲۰۰۳ حل شد، اما او جایزه و مدال فیلدز را نپذیرفت.)

7️⃣ نظریه یانگ–میلز و شکاف جرمی
Yang–Mills and Mass Gap

💎 کانال پورتال ریاضیات
🆔 @MathPortal

باسمه تعالی
معرفی کانال های مجازی دکتر علی رجالی

🌸  دکتر علی رجالی، استاد تمام دانشگاه اصفهان، علاوه بر آثار علمی در زمینه‌های مذهبی، اخلاقی، و فلسفی فعالیت دارد. علاقه مندان به آثار ایشان ، می توانند آنها را در کانال ها و صفحه های مجازی زیر جستجو نمایند.

🌸   1. وبلاگ‌ها و صفحات شخصی:
الف) کلیه آثار ادبی و اشعار در وبلاگ  شخصی  به آدرس زیر قابل دسترسی و دانلود کردن است.

alirejali.blog.ir
ب)کلیه رباعیات، به صورت موضوعی،همچنین قصائد و مثنویات و غزلیات در وبلاگ زیر قابل دسترس است.
rejali2020.blogfa.com

🌸  ۲. کانال‌های تلگرام:
الف) کلیه رباعیات  اینجانب، بر حسب تاریخ سرودن،  در کانال رباعیات  به آدرس:

@robaeiatrejali

قابل مشاهده است.
ب) در کانال مثنویات  به آدرس:
@rejalimasnavi
کلیه مثنویات اینجانب آمده است.

ج) کتابخانه  تخصصی  آنالیز هارمونیک مجرد  به آدرس:

https://news.1rj.ru/str/harmoniclibrary
اکثر کتاب های ریاضی، بالاخص در زمینه آنالیز هارمونیک مجرد،  قابل دانلود کردن و جستجو است

د) کانال فرهنگي  و اجتماعي  به آدرس:
https://news.1rj.ru/str/alirejali
شامل مطالب گوناگون مذهبی و ادبی و فرهنگی  است.

ه) در کانال زیر تحلیلی در آیات قرآن، احادیث، اشعار مولانا و حافظ آمده است.

https://news.1rj.ru/str/+Q8WnOKDJpGfLnBuu

و)در کانال زیر تفسیر زیارت جامعه و نهج البلاغه  آمده است.

https://news.1rj.ru/str/ziaratjam

🌸   ۳. فایل کلیه مقالات علمی‌و ادبی، کتاب ها و اشعار اینجانب در سایت ریسرچ گیت موجود و قابل دانلود کردن است.

https://www.researchgate.net/profile/Ali-Rejali-5?ev=hdr_xprf

🌸  ۴.در ایتا چهار کانال تخصصی   و تحلیلی، و فرهنگی موجود است.

الف) در کانال زیر  مطالب تحلیلی،  فرهنگی و سیاسی  آمده است.
.https://eitaa.com/farhagejtema

ب) در کانال زیر، کتاب های ریاضی،  بالاخص  آنالیز هارمونیک مجرد  آمده است.


https://eitaa.com/Mathlibrary

ج)  "گروه  ریاضی و کاربردهای آن  " 

https://eitaa.com/joinchat/86443461Cd2810aa4ad

د) کانال ریاضیات و فلسفه و عرفان
https://eitaa.com/alirejali

💎کانال پورتال ریاضیات
🆔 @MathPortal