✅کتاب حل مسئله از طریق مسئله
نوشته لورن سی لارسن
ترجمه علی ساوجی

#معرفی_کتاب
#روز_کتاب_و_کتابخوانی

@Math_jsu

✅حدس گلدباخ

✔️حدس گلدباخ در ریاضیات یکی از قدیمی‌ترین مسائل حل نشده نظریه اعداد است. این حدس می‌گوید:
هر عدد زوج بزرگ‌تر از ۲ را می‌توان به صورت حاصل‌جمع دو عدد اول نوشت.
مثال: ۲۰=۱۷+۳ یا ۱۰=۷+۳ و ۴=۲+۲ و ۱۲=۷+۵.
این مسئله در حدود ۲۶۰ سال پیش توسط یک پزشک آلمانی علاقه مند به اثبات قضیه‌های ریاضی مطرح شد. شهود این پزشک متوجه حقیقت جالبی شده بود و آن هم این بود که هر عدد زوج را می‌توان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت. (البته عدد یک را به این خاطر از مجموعه اعداد اول کنار گذاشتند که صورت مسئله‌های نظریه اعداد کوتاه تر شود. زیرا اگر این کار را نمی‌کردند بایستی در اکثر صورت مسئله‌های مربوط به اعداد اول می‌نوشتند: «به غیر از یک») اکنون به دلیل همین موضوع عدد ۲ از حدس گلدباخ خارج شده‌است. گلدباخ هم عصر با اویلر بود. پس از تلاش فراوان و نا امید شدن از اثبات این حدس، گلدباخ از اویلر خواست تا مسئله را برایش حل کند. اویلر یکی از برجسته ترین شخصیت‌های ریاضی آن زمان بود. نه اویلر و نه هیچیک از شاگردانش نتوانستند این مسئله را حل کنند. تا اینکه حدود ۶ سال پیش یک موسسه انتشاراتی در انگلستان به نام «تونی سیبر» برای کسی که بتواند این مسئله را حل کند مبلغ یک میلیون دلار جایزه تعیین کرد. این مسئله در عین سادگی صورت آن، هنوز حل نشده تا بتواند به عنوان قضیه مطرح شود.
این حدس توسط کامپیوترهای پیشرفته برای اعداد زوج بسیار بسیار بزرگی تست شده و جالب اینست که تا کنون هیچ مثال نقضی برای آن یافت نشده‌است.
گاهی اوقات فاصله شهود انسان تا لحظه اثبات یک مسئله آنقدر زیاد می‌شود که نسلها می‌آیند و می‌روند ولی همچنان حقیقت درباره مسئله‌ای مانند حدس گلد باخ نامشخص می‌ماند.
شاید حل نشدن این مسئله به این خاطر باشد که با اعداد اول سر و کار دارد. زیرا خود مجموعه اعداد اول نیز ساختار جبری معینی ندارد.
در سال ۱۷۴۲ گلدباخ طی نامه‌ای به اویلر می‌نویسد: ” به نظر می‌رسد که هر دو عدد زوج بزرگ‌تر از ۲ را بتوان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت.” این ادعای گلدباخ به حدس گلدباخ شهرت یافت و در این دو نیم قرن اخیر پایه و موضوع تحقیقات گسترده‌ای شده ‌است. هاردی ریاضیدان برجسته انگلیسی تصریح می‌کند که حدس گلدباخ یکی از دشوارترین مسائل حل نشده ریاضیات است.
✔️حدس گلدباخ:
هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از ۲ را می‌توان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت.
محاسبات عددی درستی این حدس را نشان می‌دهند که به طرق متعددی می‌توان اعداد زوج را به صورت مجموع دو عدد اول نوشت. در سال ۱۹۷۳ چن نشان داد که اعداد زوج به اندازه کافی بزرگ را می‌توان به صورت p+m نوشت که در آن p عددی اول و m عددی اول یا حاصل ضرب دو عدد اول است. گلدباخ حدس ضعیفتری زد که هر عدد فرد بزرگ‌تر از ۷ را می‌توان به صورت مجموع سه عدد اول نوشت. هر چند که این مساله هنوز باز است اما وینوگراف در سال ۱۹۳۷ نشان داد که برای همه اعداد فرد مثبت به اندازه کافی بزرگ این قضیه درست است ولی اندازه کافی را تعریف نکرد. شاگرد آن برودزین اثبات کرد که عدد ۳۱۴۳۴۸۹۰۷ به اندازه کافی بزرگ است (این عدد ۶۸۴۶۱۶۹ رقم دارد!). در سال ۲۰۰۲ دو ریاضی دان این عدد را به حدود کاهش دادند. یعنی اگر برای اعداد کوچکتر از آن درستی قضیه چک شود، اثبات کامل می‌شود ولی این کار از عهده کامپیوترهای فعلی برنمی آید.

#اطلاعات_پایه
#تاریخ_ریاضیات
#زیبایی_ریاضیات

@Math_jsu

✅مستند قصه ریاضی(مجموعه سوم مرزهای فضا)

#قسمت_چهارم
#قصه_ریاضی
#زیبایی_ریاضیات

✔️برای همه دوستانتون، آشناهاتون بفرستید، تا با ریاضیات و زیبایی ریاضی بیشتر آشنا شوند.

@Math_jsu

✅فصل ششم کتاب ریاضیات چیست؟

#اندکی_مطالعه
#‌معرفی_کتاب
#زیبایی_ریاضیات

@Math_jsu

❗️چرا فلسفه‌های سه‌گانه مشهور ریاضی مهم هستند؟❗️


✅اهمیت و نقش اساسی براوئر در فلسفۀ ریاضیات این است که او در جایگاه یک ریاضیدان بزرگ به معنای معمول آن، تلاش کرد تا آنجا که می‌تواند ریاضیات را بر اساس ساختمان‌های ذهنی بازسازی کند. برای مثال، او در ارائۀ تصویری شهودگرایانه از اعداد حقیقی موفق شد؛ هر چند این اعداد، نمایشی متناهی ندارند. البته با این روش، همۀ ریاضیاتِ استاندارد حال حاضر به دست نمی‌آید و ایراد اصلی که به کار او گرفته شده، همین است.
در زمینۀ حساب، براوئر مانند کانت معتقد بود که حساب ریشه در شهود ذهن انسان از زمان دارد و پیشینی است. اما در مورد هندسه، به خلافِ کانت و تحت تأثیر پیدایش هندسه‌های نااقلیدسی، چنین اعتقادی نداشت. در مورد هندسه می‌بایست با تکیه بر تجربه، به انتخاب نوع آن دست زد. با توجه به این عدم قطعیت موجود در هندسه، تعبیر هندسی اعداد حقیقی نیز دچار مشکل می‌شود و نیاز است که با استفاده از مصالحی بنیادی تر در ریاضی ساخته شوند. البته هیچ کدام از روش‌های متداول ساختن اعداد حقیقی در ریاضیات، مانند برش‌های ددکیند یا دنباله‌های کُُشی ، از دید براوئر پذیرفتنی نبودند، زیرا یک عدد حقیقی به شکل یک مجموعۀ نامتناهی بالفعل در نظر گرفته می‌شد. او برای این کار از اشیایی که آنها را دنباله‌های انتخاب نامید، استفاده کرد. دنباله‌های انتخاب متشکل از اعداد گویا هستند و می،توانند بدون هیچ قاعدۀ از پیش تعیین شده، با ارادۀ آزاد ذهن ریاضیدان در گذر زمان ساخته شوند. بی‌قاعده بودن این دنباله‌ها باعث می‌شود که بتوان به کمک آنها همۀ اعداد حقیقی را ساخت.
چون در هیچ لحظۀ مشخصی از زمان، به تمامی جمله‌های این دنباله‌ها دسترسی وجود ندارد، عجیب نیست که تساوی آنها اصطلاحاً تصمیم ناپذیر است. برای توجیه این موضوع، براوئر دنباله‌ای از اعداد گویا را برحسب یک مسئلۀ حل نشدۀ ریاضی به گونه‌ای تعریف کرد که همگرا باشد و حد آن تنها زمانی صفر باشد که آن مسئله صادق است. برای مثال، فرض کنید (A(n این ویژگی باشد که 2n+4 مجموع دو عدد اول است. حدس گلدباخ می‌گوید که به ازای هر A(n) ،n صادق است. حال دنبالۀ {αn} را به شکل زیر تعریف می‌کنیم:
αn=1/2^n (∀k ≤ n) A(k)
αn=1/2^k ~A(k) & k ≤ n & (∀m < k) A(m)

این دنباله از اعداد گویا به روشنی همگرا است و لذا یک عدد حقیقی مانند a را مشخص می‌کند. داریم 0=a اگر و تنها اگر (A(n به ازای هر n برقرار باشد. یعنی تشخیص صفر بودن یا نبودن a بستگی به دانستن جواب حدس گلدباخ دارد که دست کم در حال حاضر جواب آن را نمی‌دانیم. پس اگر مانند براوئر، صدق ترکیب فصلی دو گزاره را منوط به داشتن برهانی برای یکی از آن گزاره ها بدانیم، گزارۀ
a = 0 ∨¬( a = 0)

صادق نخواهد بود. به شیوه‌ای مشابه می‌توان نشان داد که هیچ ترتیب کاملی روی اعداد حقیقی وجود ندارد. آنالیز شهودگرایانه به نتایجی منجر می‌شود که با ریاضیات کلاسیک ناسازگار هستند؛ و قربانی می‌کنند؛ مانند اینکه هر تابع تام روی بازۀ یکه (به طور شهودی تعریف شده)، به طور یکنواخت پیوسته است.
شهودگرایی یک پروژۀ تمام شده نیست، زیرا کار ساخت ریاضیات پایانی ندارد. در واقع هنوز برخی ریاضیدانان به توسعۀ هر چه بیشترِ جبر، آنالیز ریاضی و توپولوژی از دیدگاه شهودگرایانه و به طور کلی‌تر ساختگرایانه، مشغول هستند. هیچ کس نمی‌تواند تضمین کند که ریاضیات معاصر حاوی تناقض نیست و روش‌های آن در بررسی ساختارهای نامتناهی، بی عیب ونقص هستند اما کاربردهای ریاضیات، زیبایی و هماهنگی آن باعث می‌شود که ریاضیدانان از آن دست برندارند. البته اگر لازم باشد، بعضی قسمت‌ها را قربانی می‌کنند، مانند رها کردنِ تصور شهودی از مجموعه‌ها و جانشین کردنِ شکل محدودی از آن در رهیافت اصل موضوعی. این، فرآیندی است که پایانی ندارد.

#فلسفه_ریاضی
#قسمت_هفتم
#مقاله
#اطلاعات_پایه
#زیبایی_ریاضیات


@Math_jsu

✅سرزمین ستاره ها، برادران بنوموسی دانشمندان بلندآوازه ایران زمین

مقاله شماره 9

#مقاله
#معرفی_کتاب
#زیبایی_ریاضیات

❗️علاقه‌مندان، معلمان و دانش‌آموزان به ریاضی را به کانال دعوت کنید.

@Math_jsu

با سلام
❗️قابل توجه دانشجویانی که با استاد برزگری درس مبانی‌آنالیز ریاضی دارند، امتحان میان‌ترم به هفته آینده سه‌شنبه موکول شده است.
با تشکر از استاد برزگری

#خبری

@Math_jsu

✅هفتمین سمینار آنالیز هارمونیک و کاربرد ها

✔️۲۷ و ۲۸ دی ماه ۱۳۹۷

✔️دانشگاه شهید بهشتی تهران

✔️اطلاعات بیشتر در عکس

#خبری

@Math_jsu

💢 ۱۷نوامبر روز جهانی فلسفه گرامی باد

مجسمه‌ی برنزی «متفکر» اثر آگوست رودین مجسمه‌ساز فرانسوی، به عنوان نمادی از فلسفه تبدیل شده است...

#فلسفه
#مناسبتی
#‌خبری

@Math_jsu

❗️Why is 0! = 1?

✅ویدیویی جالب برای همه که بدانند چرا صفر فاکتوریل یک هست!!
یک اثبات ساده

#کلیپ_ریاضی
#زیبایی_ریاضیات


@Math_jsu

✅قضیه فیثاغورث بیشتر از هر قضیه دیگری اثبات داره! حدود 370 تا!

✅فیثاغورث همچنین اولین کسی بود که کشف کرد موسیقی رو میشه به زبان ریاضی بیان کرد. او درواقع اولین کسی بود که موسیقی رو نوشت!

#زیبایی_ریاضیات
#تاریخ_ریاضیات

@Math_jsu

با سلام
کلاس حل تمرین مبانی احتمال
فردا ساعت ۱۹-۱۷ در کلاس ۲۳ برگزار می‌شود.

#خبری

@Math_jsu

✅X-O به سبک جدید

مقاله شماره ۱۰

#مقاله
#معرفی_کتاب
#زیبایی_ریاضیات

❗️علاقه‌مندان، معلمان و دانش‌آموزان به ریاضی را به کانال دعوت کنید.

@Math_jsu

❗️چرا فلسفه‌های سه‌گانه مشهور ریاضی مهم هستند؟❗️


✅ ۴.صورتگرایی

✔️توجه به مبانی ریاضیات در اثر هیلبرت دربارۀ مبانی هندسه آشکار است. هیلبرت در فصل اول این کتاب به صورت بندیِ اصول هندسه می‌پردازد و فصل دوم آن به سازگاری و استقلال آن‌ها اختصاص دارد.:به طور کلی، هیلبرت بسیار تحت تأثیر تحولات هندسه در دوران پیش از خود و به ویژه ظهور هندسه‌های نااقلیدسی بوده است. ضمناً هیلبرت از نقص اصلی روش فرگه در تحویل حساب به منطق آگاه بود. ازسوی دیگر، او با محدودیت‌هایی که شهودگرایی بر ریاضیات تحمیل می‌کرد، موافق نبود. هیلبرت برنامه‌ای دیگر برای مستحکم کردن مبانی ریاضیات در سر داشت.
فلسفۀ ریاضی هیلبرت را صورتگرایی می‌نامند اما باید توجه کنیم که فلسفۀ او با صورتگرایی پیش از او متفاوت است. صورتگرایان پیش از هیلبرت، ریاضیات را صرفاً نوعی بازی دقیق اما بی‌معنی چون شطرنج می‌دانستند. اما فلسفۀ ریاضی هیلبرت دیدگاهی هوشمندانه است که عناصری از فلسفه‌های ریاضی دیگر را در هم تنیده است. از یک نظر، این دیدگاهی بسیار طبیعی و نزدیک به عقل سلیم در ریاضیات است. به باور هیلبرت، ریاضیات بخشی واقعی دارد که همان بخش متشکل از اشیاء و ساختارهای متناهی آن است. ریاضیدانان این اشیاء را مستقیماً درمی‌یابند همان‌طور که کانت و شهودگرایان می‌اندیشیدند. اما ریاضیات فقط همین نیست. بخشی فرامتناهی نیز دارد که هیلبرت آن را بخش ایدآل ریاضیات نامیده است. به خلاف نظر منطق گرایان، بخش متناهی ریاضیات که شامل ویژگی‌های مقدماتی اعداد طبیعی است، به طور مستقیم توسط ذهن انسان و شهود او قابل درک است و نیازی به تحویل آن به منطق نیست. این را می‌توان مانند نظر کانت متکی بر شهود زمانی انسان (یک آن و آنِ بعد) دانست. این موضع به نظر شهودگرایان در این زمینه نیز نزدیک است. البته می‌توان تلقی افلاطونی نیز از آن داشت. اما بخش فرامتناهی، دیگر واقعی نیست. آیا این به اعتقاد عموم ریاضیدانان نزدیک نیست؟ اینکه اشیای ریاضیات مقدماتی به نحوی موجود باشند، بسیار به شهود عادی ریاضیدانان نزدیک است اما پذیرفتن این فرض درمورد مثلا فضاهای برداری نامتناهی-بعد و یا اشیای عجیب‌تر دیگری که همه روزه در ریاضیات معرفی می‌شوند، چندان آسان نیست. پس چگونه می‌توان این اشیای فرامتناهی را توجیه کرد؟ در این مورد، هیلبرت مانند صورتگرایان می‌اندیشید و معتقد بود که اشیای نامتناهی را می‌توان نمادهایی صرف در نظر گرفت. اصول موضوع، ویژگی‌های این نمادها و نحوۀ کار با آن‌ها را توصیف می‌کنند. البته این را می‌توان تنها ترفندی برای یافتن پایه‌ای مناسب برای بنای ریاضیات تلقی کرد. حتی یک افلاطون‌گرا ممکن است چنین رهیافتی را سودمند بداند. اما این اصول چه ویژگی‌هایی باید داشته باشند؟ در وهلۀ اول، افزودنِ این اصول باید توسیعی محافظه کارانه از ریاضیات متناهی بسازد، یعنی هیچ ویژگی جدیدی از اشیای متناهی و واقعی ریاضیات را نتوان ثابت کرد. همچنین می‌بایست سازگار باشند. توجه کنید که این لازمۀ صورتگرایی است، زیرا اصول همانند قبل، دیگر بیان کنندۀ ویژگی‌های اشیایی از پیش موجود نیستند. چه وقت می‌توانیم وجود شیئی فرامتناهی را بپذیریم؟ این اشیای ریاضی وجود دارند هرگاه مجموعۀ اصولی که ویژگی‌های آنها را بیان می‌کنند، سازگار باشند. سازگاری، وجود را نتیجه می‌دهد. این مغایر با دیدگاه فرگه است که بنابر آن، سازگاریِ اصول به سبب صادق بودنِ آن‌ها است؛ یعنی هماهنگ بودنِ آن‌ها با ویژگی‌های اشیایی که از قبل وجود دارند.


#فلسفه_ریاضی
#قسمت_هفتم
#مقاله
#اطلاعات_پایه
#زیبایی_ریاضیات

@Math_jsu

✅وقتی که استاد ریاضی، طنازی و خلاقیتش را با آموزش همراه می‌کند!

#طنز

@Math_jsu

با سلام خدمت دانشجویان محترم
کلاس شیمی عمومی ۲ ، استاد یعقوبی دوست ، فردا چهارشنبه ۹۷/۸/۳۰ طبق ساعت خود تشکیل خواهد شد.

#خبری

@Math_jsu

✅چگونه مانند یک ریاضیدان بیاندیشیم؟
نویسنده :کوین هوستون
ترجمه : گروه ریاضی دانشگاه شاهد


#معرفی_کتاب

@Math_jsu

✔️نوربرت وینر:

«ریاضیات، هنر پرسیدن سوالات درست است.»

از ریاضیات لذت ببریم...

#زیبایی_ریاضیات

@Math_jsu

❗️الواح کشف شده در عراق نشان می‌دهد كه منجمان بابلى 1400 سال قبل از اینکه ریاضی دانان اروپایى دیفرانسیل را #اختراع کنند، آنها از ديفرانسيل برای پیدا کردن سیاره مشتری از آن استفاده کرده بودند!

#تاریخ_ریاضیات
#زیبایی_ریاضیات

@Math_jsu

✅مستند قصه ریاضی(مجموعه سوم مرزهای فضا)

#قسمت_پنجم(آخرین قسمت مجموعه سوم)
#قصه_ریاضی
#زیبایی_ریاضیات

✔️برای همه دوستانتون، آشناهاتون بفرستید، تا با ریاضیات و زیبایی ریاضی بیشتر آشنا شوند.

@Math_jsu

❗️کار عجیب هیلبرت در مراسم خاکسپاری یکی از دانشجوهایش..!

#طنز
#تاریخ_ریاضیات

@Math_jsu