در سال 1746 اویلر برای ستایش دالامبر در مورد اثبات قضیه اساسی جبر می نویسد، اما با این ایده که log(-x) = log (x) مخالفت می‌کند.
مکاتبات اویلر و دالامبر در 3 اوت 1746 آغاز شده بود، اما چندین نامه بین این دو، از جمله نامه‌ای که دالامبر نشان می‌دهد که log(-x) = log (x) گم شده است.

رادیکال بی نهایت رامانوجان

"A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics"

یک کتاب درسی محبوب در قرن ۱۹ و اوایل قرن ۲۰. این کتاب توسط دانشجویان و پژوهشگران ریاضی، فیزیک و مهندسی به طور گسترده استفاده می شد. کتاب به دو جلد تقسیم شده است، جلد اول شامل جبر، هندسه، مثلثات و حساب دیفرانسیل است، جلد دوم شامل معادلات دیفرانسیل و سایر مباحث پیشرفته است.

کتاب شامل بسیاری از مثال ها و تمریناتی است که به دانشجویان در فهم مفاهیم کمک می کند.

رامانوجان به طور خاص به روش بررسی کتاب درباره سری های بی نهایت و کسرهای پیوسته علاقه مند بود. او زمان زیادی برای مطالعه نتایج ارائه شده در کتاب صرف کرد و حتی به برخی از آنها خودش رسید. کار رامانوجان درباره سری های بی نهایت و کسرهای پیوسته بعدها یکی از مهمترین مشارکت های او در ریاضیات شد.

با وجود اینکه بیش از یک قرن از سال انتشار آن گذشته است، کتاب  به عنوان یک منبع ارزشمند برای دانشجویان و پژوهشگران در ریاضیات در نظر گرفته می شود.

گوگل AlphaGeometry رو معرفی کرده که توانایی پیدا کردن اثبات برای مسائل پیچیده هندسه را دارد. مسائل هندسه برای اثبات نیاز به اضافه کردن خطوط و کشیدن دایره و... دارد، AlphaGeometry این توانایی را دارد که از بین بی نهایت حالت ممکن مفیدترین را برای حل مسأله اضافه کند.
در تصویر بالا،  سمت چپ مسأله ای که باید اثبات شود، بیان شده است، AlphaGeometry ابتدا از engine  استفاده کرده و در نهایت با تکرار و اضافه کردن خطوط لازم به جواب دست پیدا می کند.
از 30 مسأله ای که به آن داده شده، 25 مسأله در محدودیت زمانی که برای مسائل المپیادی وجود دارد، توسط AlphaGeometry حل شده است. ( در حد gold medalist های المپیاد ریاضی)


https://deepmind.google/discover/blog/alphageometry-an-olympiad-level-ai-system-for-geometry/

ژانویه سال 1913 هاردی ریاضیدان شهیر انگلیسی یک نامه از رامانوجان دریافت کرد. این نامه در واقع اولین نامه رامانوجان به هاردی بود. رامانوجان در این نامه در ابتدا به معرفی خود می پردازد، سپس دو ادعا را به ترتیب درباره دامنه تابع گاما(برای مقادیر منفی و کسری)و توزیع اعداد اول مطرح می کند. رامانوجان در این زمان ۲۳ سال دارد. در نامه رامانوجان در ابتدا می نویسد که تحصیلات دانشگاهی ندارد و خودش مطالعاتی در ریاضیات داشته و به نتایجی در سری های واگرا دست یافته است. در بخش بعد رامانوجان اشاره می کند که تعریفی برای تابع گاما برای مقادیر منفی ارایه داده است. در بخش بعد او به تابع π(x) اشاره می کند، که تعداد اعداد اول کمتر یا مساوی با x را می شمارد.

مریم میرزاخانی ریاضیدان شهیر ایرانی در سال ۲۰۱۴ به خاطر
her outstanding contributions to the dynamics and geometry of Riemann surfaces and their moduli spaces
برنده جایزه فیلدز شد.
مقاله توصیفی پیوست، برای کسانی که مایل اند ایده های اصلی و نتایج مهم کارهای او را ببینند می تواند مفید باشد.
مقاله توسط آقای دکتر ایمان افتخاری نوشته شده است.

آقای Allen Hatcher ریاضیدان و نویسنده کتاب معروف Algebraic topology، جایی در معرفی کتاب برای توپولوژی جبری عبارت بالا رو می نویسه. می گه: « چقدر حیف که کتاب های ریاضی مثل گوگل مپ نیستند که بشه zoom in  و zoom out کرد و به اون سطحی از جزییات که دلت می خواد برسی. یا مثال ها و بحث های فرعی رو بشه حذف یا اضافه کرد.»
این ایده رو برای کتاب های الکترونیکی می شه پیاده کرد.
البته در نهایت توی اون بحث خودش کتاب زیر رو پیشنهاد می ده برای خوندن توپولوژی جبری.
Tammo tom Dieck. Algebraic Topology
کتاب نسبت به کتاب آقای Hatcher
فرمال تر نوشته شده و واقعا یکی از بهترین کتاب ها در این زمینه هست.

یک قضیه در نظریه اعداد هست به اسم Mihăilescu's theorem که به Catalan's conjecture هم معروف هست. که در سال 1844 توسط Eugène Charles Catalan بیان شد و توی سال 2002 و بعد از 158 سال توسط Preda Mihăilescu اثبات شد.
این قضیه بیان می‌کند که اگر x ,y,a,b اعداد طبیعی باشند، معادله زیر تنها یک جواب دارد.
x^a-y^b=1
for a, b > 1, x, y > 0 is x = 3, a = 2, y = 2, b = 3
بیان دیگر: تنها توان های کامل با اختلاف یک، اعداد ۸ و ۹ هستند.
بعضی از مسائل مسابقات ریاضی دبیرستانی در زمینه نظریه اعداد با این قضیه قابل حل هستند. مثلا مسأله زیر:
فرض کنید که p یک عدد اول و a یک عدد طبیعی باشد و b=a^p+1 مربع کامل باشد، ثابت کنید:
p|(b-9)

یه جمله ای هست بین فوتبالی ها که اگر بخوای یه نفر رو که کمی فوتبال می فهمه، به فوتبال علاقه مندش کنی، چی می گی بهش یا چی نشون می دی؟ حالا هر کس شاید نظری داشته باشه و صحنه ای از یه بازی رو نشون بده که تو خاطرش مونده. خیلی ها شاید به گل دنیس برکمپ به نیوکاسل در سال ۲۰۰۲ اشاره کنند.(خودتون سرچ کنید، ارزش دیدن داره)
حالا تو ریاضی اگر بخواهیم کسی رو سر ذوق بیاریم و علاقه مندش کنیم با استفاده از ریاضیات یا کاربردهاش چی داریم که نشون بدیم و چی رو می کنیم؟
شاید هر کس چیزی بگه یا چند تا چیز.
برای من یکی از اون ها Pick's theorem هست. این قضیه فرمول بدست آوردن مساحت یک چند ضلعی ساده که مختصات رئوسش اعداد صحیح هستند رو ارائه می ده. i تعداد نقاط داخل چند ضلعی و b   تعداد راس ها و نقاط صحیح روی ضلعش هستند.
وقتی شکل کمی پیچیده تر می شه، قضیه قشنگ تر می شه. در شکل بعد i=1 و b=96.

A=1+96/2-1=48

از صفحه ایکس خانم Holly Krieger
استاد ریاضی دانشگاه کمبریج
از شاگردان آقای دکتر رامین تکلو بیغش
در کانال یوتیوب زیر هم فعال هستند:
Numberphile

17 اثبات برای نامتناهی بودن تعداد اعداد اول، یک‌اثبات توپولوژیک هم داره که در اثبات های فایل پیوست نیست‌.
بعضی اثبات ها اینقدر ساده به نظر میاند که آدم فکر می کنه چرا به ذهن خودش نرسیده.

تو صفحه اول مقاله بالا به یک مقاله دیگه ارجاع داده، که در اون تا آپدیت 2017، 183 تا اثبات برای نامتناهی بودن اعداد اول ذکر شده (همه اثبات ها در همون مقاله نیست، ولی مراجع مربوط هست).
یه چیزی به ذهنم رسید: تعداد اثبات ها برای نامتناهی بودن اعداد اول، نامتناهی است.😂

ظاهراً به اون سادگی که فکر می کردم، نیست و بحث متفاوت یا معادل بودن دو اثبات مبحث پیچیده ای هست و به بخش های مختلفی از ریاضیات ارتباط پیدا می کنه.
Proof theory
Homotopy theory
Category theory
عکس بالا از وبلاگ آقای Gowers، که برنده مدال فیلدز هم هستند برداشته شده.

ایشون پروفسور
William Gilbert Strang
هستند، استاد ریاضی دانشگاه MIT، که خرداد امسال آخرین lectureشون در دانشگاه MIT رو برگزار کردند و همه جا به عنوان خبر مهم پخش شد. با عناوینی مثل خفن ترین یا بهترین استاد جبر خطی. کتابشون هم در زمینه جبر خطی خیلی معروف هست. البته بگذریم که در زمینه جبر خطی کتاب ها و lecture های خیلی خوبی نوشته شده، حتی بهتر از کتاب استاد. ولی من به شخصه درک نمی کنم که چرا آدم(منظورم دانشجو) باید همچین فردی رو با این شرایط و سن و سال توی کلاس تحمل کنه، وقتی استاد جوان و میانسال هست و می تونه همون درس رو با کیفیت بهتر و... ارایه کنه. البته لازم به توضیح هست که منظورم توانایی های ذهنی و ریاضی ایشون نیست، که به هر حال برای هر کس متفاوت هست. ولی به شخصه ترجیح می دم یه استاد جوون یا میانسال بیاد سر کلاس و تدریس کنه، تا یه پیرمرد
۹۰ ساله که به زور می تونه حرکت کنه.
به هر حال برای استاد طول عمر و عاقبت به خیری آرزو می کنم.

یک‌ مسأله باز و خیلی معروف در نظریه اعداد هست، که به Goldbach's conjecture
معروف هست. این مسأله به رغم تلاش های زیادی که برای اثباتش شده، هنوز حل نشده.
هر عدد زوج بزرگتر از دو رو می شه به صورت جمع دو عدد اول نوشت. مثلا:
4=2+2
6=3+3
8=5+3
10=7+3
و الی آخر.
اگر این حدس درست باشه، یه اثبات دیگه برای بی نهایت بودن تعداد اعداد اول بر مبنای اون می شه نوشت.

فرض کنید که p آخرین عدد اول باشه، در این صورت 2p+2 یک عدد زوج هست که نمی شه اون رو به صورت جمع دو عدد اول نوشت، که متناقض با Goldbach's theorem می شه.
به نظر من از اثبات اقلیدس هم قشنگ تر و جمع و جورتر هست.

یکی از چیزهایی که در مقایسه ریاضیدانان ایرانی و خارجی در نگاه اول جلب توجه می کنه، فعالیت اون ها، یعنی خارجی ها در اینترنت هست. این فعال نبودن در اینترنت چه در نسل قدیم و چه در نسل جدید ریاضیدان های ایرانی دیده می شه. خیلی از ریاضیدان های برجسته دنیا وبلاگ دارند.(حتی چند تا از فیلدز مدالیست ها). در مورد موضوعات مختلف می نویسند. از نوشتن در مورد دروسی که دارند تدریس می کنند، تا واکنش به اتفاقات مهم ریاضی روز دنیا و حتی نوشتن در مورد مثلا مرگ یک ریاضیدان. شاید به نوعی بشه گفت برجسته ترین ریاضیدان زنده دنیا Terry Tao باشه که از سال 2007 داره در وبلاگش می‌نویسه، به صورت نفس گیر و فعال. ایشون اگر هیچ کاری در ریاضیات نمی کرد و فقط همون وبلاگ رو می نوشت، در حد خودش نقشش رو ایفا کرده بود. واقعا بعضی از مباحثی که در این وبلاگ ها و سایت ها مطرح می شه، ارزش بالایی داره.چند مورد بحث ها و سوالاتی که در math overflow مطرح شده در نهایت منجر به نوشتن مقاله تحقیقاتی شده.
شاید یک دلیلش این باشه، که با توجه به فضای حاکم بر ایران هیچکس حاضر نیست چیزی بنویسه مگر اینکه جایی چاپ بشه! تا امتیاز مربوط به اون هم نصیب فرد نویسنده بشه.

ریاضیدان و فیزیک دان آمریکایی آقای Alan Sokal استاد سابق دانشگاه
New York University
سال 1997 کتابی نوشت،‌‌ با عنوان:
Fashionable Nonsense: Postmodern Intellectuals' Abuse of Science
که به فارسی با عنوان «چرندیات پست مدرن...» ترجمه شده. کتاب شرح سوءاستفاده بسیاری از روشنفکران، روانشناسان و فلاسفه قرن بیستم از مفاهیم ریاضی و فیزیک هست. این افراد این کار رو بیشتر با هدف تحت تاثیر قرار دادن، مجاب کردن و حتی مرعوب کردن مخاطب خودشون انجام دادند. در کتاب مثال های خیلی زیادی از این سوءاستفاده ها آورده شده. در تصویر فقط یک نمونه از استفاده نادرست لاکان روانشناس خیلی مشهور فرانسوی آورده شده. لاکان به خاطر سبک نوشتن و دشوار نویسی اش معروف هست. در ایران هم سال ها طرفداران و هواداران خودش رو داشت و داره هنوز. لاکان رو باید نمونه ای از یک شارلاتان تمام عیار دونست. نمونه های دیگه شامل سوءاستفاده از قضیه گودل، نظریه آشوب و... هست.
خود کتاب به انگلیسی به خاطر گستردگی مفاهیم از رشته های مختلف کمی خوندنش سخت هست. ترجمه فارسی بدون اشکال نیست، ولی تا حدی قابل قبول هست.