عدد پی در مثلث پاسکال

امروز تولد
Max August Zorn
هست. به خاطر لم معروفی که به اسمشه، همه احتمالا می شناسندش. به لحاظ ریاضی لم زرن با دو تا گزاره معروف دیگه یعنی اصل انتخاب و اصل خوش ترتیبی معادل هست. جمله ای هست از یه ریاضیدانی که می گه:
"The Axiom of Choice is obviously true, the well-ordering principle obviously false, and who can tell about Zorn's lemma?"
اصل انتخاب چون بدیهی به نظر می رسه می گه درسته، اصل خوش ترتیبی خیلی دور از شهود ما است و به شوخی می گه غلطه، لم زرن حالت بینابینی داره...
شاگرد امیل آرتین بود، هرشتاین معروف هم شاگردش بوده. مثل خیلی از دانشمندان اون زمان به خاطر به قدرت رسیدن نازی ها رفت آمریکا.
خودش از شهرت لمی که اثبات کرده بود خیلی تعجب کرده بود، لمی که در مقاله ای سه صفحه ای یه اثبات برای اون ارائه داد.

درباره ی فشردگی گفتیم و انگیزه های تعریفش اما ببینیم لاکان چگونه تعریفش می کند(!)

راستش من هر چقدر سعی کردم توجیهی برای ارائه ی چنین تعریفی به نام ریاضیدانان پیدا کنم نتوانستم.

از کتاب "چرندیات پست مدرن"
#fun

-تعریف دایره چیه؟
-دایره مجموعه ای از نقاط در یک صفحه است که از یک نقطه به یک فاصله اند.
-اشتباه است! تعریف صحیح اینه: مجموعه تمام نقاط در یک صفحه که از یک نقطه ثابت به یک فاصله اند.

با این سوال و سوالات مشابه
Edward Frenkel
که در اون زمان(سال ۱۹۸۴) ۱۶ سال بیشتر نداشت اجازه تحصیل در دانشگاه دولتی مسکو رو پیدا نکرد.ظاهرا کسی که ازش امتحان می گرفته سوالات خیلی پیشرفته تری هم ازش پرسیده که در حد یه دانش آموز ۱۶ ساله نبوده. این بخشی از سیاست های تبعیض آمیز دولت شوروی علیه اقلیت ها(در اینجا یهودی ها) بود. جرم Edward این بود که پدرش یهودی بود.
اون بعدا به
Kerosinka
رفت، که پناهگاهی برای اقلیت ها بود. موسسه نفت و گاز در شوروی! تمرکزش طبیعتا بر ریاضیات نبود. هر چند Edward بعدها به صورت مخفیانه در کلاس های ریاضیدان هایی مثل گلفاند شرکت کرد و بعدها به آمریکا رفت و به ریاضیدان برجسته ای تبدیل شد.
الان ۵۷ سالشه و استاد ریاضیات در آمریکا است. دکتراش رو از هاروارد و طی یک سال گرفت!
کتاب بالا هم از جمله آثارش هست.
Love and Math....

در بخشی از کتاب به داستان زندگی خودش می پردازه و در بخش های دیگه مباحث پیشرفته ریاضیات رو سعی می کنه به زبان ساده و عامیانه توضیح بده. تقارن، نظریه گروه ها و نظریه نمایش و اعداد و.... همین طور در مورد
Langlands program
که اعتقاد داره نظریه همه چیز در ریاضیات حساب می شه. مفاهیمی مثل گروه های لی هم با زبان ساده بیان می کنه(اون ها رو زبان تقارن در ریاضیات می دونه و با موسیقی مقایسه می کنه)
علاوه بر همه این کارها در ساخت فیلم هم دستی داره و فیلم کوتاه
Rites of Love and Math
از آثارش هست.

یه مکعب مستطیل رو در نظر بگیرید، سه تا عدد مربوط به طول، عرض و ارتفاع اون می شه. سه تا عدد هم قطرهای هر وجه اون. یه قطر کل هم داره که می شه عدد هفتم. اگر همه این اعداد صحیح باشند بهش می گند مکعب کامل.
اینکه همچین چیزی وجود داره یا نه، خودش یه مساله باز هست.
یکی ادعا کرده حل کرده مساله رو، ثابت کرده همچین چیزی وجود نداره(بعیده درست باشه اثباتش)
یه اثباتی ارائه کرده، گفته یه سری فیدبک بگیرم بعد تو arxiv.org هم می ذارم.

https://jamalagbanwa.wordpress.com/2025/05/10/a-divisor-based-proof-on-the-non-existence-of-perfect-cuboids/

تولد خالق www
فقط لیسانس فیزیک داره و برنده جایزه تورینگ هم بوده در سال ۲۰۱۶
Tim Berners-Lee - Wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Tim_Berners-Lee

این مقاله کوتاه هم خیلی جالب بود، اومده یه سری مفاهیم جبر خطی رو به صورت ویژوال آموزش داده. نکته جالب اینه که روشش واقعا داره کار می کنه. مفاهیمی مثل ضرب داخلی و خارجی، trace و دترمینان یه ماتریس و... رو بررسی کرده. مثلا یه قضیه داره
Diagrammatic Cayley-Hamilton Theorem
با کمی نقاشی و خط خطی این قضیه معروف رو بیان کرده.
حال داشتین بخونید.

جناب Edsger Dijkstra یه تعمیم خاصی از قضیه فیثاغورث داره که جالبه:
sgn(α + β – γ) = sgn(a² + b² – c²)
برای اضلاع و زاویه های نظیرشون و sgn هم تابع علامت هست. برای مثلث قائم الزاویه داریم:  α + β = γ، سمت چپ صفر می شه، در نتیجه سمت راست هم باید صفر بشه و داریم:
a² + b² = c²

قضیه ای که فقط در ژاپن درسته!
فرض کنید n یه عدد طبیعی باشه،
rad(n)
رو حاصلضرب اعداد اول متمایز n تعریف می کنیم.
rad(5)=5
rad(8)=2
rad(18)=2*3=6
یه حدسی هست به اسم حدس abc که می گه:
برای ε مثبت، تعداد متناهی عدد طبیعی مثل a,b,c وجود داره که دوبه دو نسبت به هم اول هستند، a+b=c و
c>rad(abc)^(1+ε)
ریاضیدان ژاپنی Shinichi Mochizuki ادعا کرد که این مساله رو حل کرده و اثبات ۵۰۰ صفحه ای براش ارائه کرد. مقاله طولانی، پیچیده و تخصصی بود و عده کمی درک می کردند اون رو. مقاله در یه ژورنال ژاپنی که خودش سردبیر بود چاپ شد! بعدها ایراداتی در اثبات پیدا شد. واکنش Mochizuki نسبت به منتقدها خیلی تند و پرخاشگرانه بود. جز عده معدودی، اون هم عموما در ژاپن که جمعی از مریدانش هستند، بقیه جامعه ریاضی هنوز درستی اثبات رو نپذیرفته.
https://youtu.be/RkBl7WKzzRw?si=H5PGn_1qXQ7LFtEz

🔖 The Napkin Project
شخصی که این پروژه رو راه‌اندازی کرده Evan Chen که داور المپیاد جهانی ریاضیه دکتراش رو در نظریه اعداد از دانشگاه MIT گرفته. خودشم وقتی دبیرستانی بوده توی IMO مدال طلا می‌گیره. یه کتاب هم توی المپیاد در زمینه هندسه اقلیدسی نوشته. حالا این پروژه‌‌ی Napkin رو برای دانش‌‌آموزان دبیرستانی راه انداخته که یکم با ریاضیات پیشرفته‌تر در اون مقطع آشنا بشن. مثل جبر مجرد، توپولوژی، نظریه رسته‌ها. به قول خودش سعی کرده یه light approach باشه برای این مباحث باشه. پیشنهاد می‌کنم که حتما مقدمه‌ی کتاب رو بخونید. بخشی از مقدمه:
"it is not the purpose of this book to train you to solve exercises or write proofs. I just want to show you some interesting math. I place a strong emphasis over explaining why a theorem should be true rather than writing down its proof. This is a recurrent theme of
this book:
Natural explanations supersede proofs."

پ.ن: به نظرم حرکت خوبیه، دکتر ایرد هم بهمون گفته بود که یه سری کشورها در دبیرستان خیلی زودتر از دانشگاه با مفاهیم در جبر و دروس دیگه آشنا می‌شن.

🔗The Napkin Project
1. Starting Out
2. Basic Abstract Algebra
3. Basic Topology
4. Linear Algebra
5. More on Groups
6. Representation Theory
7. Quantum Algorithms
8. Calculus 101
9. Complex Analysis
10. Measure Theory
11. Probability (TO DO)
12. Differential Geometry
13. Riemann Surfaces
14. Algebraic NT I: Rings of Integers
15. Algebraic NT II: Galois and Ramification Theory
16. Algebraic Topology I: Homotopy
17. Category Theory
18. Algebraic Topology II: Homology
19. Algebraic Geometry I: Classical Varieties
20. Algebraic Geometry II: Affine Schemes
21. Set Theory I: ZFC, Ordinals, and Cardinals
22. Set Theory II: Model Theory and Forcing

The Birthplace of AI. An essay about the 1956 “Dartmouth… | by Jørgen Veisdal | Cantor’s Paradise
https://www.cantorsparadise.org/the-birthplace-of-ai-9ab7d4e5fb00/

فیلسوف های استالینیست و مدافعان نظریه مارکسیستی با روند مدرنی که در ریاضیات به وجود اومده بود مخالف بودند. اعتقاد داشتند که ریاضی سازی بدون قید و شرط علوم منجر به ایده آلیسم ریاضیاتی می شه که دشمن سرسخت دیالکتیک ماتریالیستی هست.
اون ها می گفتند که set theory کانتور مبتنی بر یک سری حدس و گمان و مفروضاتی هست که هیچ ارتباطی با دنیای واقعی نداره. با این حال ریاضیدان هایی بودند که از روند مدرن شدن ریاضیات و به خصوص نظریه جدید مجموعه ها استقبال کردند و اون رو امیدبخش ترین شاخه ریاضیات می دونستند. استالین در جنگی بی امان علیه آزادی بیان در علم بود ولی ریاضیدان های شوروی دست آوردهای بی نظیری داشتند.
اقدامات استالین جامعه ریاضی رو هم بی نصیب نذاشت، از جمله چهره های شاخص و طرفدار عملی نظریه مارکسیستی ارنست کولمان بود. یک مهاجر اهل چک و فیلسوف علم و سخنگوی مارکسیست استالین. صراحتا اعلام کرده بود که:
"حزبی بودن ریاضیات درست مثل فلسفه بدون هیچ قید و شرطی الزامی است. ریاضیات باید نه فقط از نظر ظاهری بلکه در تمام ساختار و محتواش به سوسیالیست پیوند بخورد، این علم نمی تواند جدا از سیاست های حزب باشد."
شوروی در اون دوران و قبل ترش گاوس ها و کلاین های خودش رو نداشت و مدت ها بود که ریاضیات از علوم طبیعی جدا شده بود. حتی یک ریاضیدان برجسته هم نداشتند که همزمان در فیزیک هم فعال باشه.
حتی شاخه ای مثل احتمال هم از انتقادهای گروه حاکم در امان نموند. اون ها اعتقاد داشتند که نوسانات متغیرهای تصادفی بیشتر یادآور رفتار آنارشیستی هست تا مطابق با برنامه های منظم و از قبل پیش بینی شده نظام شوروی!
ادامه دارد...

معادل های اصل انتخاب در توپولوژی

مقاله آقای William P. Thurston، درباره مفهوم اثبات در ریاضیات. در اون به نکات مختلفی در مورد اثبات و همین طور بعضی تجربه های شخصی خودش اشاره می کنه. یه نکته ای که می گه اینه که اثبات ها عموما ربطی به شهود ندارند و دنبال تایید حقیقت هستند و این فاصله رو یکی از موانع آموزش ریاضی می دونه. می گه اثبات غیررسمی برای ارتباط بین ریاضیدان ها است(چیزی که از دید ماشین ممکنه ناقص باشه)

می گه در عصر AI دیگه اون رویکرد سنتی در مورد تمرین جواب نمی ده. شاید بهتر باشه تمریناتی به دانش آموز یا دانشجو داده بشه که جواب درست و غلط یا یکسان نداره.
واضح است برای کسی که واقعا به رشته اش یا درسی که می خونه علاقه داره بود یا نبود AI خیلی تاثیر نمی ذاره. بحث بر نحوه ارزیابی به طور کلی هست.
https://eedi.substack.com/p/is-maths-homework-dead

طرف این رو گذاشته نتیجه گرفته که در آمریکا نسل Z کمتر نوشیدنی الکلی مصرف می کنه. از سمت چپ نسل های مختلف هستند تا می رسه به نسل Z.
بعد انواع و اقسام تحلیل های مختلف سر این موضوع انجام دادند، یکی به درستی اشاره کرده که نمودار و تحلیل های بعدش دوزار هم نمیارزه. چون نسل Z بخش زیادی شون درآمد ندارند، به سن قانونی نرسیدند(در آمریکا ۲۱ سال ظاهرا)، مقایسه هزینه کل اشتباه است و باید هزینه سرانه رو در نظر می گرفت(هزینه کل به تعداد افراد واجد شرایط) و اینکه باید گروه سنی مشابه در هر نسل مقایسه بشه(اون نسل ها در این سن و سال چقدر الکل مصرف می کردند؟)
اقتصاددان معروف
Aaron Levenstein
جمله ای داره در مورد آمار که خودتون بخونید. ولی جمله ای دیگه هست که می گه: اعداد رو شکنجه کن تا به هر چیزی که می خوای اعتراف کنند.
یه نمودار و این همه تفسیر...