این مقاله کوتاه هم خیلی جالب بود، اومده یه سری مفاهیم جبر خطی رو به صورت ویژوال آموزش داده. نکته جالب اینه که روشش واقعا داره کار می کنه. مفاهیمی مثل ضرب داخلی و خارجی، trace و دترمینان یه ماتریس و... رو بررسی کرده. مثلا یه قضیه داره
Diagrammatic Cayley-Hamilton Theorem
با کمی نقاشی و خط خطی این قضیه معروف رو بیان کرده.
حال داشتین بخونید.

جناب Edsger Dijkstra یه تعمیم خاصی از قضیه فیثاغورث داره که جالبه:
sgn(α + β – γ) = sgn(a² + b² – c²)
برای اضلاع و زاویه های نظیرشون و sgn هم تابع علامت هست. برای مثلث قائم الزاویه داریم:  α + β = γ، سمت چپ صفر می شه، در نتیجه سمت راست هم باید صفر بشه و داریم:
a² + b² = c²

قضیه ای که فقط در ژاپن درسته!
فرض کنید n یه عدد طبیعی باشه،
rad(n)
رو حاصلضرب اعداد اول متمایز n تعریف می کنیم.
rad(5)=5
rad(8)=2
rad(18)=2*3=6
یه حدسی هست به اسم حدس abc که می گه:
برای ε مثبت، تعداد متناهی عدد طبیعی مثل a,b,c وجود داره که دوبه دو نسبت به هم اول هستند، a+b=c و
c>rad(abc)^(1+ε)
ریاضیدان ژاپنی Shinichi Mochizuki ادعا کرد که این مساله رو حل کرده و اثبات ۵۰۰ صفحه ای براش ارائه کرد. مقاله طولانی، پیچیده و تخصصی بود و عده کمی درک می کردند اون رو. مقاله در یه ژورنال ژاپنی که خودش سردبیر بود چاپ شد! بعدها ایراداتی در اثبات پیدا شد. واکنش Mochizuki نسبت به منتقدها خیلی تند و پرخاشگرانه بود. جز عده معدودی، اون هم عموما در ژاپن که جمعی از مریدانش هستند، بقیه جامعه ریاضی هنوز درستی اثبات رو نپذیرفته.
https://youtu.be/RkBl7WKzzRw?si=H5PGn_1qXQ7LFtEz

🔖 The Napkin Project
شخصی که این پروژه رو راه‌اندازی کرده Evan Chen که داور المپیاد جهانی ریاضیه دکتراش رو در نظریه اعداد از دانشگاه MIT گرفته. خودشم وقتی دبیرستانی بوده توی IMO مدال طلا می‌گیره. یه کتاب هم توی المپیاد در زمینه هندسه اقلیدسی نوشته. حالا این پروژه‌‌ی Napkin رو برای دانش‌‌آموزان دبیرستانی راه انداخته که یکم با ریاضیات پیشرفته‌تر در اون مقطع آشنا بشن. مثل جبر مجرد، توپولوژی، نظریه رسته‌ها. به قول خودش سعی کرده یه light approach باشه برای این مباحث باشه. پیشنهاد می‌کنم که حتما مقدمه‌ی کتاب رو بخونید. بخشی از مقدمه:
"it is not the purpose of this book to train you to solve exercises or write proofs. I just want to show you some interesting math. I place a strong emphasis over explaining why a theorem should be true rather than writing down its proof. This is a recurrent theme of
this book:
Natural explanations supersede proofs."

پ.ن: به نظرم حرکت خوبیه، دکتر ایرد هم بهمون گفته بود که یه سری کشورها در دبیرستان خیلی زودتر از دانشگاه با مفاهیم در جبر و دروس دیگه آشنا می‌شن.

🔗The Napkin Project
1. Starting Out
2. Basic Abstract Algebra
3. Basic Topology
4. Linear Algebra
5. More on Groups
6. Representation Theory
7. Quantum Algorithms
8. Calculus 101
9. Complex Analysis
10. Measure Theory
11. Probability (TO DO)
12. Differential Geometry
13. Riemann Surfaces
14. Algebraic NT I: Rings of Integers
15. Algebraic NT II: Galois and Ramification Theory
16. Algebraic Topology I: Homotopy
17. Category Theory
18. Algebraic Topology II: Homology
19. Algebraic Geometry I: Classical Varieties
20. Algebraic Geometry II: Affine Schemes
21. Set Theory I: ZFC, Ordinals, and Cardinals
22. Set Theory II: Model Theory and Forcing

The Birthplace of AI. An essay about the 1956 “Dartmouth… | by Jørgen Veisdal | Cantor’s Paradise
https://www.cantorsparadise.org/the-birthplace-of-ai-9ab7d4e5fb00/

فیلسوف های استالینیست و مدافعان نظریه مارکسیستی با روند مدرنی که در ریاضیات به وجود اومده بود مخالف بودند. اعتقاد داشتند که ریاضی سازی بدون قید و شرط علوم منجر به ایده آلیسم ریاضیاتی می شه که دشمن سرسخت دیالکتیک ماتریالیستی هست.
اون ها می گفتند که set theory کانتور مبتنی بر یک سری حدس و گمان و مفروضاتی هست که هیچ ارتباطی با دنیای واقعی نداره. با این حال ریاضیدان هایی بودند که از روند مدرن شدن ریاضیات و به خصوص نظریه جدید مجموعه ها استقبال کردند و اون رو امیدبخش ترین شاخه ریاضیات می دونستند. استالین در جنگی بی امان علیه آزادی بیان در علم بود ولی ریاضیدان های شوروی دست آوردهای بی نظیری داشتند.
اقدامات استالین جامعه ریاضی رو هم بی نصیب نذاشت، از جمله چهره های شاخص و طرفدار عملی نظریه مارکسیستی ارنست کولمان بود. یک مهاجر اهل چک و فیلسوف علم و سخنگوی مارکسیست استالین. صراحتا اعلام کرده بود که:
"حزبی بودن ریاضیات درست مثل فلسفه بدون هیچ قید و شرطی الزامی است. ریاضیات باید نه فقط از نظر ظاهری بلکه در تمام ساختار و محتواش به سوسیالیست پیوند بخورد، این علم نمی تواند جدا از سیاست های حزب باشد."
شوروی در اون دوران و قبل ترش گاوس ها و کلاین های خودش رو نداشت و مدت ها بود که ریاضیات از علوم طبیعی جدا شده بود. حتی یک ریاضیدان برجسته هم نداشتند که همزمان در فیزیک هم فعال باشه.
حتی شاخه ای مثل احتمال هم از انتقادهای گروه حاکم در امان نموند. اون ها اعتقاد داشتند که نوسانات متغیرهای تصادفی بیشتر یادآور رفتار آنارشیستی هست تا مطابق با برنامه های منظم و از قبل پیش بینی شده نظام شوروی!
ادامه دارد...

معادل های اصل انتخاب در توپولوژی

مقاله آقای William P. Thurston، درباره مفهوم اثبات در ریاضیات. در اون به نکات مختلفی در مورد اثبات و همین طور بعضی تجربه های شخصی خودش اشاره می کنه. یه نکته ای که می گه اینه که اثبات ها عموما ربطی به شهود ندارند و دنبال تایید حقیقت هستند و این فاصله رو یکی از موانع آموزش ریاضی می دونه. می گه اثبات غیررسمی برای ارتباط بین ریاضیدان ها است(چیزی که از دید ماشین ممکنه ناقص باشه)

می گه در عصر AI دیگه اون رویکرد سنتی در مورد تمرین جواب نمی ده. شاید بهتر باشه تمریناتی به دانش آموز یا دانشجو داده بشه که جواب درست و غلط یا یکسان نداره.
واضح است برای کسی که واقعا به رشته اش یا درسی که می خونه علاقه داره بود یا نبود AI خیلی تاثیر نمی ذاره. بحث بر نحوه ارزیابی به طور کلی هست.
https://eedi.substack.com/p/is-maths-homework-dead

طرف این رو گذاشته نتیجه گرفته که در آمریکا نسل Z کمتر نوشیدنی الکلی مصرف می کنه. از سمت چپ نسل های مختلف هستند تا می رسه به نسل Z.
بعد انواع و اقسام تحلیل های مختلف سر این موضوع انجام دادند، یکی به درستی اشاره کرده که نمودار و تحلیل های بعدش دوزار هم نمیارزه. چون نسل Z بخش زیادی شون درآمد ندارند، به سن قانونی نرسیدند(در آمریکا ۲۱ سال ظاهرا)، مقایسه هزینه کل اشتباه است و باید هزینه سرانه رو در نظر می گرفت(هزینه کل به تعداد افراد واجد شرایط) و اینکه باید گروه سنی مشابه در هر نسل مقایسه بشه(اون نسل ها در این سن و سال چقدر الکل مصرف می کردند؟)
اقتصاددان معروف
Aaron Levenstein
جمله ای داره در مورد آمار که خودتون بخونید. ولی جمله ای دیگه هست که می گه: اعداد رو شکنجه کن تا به هر چیزی که می خوای اعتراف کنند.
یه نمودار و این همه تفسیر...

مقاله ای در Scientific American منتشر می شه و ایده مرگ اثبات رو مطرح می کنه. حتی صحبت از این می شه که اثبات های تصویری و ویدئویی جایگزین اثبات دقیق بشه. پیشنهاد می دند که ریاضیات رو به دو بخش تقسیم کنیم، ریاضیات نظری و ریاضیات دقیق. اولی شامل حدس ها و اثبات های غیر دقیق هست. Michael Atiyah معتقد بود در مراحل اولیه باید اجازه بدیم که از روش اول استفاده بشه. خودش تعبیر استایل یا روش دزد دریایی رو به کار می بره.(در ایتالیا اوائل قرن گذشته خیلی از نتایج در هندسه جبری بدون اثبات دقیق ارائه شد و بعدا مشخص شد نادرست بوده بعضی ها و به هندسه جبری ایتالیایی معروف شد، بعدها کسانی مثل زاریسکی سروسامان دادند به این وضع) در مقاله قبلی William Thurston کم و بیش از همین دیدگاه اثبات غیر رسمی دفاع می کنه. طرفداران این دیدگاه می گند این روش به ریاضیدان ها آزادی می ده.
مک لین در این مقاله به طعنه می گه: دزد دریایی کارش دزدیه! و این آسون گیری رو در ریاضیات نمی پسنده. می گه ریاضیات واقعی فقط با اثبات دقیق به دست میاد.

کوتاه و مختصر:
امروز تولد جان نش هست، رساله دکتراش فقط ۲۶ صفحه است و دو تا رفرنس بیشتر نداره(یکی از اون ها هم مال خودشه) کل مقالاتش هم ظاهرا ۲۳ تا بیشتر نبوده.

مساله برای فکر کردن

مصاحبه با
Michael Atiyah and Isadore Singer
بخشی از مصاحبه...درباره اهمیت اثبات های مختلف برای یک قضیه