یه مسأله نه چندان سخت برای فکر کردن:
فرض کنید هفت تا عدد صحیح داریم، مثلا a1 تا a7. حالا ترتیب اون ها رو عوض می کنیم یا به اصطلاح rearrangement می کنیمشون. اسم شون رو می ذاریم b1 تا b7.ثابت کنید حاصل زیر همیشه زوج می شه:
(a1-b1)(a2-b2)...(a7-b7)

این شکل یک cross-quadrilateral هست، چهارضلعی انواع مختلفی داره، ولی در هندسه دبیرستان فقط به شکل ساده اون اشاره می شه، می تونه convex یا concave باشه یا انواع مختلف دیگه.
جواب بله است.

برای اینکه زوج باشه، باید یکی از اون عوامل زوج بشه. فرض می کنیم این طور نباشه، یعنی همه فرد باشند. حالا اون ها رو جمع می کنیم با هم، منتها یه کمی تغییر می دیم نحوه نوشتن اون ها رو:
(a1-b1)+(a2-b2)+...+(a7-b7)
=(a1+a2+...+a7)-(b1+b2+...+b7)
چون پرانتز دوم rearrangement پرانتز اول هست، جمع بالا صفر می شه، از طرفی مجموع بالا چون جمع اعداد فرد هست، فرد می شه، که تناقضه.

یه مسأله برای فکر کردن: فرض کنید a و b اعداد گویا باشند و
√a+√b+√ab
هم گویا باشه، ثابت کنید a√ و b√ هم گویا هستند.

یه مجله ریاضی چند سال پیش این نقشه رو گذاشته بود که نشون می ده از کجاها براش مسأله پیشنهادی فرستادند برای حل و از کجاها حل سوالات شماره قبل رو فرستادند. (solvers and proposers).
فکر کنم تقریبا می شد بدون دیدن نقشه هم تا حدی حدس زد این وضع رو، غیر از اون کشور توی آمریکای جنوبی، که عمرا کسی حدس می زد.

یه مسأله برای فکر کردن: ده تا کیسه داریم، تو هر کدوم ده تا گوی هست. توی نه تا، همه گوی ها ده گرمی و تو یکی همه گوی ها نه گرمی. یه ترازوی دیجیتال هم داریم. فقط با یک بار استفاده از ترازو اون کیسه که ده تا گوی نه گرمی داره رو پیدا کنید.

الان دیدم اون گوشه سمت چپ یا غرب آفریقا هم کمی رنگی شده، اونجا کجاست؟ چی کار می کنند اونا؟ مسأله ریاضی طرح یا حل می کنند؟

حرف نقشه شد، یه قضیه هست در ریاضی، معروف به four color theorem، می گه هر نقشه ای رو می شه فقط با چهار رنگ طوری رنگ کرد که ناحیه های مجاور هم رنگ نباشند. قضیه خیلی معروفی هست و بعد سال ها اثبات شده. تاریخ جالبی هم داره.
حال داشتید بخونید خودتون.
حال داشتم می نویسم درباره اش.

کیسه ها رو شماره گذاری می کنیم، از یک تا ده. از کیسه اول یکی، از کیسه دوم دوتا...به همین ترتیب از کیسه دهم، ده تا گوی برمی داریم. همه رو می ذاریم روی ترازو. اگر اون کیسه، کیسه اول باشه، عددی که روی ترازو نشون می ده مضربی از ده به اضافه ۹ می شه. اگر اون کیسه، کیسه دوم باشه، عددی که ترازو نشون می ده، مضربی از ده به اضافه ۱۸ می شه و به همین ترتیب...

یک قضیه در ریاضی هست به اسم
Bertrand's postulate
که در سال 1845 توسط Bertrand حدس زده شد و تا n سه میلیون هم توسط خودش بررسی شد و هفت سال بعد توسط Chebyshev اثبات شد. بعدها هم خیلی ها اثبات های مختلفی براش ارایه کردند. از جمله اردوش، که اتفاقا اولین مقاله ای بود که نوشت. ضمنا اثبات اردوش مثل بعضی دیگه از کارها و اثبات هاش elementary بود، یعنی از روش های پیشرفته ریاضی استفاده نکرده بود. این قضیه شکل ها و بیان های مختلفی داره، معروف ترینش اینه که:
برای n بزرگتر از 3، حداقل یه عدد اول مثل p توی بازه (n,2n-2) وجود داره.
یه شکل دیگه: برای هر n بزرگتر از یک، حداقل یه عدد اول توی بازه (n,2n) هست.
به کمک اون می شه مسأله های متنوعی رو در نظریه اعداد حل کرد. یکی اش این:
برای هر عدد طبیعی مثل t، ثابت کنید حداقل سه عدد اول t رقمی وجود داره.

ظاهراً در مواردی همون هم کارساز نبوده و طرف یادش رفته علامت رو کدوم طرف باید بذاره.
توی متن می گه یکی از دانشجوها ازش پرسیده، یادش نمیاد که کروکودیل کدوم رو می خوره، بزرگه یا کوچیکه؟

امشب لیله الپی هست، چون فردا چهاردهم March یا همون 3.14 می شه و به روز جهانی عدد پی معروفه. در مورد عدد پی قبلا چند تا مطلب گذاشتم تو کانال. یکی اینجا، یکی اینجا، یکی اینجا و یکی هم اینجا.
یک قضیه در نظریه اعداد هست که می گه احتمال اینکه دو عدد نسبت به هم اول باشند برابر است با
6/π^2.
در تصویر بالا یه اثبات نسبتا جمع و جوری براش ارایه شده.

باز هم به مناسبت روز π:
یه مسأله ای هست در ریاضی معروف به مسأله سوزن بوفون. می گه فرض کنید تعدادی خط موازی روی صفحه ای دارید که فاصله شون از هم مثلا a هست و بعد یه سوزن به طول l رو می ندازیم تو اون صفحه(با فرض l کوچکتر از a). احتمال اینکه این سوزن یکی از اون خطوط موازی رو قطع کنه می شه:
p=2l/πa
باز هم π.
حالا جالبتر چیه؟
وقتی این آزمایش رو به دفعات زیاد انجام بدیم، می تونیم یه مقدار تجربی برای p پیدا کنیم و بعد از فرمول بالا مقدار π رو تقریب بزنیم.
در سال ۱۹۰۱ یکی این کار رو کرد و با پرتاب سوزن به تعداد 3408 مرتبه یه تقریب برای π بدست آورد که تا 6 رقم درست بود!
برای خود من کمی باورش سخته که با پرتاب سوزن طرف تونسته π رو تقریب بزنه! ولی به هر حال انجام داده، اون هم صد سال پیش.
بعد هموطن می گه π رو محاسبه کرده شده 3.15.

اگر غربی ها امروز، یعنی تاریخ 3.14 براشون روز پی هست، ما خودمون فردا 3.15مذگان داریم!

این هم جالب بود، البته این جور موارد همیشه بوده.

چند سال پیش دوتا استاد ایرانی یه مقاله می فرستند به یه مجله نسبتا خفن در رشته خودشون، بعد اسم یه آدم خیلی خفن در اون حوزه رو به عنوان نویسنده همکار اضافه می کنند.(طرف روحش هم خبر نداشته، این کار رو احتمالا با نیت بررسی سریع تر مقاله، یا مرعوب کردن مسئولین مجله و ... انجام دادند) در زمان بررسی مقاله و در حین رفت و برگشت هایی که بین داور(ها) و نویسنده(ها) پیش میاد، اعلام می کنند که اون آدم منصرف شده از ادامه همکاری. چون یه آدرس gmail از اون فرد داده بودند، مسئولین مجله شک می کنند و به ایمیل دانشگاهی اون فرد ایمیل می زنند و موضوع رو پیگیر می شند و کل قضیه لو می ره و در شماره بعدی مجله، کل این ماجرا رو کامل شرح می دند! و

مسأله برای فکر کردن:
ثابت کنید رابطه بالا برای هر عدد طبیعی n برقرار هست.
توضیح: سمت راست مشخصه که چیه، سعی کنید یه جور دیگه اون رو بشمارید.
همون روش combinatorial proof.

اگر a و b هر دو صفر باشند، خب بدیهی می شه. فرض می کنیم هر دو مثبت اند. اون عبارت سه جمله ای از رادیکال ها رو r می گیریم،
r=√a+√b+√ab
داریم:
√a+√ab=r-√b
دو طرف رو به توان دو می رسانیم و
√b
رو بدست میاریم‌ از اون. صورت و مخرج کسر دو عدد طبیعی می شه، پس b√ گویا می شه. مشابه اش برای a√ هم برقرار هست.

برخی از پرسش هایی که مردم اغلب می پرسند
۱.آیا راست است که ۳۰ سالگی پایان عمر حرفه ای ریاضیدانان است؟
این افسانه که اغلب مردم باورش دارند، ریشه در درک نادرست از ماهیت توانایی ریاضیاتی دارد. مردم دوست دارند فکر کنند که ریاضیدانان نابغه اند، و نبوغ خود کیفیتی بس رمزآلود است که اندک کسانی با آن زاده می شوند و دیگران کوچکترین شانسی برای کسب آن ندارند.
۲.چرا تعداد زنان ریاضیدان انگشت شمار است؟
معمولا همه از این پرسش پرهیز می کنند، ...
یک ایده پذیرفتنی تر این است که عوامل اجتماعی در این مورد موثرند: در حالی که پسران ممکن است به توانایی خود در ریاضیات فخر کنند، می توان تصور کرد که دختران از برتری داشتن در کاری که عموما مردانه انگاشته می شود شرمسار شوند.
۳.آیا ریاضیات و موسیقی با هم ارتباط دارند؟
با وجود اینکه خیلی از ریاضیدانان کاملا با موسیقی بیگانه اند و کمتر موسیقیدانی به ریاضیات علاقه دارد، همه فکر می کنند که این دو با هم ارتباط دارند.
۴.چرا بسیاری از مردم با افتخار از ریاضیات بدشان می آید؟
معمولا زیاد نمی شنویم کسی بگوید که هیچ وقت از زیست شناسی یا از ادبیات خوشش نیامده است. مطمئنا همه عاشق این رشته ها نیستند، ولی آنها که این رشته ها را دوست ندارند، به خوبی درک می کنند که کسانی دیگر هستند که این رشته ها را دوست دارند. اما برعکس، به نظر می رسد که ریاضیات، و موضوعاتی مانند فیزیک که محتوای ریاضی بالایی دارند، نه فقط بی تفاوتی، بلکه انزجار واقعی در مردم برمی انگیزد.
۵.آیا ریاضیدانان در کارشان از کامپیوتر استفاده می کنند؟
پاسخ مختصر این است که ریاضیدانان از کامپیوتر استفاده نمی کنند، یا دست کم به طور بنیادی استفاده نمی کنند.
۶.پژوهش در ریاضیات چگونه ممکن است؟
اگر رازی در مورد پژوهش ریاضی وجود داشته باشد، این نیست که مسائل دشوار وجود دارند، - در واقع، ابداع مسائل بسیار بسیار دشوار کار سختی نیست - ...
۷.آیا هیچ گاه غیرحرفه ای ها توانسته اند مسائل ریاضی را حل کنند؟
ساده ترین پاسخ به این پرسش که کمتر از هر پاسخی گمراه کننده باشد، یک «نه» سرراست است.
۸. چرا ریاضیدانان برخی قضیه ها و برهان ها را زیبا می دانند؟
در حالی که ممکن است ریاضیدانی را که برهانی زیبا را کشف کرده است، بسیار تحسین کنیم، داستان انسانی پشت این کشف نهایتا رنگ می بازند و در نهایت، این خود ریاضیات است که ما را مشعوف می کند.