امروز
24-07-25
هست، که در رابطه
24^2+7^2 = 25^2
صدق می کنه و یه
Pythagorean triple
محسوب می شه.
کتاب بالا خواص جالب و کمتر توجه شده اعداد رو بررسی می کنه. از انواع دنباله های معروف گرفته تا خواص جالب یه سری اعداد خاص و حتی عدد شیطان یعنی ۶۶۶. مثلا
666 =6+6+6+6³+6³+6³
یا اگر ۱۴۴ رقم بعد از اعشار عدد پی رو جمع کنید می شه ۶۶۶.

داستان های هزار و یک شب که به
Arabian Night
هم معروفه عدد خودش رو داره. عددی که اگر فاکتوریلش رو حساب کنیم ۱۰۰۱ رقم داشته باشه. بدون داشتن کامپیوتر متوجه شدند که ۴۵۰ این خاصیت رو داره یعنی
۴۵۰!
هزارویک رقم داره و به
Arabian Night's Factorial
معروفه.

گوتینگن در حوالی ۱۸۰۰ بیشتر به خاطر دانشکده حقوقش معروف بود. حضور غول هایی مثل گاوس نقش این دانشگاه رو در ریاضیات هم برجسته کرد. شاگرداش مثل ریمان و ددکیند راه استاد رو ادامه دادند.هیلبرت نزدیک ۷۰ دانشجوی دکتری تربیت کرد و نقش کلیدی در پیشرفت ریاضی و فیزیک در اونجا داشت‌. بعدها بورن، هایزنبرگ و پائولی نقش اساسی در فیزیک کوانتوم داشتند.
Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Ernst Eduard Kummer
Leopold Kronecker
Gustav Kirchhoff
Karl Weierstrass
Max Planck
Felix Klein
Max Born
Edmund Landau
Erwin Schrödinger
Werner Heisenberg
John von Neumann
J. Robert Oppenheimer
این ها تعدادی از نام هایی هست که در سال های مختلف در گوتینگن حضور داشتند.
با روی کار اومدن نازی ها و پاک سازی دانشگاه ها از استادان یهودی خیلی از چهره های برجسته مجبور به ترک آلمان شدند.

ظاهرا ریاضیدان ها بیشتر به موسیقی کلاسیک به طور کلی علاقه بیشتری نشون می دند. هر چه علاقه به تحلیل بیشتر گرایش به موسیقی پیچیده تر هم بیشتر: ساختار پیچیده، ریتم های پیچیده، فرم و ساختار نامتعارف. البته واقعا هیچ قاعده کلی در این مورد شاید نشه بیان کرد.
کسانی هم بودند که خودشون دستی برآتش داشتند.
Irving Kaplansky
ریاضیدان معروف آهنگی ساخت به اسم
a song about pi
که نت هاش از رقم های عدد پی ساخته شده.
ریاضیدان هایی هم بودند که نوازنده های خوبی بودند: انیشتین، Knuth و
Manjul Bhargava
که در همون سالی که مرحوم میرزاخانی فیلدز گرفت، اون هم برنده فیلدز شد و...
https://news.1rj.ru/str/tinatorkamanplaylist

مساله برای فکر کردن

Oskar Morgenstern
یه اقتصاددان کلاسیک در مکتب اتریش بود که تغییر زمینه کاری اش به ریاضیات باعث شد نامش برای همیشه ماندگار بشه. شاید اگر در همون زمینه ای که در ابتدا کار می کرد می موند به این شهرت و اعتبار نمی رسید. کم و بیش در همون فضای فکری مکتب اتریش بود و احتمالا زیر سایه غول هایی مثل میزس و هایک قرار می گرفت. اما انتقاداتی نسبت به نگاه اون ها به عدم استفاده از ریاضیات در اقتصاد داشت. به تدریج از اون دیدگاه ها فاصله گرفت و به روش های ریاضی و کمی علاقه مند شد. اوج این ماجرا همکاری با
John von Neumann
در نوشتن کتاب
Theory of Games and Economic Behavior
بود. کتابی که یکی از مهمترین آثار قرن گذشته محسوب می شه.
https://www.privatdozent.co/p/oskar-morgensterns-transformation

چند سال پیش
Yaroslav D. Sergeyev
یه سیستم عددی جدید معرفی می کنه که اسمش رو می ذاره
Grossone
رفته بود سراغ محاسبات در زمینه بی نهایت ها و ادعا کرده بود سیستم جدیدش خیلی از چالش ها و مشکلات اون حوزه رو حل می کنه. یه مقاله ۱۰۲ صفحه ای در
EMS Surveys in Mathematical Sciences
چاپ می کنه(مربوط به انجمن ریاضی اروپا)
واکنش های منفی زیادی داشت و منجر به استعفا سردبیران ارشد اون ژورنال شد.خیلی از ریاضیدان ها تلاش Sergeyev رو در حد یک فانتزی ریاضی دو
نستند که با اصول بنیادی نظریه مجموعه ها و ریاضی ناسازگاره.
https://ems.press/content/serial-article-files/36999

در مورد دانشگاه شصتم آسیا چنین نظری داره. از این نکته هم می گذریم که تحصیلات ربطی به شعور و درک اجتماعی نداره...

Nothing can better express the meaning of the
term "class" than the Axiom of [Separation]
and the Axiom of Choice.

Kurt Gödel

امروز تولد
Ernst Zermelo
هست.
در سال ۱۹۰۴ مقاله ای نوشت که ثابت کرد هر مجموعه ای رو می شه خوش ترتیب کرد. اثباتی وابسته به اصل انتخاب، که غیرسازنده هم بود.
این اتفاق باعث شد که انتقادهای زیادی بهش بشه. زرملو رو مسئول تمام نتایج عجیب و غریب این اصل می دونستند. گناهش دستکاری انتزاعی خطرناکی بود که در ریاضیات انجام داده بود.
تابستون ۱۹۰۷ درگیر انتقادهایی شد که علیه اصل معروفش و همین طور قضیه خوش ترتیبی شده بود. هر دو توسط بسیاری از ریاضیدان ها بد فهمیده شده بودند.
یک سال بعد به فاصله شش روز دو مقاله تاریخی نوشت. اولی واکنشی به انتقادها و دومی اولین بیان اصل موضوعی نظریه مجموعه ها.
مقاله اول اثبات تازه ای از قضیه خوش ترتیبی بود، هرچند از اثبات قبلی خودش دفاع می کرد ولی متوجه شد ریاضیدان ها در درک مفهوم خوش ترتیبی دچار مشکل شدند. تعریفی ارائه داد که کاملا صوری بود و سعی کرد جلوی تفسیرهای عجیب و غریب رو از این رو قضیه بگیره. در مقاله دوم اصولی رو بیان کرد که اساس اثبات جدیدش بودند: اصل جداسازی و اصل مجموعه توان.
زرملو از خیلی از انتقادها نسبت به اصلش بعدا مطلع شد.
در مقابل مخالفان استدلال می کرد که این اصل قبل از اینکه خودش در سال ۱۹۰۴ به صراحت بیان کنه توسط خیلی از ریاضیدان ها به طور ضمنی استفاده شده. در مقابل منتقدها آرام ولی سرسخت بود(برخلاف براوئر که لحنش بسیار تند بود). با تمرکز فقط به کار خودش مشغول بود و بین دو حوزه احساسات فلسفی و منطق صوری، دومی رو انتخاب کرد. پای تابعی وایستاد که اگر نبود خیلی از قضیه های ریاضی، امروز وجود نداشتند.
منبع

این مساله تراموا ورژن های مختلفی داره، یکی اش اینجوریه. بی نهایت تراموا هست و بی نهایت ریل. روی ریل n ام n تا آدم هست. در حالت عادی داره می ره سمت ریل یک. اگر اهرم رو بکشید به صورت اتفاقی می ره سمت یکی دیگه از ریل ها و احتمال اینم هست که کلا برق قطع بشه و اصلا هیچ حرکتی نکنه. چی کار می کنید؟

یه ورژن خیلی جذاب دیگه ای هم هست که دو تا مسیر هست و تو یکی بی نهایت آدمه. اگر درست یادم باشه ربطش می دند به مباحث set theory و خوش ترتیبی و...
پیدا کردم اونم می ذارم.

امروز همکارم در مورد قضیه بسیار جالبی در ریاضیات (مالی) صحبت می کرد که به نظرم به علت ارتباط دو دنیای احتمال و مشتقات جزئی و کاربردش در مالی کمی هیجان انگیز است.
🔍 قضیه فاینمن–کاک؛ جایی که احتمال به کمک معادلات می آید!
اگر تا حالا با معادلات دیفرانسیل جزئی (PDEها) مثل معادله حرارت یا بلک-شولز درگیر شده اید، احتمالاً تجربه کرده اید که حل تحلیلی یا عددی این معادلات چقدر پیچیده و حساس است. اما یک راه جایگزین و عمیق وجود دارد: استفاده از احتمال و فرآیندهای تصادفی! اینجاست که قضیه فاینمن–کاک وارد می شود.
🧠 شهود قضیه چیه؟
این قضیه می گه که می تونی جواب یک معادله دیفرانسیل جزئی رو نه با مشتق گیری، بلکه با گرفتن امید ریاضی از یک فرآیند تصادفی مثل حرکت براونی (Brownian Motion) به دست بیاری. انگار به جای اینکه مسیر حل معادله رو دقیقاً دنبال کنیم، هزاران مسیر تصادفی رو شبیه سازی می کنیم و از میانگین شون به جواب می رسیم!
💡 کاربردها کجاهاست؟
* در مالی، این قضیه پایه و اساس فرمول بلک-شولز برای قیمت گذاری آپشن هاست.
* در فیزیک آماری، به کمک این قضیه می شه سیستم های حرارتی رو مدل سازی کرد.
* در هوش مصنوعی و یادگیری ماشین، این دیدگاه در طراحی شبکه های عصبی فیزیک مبنا (PINNs) و تخمین معادلات به کار می ره.
* در مدل سازی های مالی پیچیده، مثل مدل های نوسان تصادفی یا بازارهای با پرش (jump-diffusion)، این قضیه ابزار کلیدیه.
✍️ به زبان ساده:
قضیه فاینمن–کاک پلیه بین دو دنیای ظاهراً متفاوت:
🔹 دنیای تحلیلگران PDE و مشتقات
🔹 دنیای تصادف، شبیه سازی و احتمال

و نتیجه؟ حل معادلات سخت با نگاه آماری و حتی عددی.
سالها پیش، دو ذهن درخشان، یکی فیزیکدان (ریچارد فاینمن) و دیگری ریاضیدان (مارک کاک)، از دو جهان متفاوت به یک نقطه مشترک رسیدند:
🔹 فاینمن با مسیرهای احتمالی در مکانیک کوانتومی کار می کرد.
🔹 کاک با معادلات دیفرانسیل جزئی و فرآیندهای تصادفی سروکار داشت.
نتیجه؟ یک پل بین دنیای احتمال و دنیای معادلات قطعی.
این همان قضیه فاینمن–کاک است:
هرگاه با یک معادله دیفرانسیل جزئی (PDE) روبه رو باشی، شاید بهتر باشد به جای مشتق گیری، آن را با یک امید ریاضی از حرکت تصادفی حل کنی!

از صفحه شخصی آقای
Reza Sheikhi