از
Google's AI
پرسیدند x+y چند جمله ای هست؟
و فرمودند: نه! تعریفش رو درست ارائه کرده ولی تشخیصش نادرست بوده.
https://youtube.com/shorts/pq7kg7lFI_Q?si=B_ecxcyWYUykuqRL

طرف نوشته: بعضی ها توی bio شون نوشتند
AI/ML
ولی ضرب نقطه ای دو بردار رو نمی تونند حساب کنند. اینجوری مثلا:
(2i + 3j + 4k ).( 1i + 2j + 6k )
=2*1+3*2+4*6=32
یکی گفته من یه دوره پیشرفته در این زمینه گذروندم و خیلی هم چیزهای مختلف یاد گرفتم اشاره ای به ضرب نقطه ای و
low level algorithms
نشده بود.
یکی هم تیکه انداخته بود که خیلی از ریاضی خونده ها نمی تونند
resultant
دو چند جمله ای رو حساب کنند.

خودم تا حالا نشنیده بودم اصلا.
به هر حال بحث ها زیاد بود و من نفهمیدم بالاخره حق با کیه؟

در رابطه با این بحث یکی از دوستان این مطلب رو درباره اون دنباله که در mathoverflow اومده فرستادند:


#اخطار: این مساله اگرچه که ظاهرا ساده هست، ولی بازه ...

یک سوال ظاهرا ساده ...، آیا این دنباله همگراست؟
https://mathoverflow.net/questions/24579/convergence-of-sumn3-sin2n-1
در خصوص همگرایی یا واگرایی این سری، اگر حافظه‌م دچار خطا نشده باشه، الگوی رفتاری این شکلی هست:
مثلا برای 100 مقدار ابتدایی که چک می‌کنیم حس می‌کنیم که داره به a1 همگرا می‌شه ...،
ولی بعد برای 5 هزار مقدار بعدی یهویی تغییر می‌کنه و به نظر می‌رسه که داره به a2 همگرا می‌شه ...،
ولی بعد برای 2 میلیون مقدار بعدی یهویی تغییر می‌کنه و به نظر می‌رسه که داره به a3 همگرا می‌شه ...،
ولی بعد برای 100 میلیارد مقدار بعدی یهویی تغییر می‌کنه و به نظر می‌رسه که داره به a4 همگرا می‌شه ...
...
...

#هشدار: این عددایی که بالاتر نوشته‌م کاملا الکی هستن و مستند نیستن ...، و برای اینکه یه شهود خیلی گنگ و #نادقیقی راجع به الگوی رفتاری‌ش بدم اون عددا رو نوشتم ...

#ادیت: الان توی خود همین لینک بالایی دیدم که همین الگو رو به صورت دقیق و #مستند نوشته:
[Numerically there is some evidence that only some of these values of $n$ affect the overall behavior of the series. For example, letting $S(k)=\sum_{n=1}^{k}\frac1{n^3\sin^2n}$, one sees that $S(k)$ does not change much in the interval, say, $[50,354]$, with $S(354)<5$. However, $S(355)$ is close to $30$, and note that $355$ is very close to $113\pi$. On the other hand, $S(k)$ does not change much from that point until $k=100000$, where I stopped looking.]



==============================
==============================
==============================

https://mathworld.wolfram.com/FlintHillsSeries.html

حالت کلی‌تر سری، به Flint Hills series شهرت داره ...، و دلیل اهمیت همگرایی Flint Hills series در حالت کلی اینه که: همگرایی این سری کاملا به Irrationality measure عدد پی وابسته هست ...

توی مقاله‌ی زیر (که سطح‌ش در حد دبیرستانه)، نشون داده که همگرایی و واگرایی سری فیلنت هیلز ارتباط ساده و عمیقی با Irrationality measure عدد پی داره ...، در قضیه 2، و نتیجه 3
Theorem 2, Corollary 3
On convergence of the Flint Hills series (by Max A. Alekseyev): https://arxiv.org/pdf/1104.5100

==============================
==============================
==============================

Bounds on Irrationality Measures and the Flint-Hills Series (Alex Meiburg):
https://arxiv.org/pdf/2208.13356

==============================
==============================
==============================

Irrationality measure: https://en.wikipedia.org/wiki/Irrationality_measure

گروتندیک در یک نامه وقتی می خواد بگه که کارش رو روی موضوعی خاص تموم کرده از عبارت زیر استفاده می کنه:
ridiculous piece on homological algebra
احتمالا اینجا منظورش فروتنی یا تواضع نبوده، می خواد بگه فرآیند نوشتن و یا کارکردن در ریاضیات می تونه از بیرون خسته کننده، عجیب و... به نظر بیاد. برای رسیدن به فهم واقعی باید کارهایی انجام بدی که برای دیگران مسخره، سطحی و عجیبه ولی برای خودت نه.

واکنش چهره های مختلف به LLMها و استفاده از اون ها:
چارلز ببیج(مخترع ماشین حساب مکانیکی): چه دستگاه شگفت‌انگیزی!
آلن تورینگ: رویاهایم تحقق یافته‌اند!
کورت گودل:چه مزخرفی!

René Magritte
نقاشی بود که کارهاش جاهایی غیرمستقیم به ریاضی هم ربط داشت.
بیشتر نقاشی هاش این طوریه که با منطق و یا درک ما از جهان اطراف در تضاده.
بازی با پارادوکس ها، زیر پا گذاشتن هندسه اقلیدسی، کار با بی نهایت و... در کارهاش دیده می شه.
اسم اثر:
16th September

این هم به لحاظ کوتاهی در نوع خودش بی نظیره.
اثبات های استاندارد طولانی تر هستند و وابسته به قضیه های دیگه.

Ronald Jensen
یکی از غول های set theory درگذشت.
در جوانی علاقه مند به اقتصاد بود(لیسانس اقتصاد داشت) و خیلی زود شیفته منطق و نظریه مجموعه ها شد.

راه حل این سوال که توسط رامانوجان ارائه شده

این دو نفر رو در کنار
Leonid Kantorovich
باید از غول های بهینه سازی بدونیم.

دانتزینگ که به خاطر حل دو مساله باز در آمار، که فکر می کرد تمرینات درس هستند، خیلی معروفه. پدرش هم ریاضیدان بود و شاگرد پوانکاره.
شرح کارها و دستاوردهاش خیلی مفصل هست.

بلمن کسی بود که برنامه ریزی پویا رو معرفی کرد. در واقع باید بلمن رو یه
applied mathematician
تمام عیار حساب کرد. شاگرد
Solomon Lefschetz
بود.
فهرست چیزهایی که در ریاضی به نامش هست نشونه جایگاه و اهمیتش هست.
شوخی یا جدی در مورد برنامه ریزی پویا می گند خیلی به درد کاربردهای عملی نمی خوره و بیشتر به کار دانشجویان دکتری میاد(برای تحقیق و چاپ مقاله)
سال ۱۹۷۳ به تومور مغزی دچار شد، عمل کرد، ولی عوارضش رهاش نکرد تا پایان عمر، ولی همچنان تحقیق می گرد و مقاله منتشر می کرد.

Leonid Kantorovich
ریاضیدان و اقتصاددان اهل شوروی بود. در مورد تخصیص بهینه منابع کار کرد، جایزه استالین رو گرفت و همین طور جایزه نوبل در اقتصاد رو.
یکی از بنیان گذاران برنامه ریزی خطی بود.
۲۲ سالگی فول پروفسور شد.
علاوه بر ریاضیات در پروژه هسته ای شوروی هم نقش داشت.
در جریان جنگ جهانی دوم هم فعال بود و از روش های بهینه سازی استفاده کرد.
در بین اسناد به دست اومده از اشغال سفارت آمریکا سندی وجود داره که نشون می ده که CIA اون رو کم و بیش به عنوان یه چهره برجسته در بهینه سازی زیر نظر داشته.

تو ویکی پدیا در مورد
Leonid Kantorovich
این طور نوشته، اول فول پروفسور شده بعد دکتری گرفته.
همه چیزشون با سیستم غربی فرق داشته.

درباره اعداد خرافات زیادی در گذشته و حتی الان وجود داشته، چندتاشون اینا هستند:
عدد ۴ در شرق آسیا نشونه بدشانسی هست چون تلفظش شبیه مرگ هست.
هفت خوش یمن بوده کلا توی فرهنگ های مختلف
عدد ۸ در چین می گند خوش بختی و ثروت میاره چون تلفظش شبیه کلمه ثروت هست.
عدد ۳۳ در مسیحیت مقدس هست چون سن مسیح زمام مصلوب شدن بوده.
عدد ۴۰ هم که عدد ادیان ابراهیمی هست.
عدد ۱۰۸ در هند مقدسه، تسبیحاشون ۱۰۸ تا دونه داره.
۶۶۶ هم که عدد شیطانه.
از میراث دارودسته فیثاغورث هم این بوده که اعداد فرد رو مردونه و خوش یمن می دونستند و اعداد زوج رو زنونه و بدشگون.
تو بعضی جاها هنوز می خواند گل به کسی هدیه بدند به تعداد فرد گل می دند.

این قضیه معروفه به
Ramanujan's master theorem
از این برای محاسبه خیلی انتگرال ها و سری ها استفاده می کرده.
طبق معمول فقط صورت قضیه رو نوشته بود و تا سال ها برای ریاضیدان ها یه معما بود.