Mathematical Musings
Photo
دوستان می گند پوانکاره تنها شانس نبوده و بودند ریاضیدان هایی که نوبل گرفتند(طبیعتا نه به خاطر کارهاشون در ریاضی)
معروف ترینش جان نش(که من کلا فراموشش کرده بودم)
نفر دوم
Gérard Debreu
اول رفت سراغ ریاضی و تحت تاثیر کارتان و گروه بورباکی بود، بعدا به اقتصاد علاقه مند شد و در اون زمینه هم تحقیق کرد. با زمینه ریاضی که داشت، اون ها رو وارد مفاهیم اقتصادی کرد، از توپولوژی گرفته تا نظریه مجموعه ها.
نفر سوم
Leonid Vitalyevich Kantorovich
از غول های بهینه سازی.
نفر بعد
Robert Aumann
که اصلا دکتراش رو در زمینه نظریه گره ها گرفته. بعدا به خاطر کارهایی که در نظریه بازی ها انجام داد، نوبل اقتصاد گرفت.
و یکی دو نفر دیگه که اون ها هم عموما در زمینه نظریه بازی ها کار کردند.
همون اوایل که نوبل رو به ریاضیات نمی دادند بعضی از ریاضی دان ها اعتراض کرده بودند، ولی چون وصیت نامه نوبل خیلی دقیق بود و مو لای درزش نمی رفت، کاریش نمی شد کرد.
الان دیگه ریاضی جایزه های معتبر خودش رو داره: فیلدز از ۱۹۳۶، آبل از ۲۰۰۳ و یکی دو تا دیگه مثل
Breakthrough Prize
و Chern Medal.
الان شاید بشه گفت این جایزه ها با روح ریاضیات نزدیک تر و هم راستاتر هستند. هرچند پرلمان که اصلا جایزه رو نگرفت، گودل هم اگر زنده بود احتمالا بیشتر نگران حقیقت ریاضیات بود تا جایزه.
معروف ترینش جان نش(که من کلا فراموشش کرده بودم)
نفر دوم
Gérard Debreu
اول رفت سراغ ریاضی و تحت تاثیر کارتان و گروه بورباکی بود، بعدا به اقتصاد علاقه مند شد و در اون زمینه هم تحقیق کرد. با زمینه ریاضی که داشت، اون ها رو وارد مفاهیم اقتصادی کرد، از توپولوژی گرفته تا نظریه مجموعه ها.
نفر سوم
Leonid Vitalyevich Kantorovich
از غول های بهینه سازی.
نفر بعد
Robert Aumann
که اصلا دکتراش رو در زمینه نظریه گره ها گرفته. بعدا به خاطر کارهایی که در نظریه بازی ها انجام داد، نوبل اقتصاد گرفت.
و یکی دو نفر دیگه که اون ها هم عموما در زمینه نظریه بازی ها کار کردند.
همون اوایل که نوبل رو به ریاضیات نمی دادند بعضی از ریاضی دان ها اعتراض کرده بودند، ولی چون وصیت نامه نوبل خیلی دقیق بود و مو لای درزش نمی رفت، کاریش نمی شد کرد.
الان دیگه ریاضی جایزه های معتبر خودش رو داره: فیلدز از ۱۹۳۶، آبل از ۲۰۰۳ و یکی دو تا دیگه مثل
Breakthrough Prize
و Chern Medal.
الان شاید بشه گفت این جایزه ها با روح ریاضیات نزدیک تر و هم راستاتر هستند. هرچند پرلمان که اصلا جایزه رو نگرفت، گودل هم اگر زنده بود احتمالا بیشتر نگران حقیقت ریاضیات بود تا جایزه.
❤16🤣1
Forwarded from (φ (μ (λ)))
Poincaré, the greatest mathematician of the recent era, divided all problems into two classes: binary problems and interesting problems. Binary problems are problems which admit of an answer “yes” or “no” (for example, Fermat’s question).
Interesting problems are those for which an answer of “yes” or “no” is insufficient. They require investigation of questions that lead one further. For example, Poincaré was interested in how to change the conditions of a problem (for instance, the boundary conditions of a differential equation), while retaining the existence and uniqueness of its solution, or how the number of solutions varies when we make some other change. Thus he started the theory of bifurcations.
Three years before Hilbert gave his list of problems, Poincaré formulated the basic, in his view, mathematical questions that the nineteenth century would leave for the twentieth. This was the formulation of the mathematical basis for quantum and relativistic physics.
Today, many people think that relativistic physics at the time, in 1897, did not yet exist, since Einstein published his theory of relativity only in 1905. But Poincaré formulated the principle of relativity earlier, in his article of 1895, “On the Measurement of Time”, which Einstein actually used (and which, by the way, he didn’t acknowledge in writing until 1945). In just the same way, Schrödinger, in laying the foundation for quantum mechanics, achieved his success only because he used the mathematical works of his predecessor Hermann Weyl, whom no one mentioned later on, although Schrödinger actually references these works (in his first book).
V.I Arnold, Experimental Mathematics (2010)
Interesting problems are those for which an answer of “yes” or “no” is insufficient. They require investigation of questions that lead one further. For example, Poincaré was interested in how to change the conditions of a problem (for instance, the boundary conditions of a differential equation), while retaining the existence and uniqueness of its solution, or how the number of solutions varies when we make some other change. Thus he started the theory of bifurcations.
Three years before Hilbert gave his list of problems, Poincaré formulated the basic, in his view, mathematical questions that the nineteenth century would leave for the twentieth. This was the formulation of the mathematical basis for quantum and relativistic physics.
Today, many people think that relativistic physics at the time, in 1897, did not yet exist, since Einstein published his theory of relativity only in 1905. But Poincaré formulated the principle of relativity earlier, in his article of 1895, “On the Measurement of Time”, which Einstein actually used (and which, by the way, he didn’t acknowledge in writing until 1945). In just the same way, Schrödinger, in laying the foundation for quantum mechanics, achieved his success only because he used the mathematical works of his predecessor Hermann Weyl, whom no one mentioned later on, although Schrödinger actually references these works (in his first book).
V.I Arnold, Experimental Mathematics (2010)
👍6❤4🔥2🆒2🤣1
Forwarded from Singular Thinker
آقای Robert Aumman که در تصویر مشاهده میکنید سال 1930 در خانوادهای یهودی در شهر فرانکفورت آلمان بدنیا اومد و در 8 سالگی دو هفته قبل از "شب بلورین" یا "شب شیشههای شکسته" (شروع حملهی نازیها به یهودیان) به آمریکا سفر میکند. دورهی لیسانس رو در رشتهی ریاضی در City College of New York و دورهی ارشد و دکتری رو هم در رشتهی ریاضی در دانشگاه MIT خوندن. ایشون 91 سالشونه و زندن هنوز.
ولی پیش از اینکه به اصل قضیه بپردازیم، یه سری نکتههای جالب راجع به آقای اومن وجود داره که ایشون به شدت سعی کردند که با بهره بردن از نظریهی بازیها که دوراهیهای(dilemma) موجود در تلمود(یکی از کتابهای یهودیت) رو تحلیل کنند و فاندهای بسیاری در این زمینه گرفتند و یا "کد انجیل/تورات" رو رمزگشایی بکنه تا وقایع تاریخی که در این کتاب نوشتهشده رو بفهمن. کلا ادم فعالی در زمینههای سیاسی و مذهبی محسوب میشه و برای مثال یکی از پسراشون در جنگ لبنان کشته میشن.
اما من برای این نکات جذب ایشون نشدم. پس چرا ایشون ادم مهمیه و جالبیه؟
چون حداقل تا جایی که من میدونم سه موضوع خیلی جذابو وارد نظریهی بازیها کردند.
اولیش تعریف کردن "تعادل همبسته" در بازیهای غیرهمکارانه است که منعطفتر از تعادل نش بهنظر میرسه و تو بعضی از کاربردها میتونه که پیشبینی بهتری در مسائل واقعی ارائه بکنه.
همچنین نخستین بار صورتبندی دقیقی از "common knowledge" در نظریهی بازیها ارائه میکنه(ویدیوی پست قبلی رو اگر ندیدید ببینید حتما) و بعد با استفاده از این تعریف یه قضیهی جالب داره تحت عنوان "قضیهی همآوایی آومن" که در ادامه به این میپردازیم.
این قضیه بیان میکند که دو عامل(agent) که به صورت معقول(rational) رفتار میکنند و نسبت به باورهای یکدیگر Common Knowledge دارند، هرگز نمیتوانند به توافق برسند که به توافقی نمیرسند(agree to disagree). به دیگر سخن، اگر 2 عامل هوشمند معقول بیزی با باورهای پیشین یکسان باشند و همچنین هر یک از آنها نسبت به احتمالات پسین یکدیگر Common Knowledge داشته باشند، توضیح پسین آنها یکسان خواهد شد.
نکتهی قابل توجه این است حتی اگر اطلاعات مشاهدهشده توسط هر یک از عاملها متفاوت باشد، این قضیه برقرار است و به توافق میرسند. بعدا توسط اسکات آرانسون اثبات شد که این توافق در زمان موثری قابل دستیابی است.
#bio_summary #game_theory
@Singular_Thinker
ولی پیش از اینکه به اصل قضیه بپردازیم، یه سری نکتههای جالب راجع به آقای اومن وجود داره که ایشون به شدت سعی کردند که با بهره بردن از نظریهی بازیها که دوراهیهای(dilemma) موجود در تلمود(یکی از کتابهای یهودیت) رو تحلیل کنند و فاندهای بسیاری در این زمینه گرفتند و یا "کد انجیل/تورات" رو رمزگشایی بکنه تا وقایع تاریخی که در این کتاب نوشتهشده رو بفهمن. کلا ادم فعالی در زمینههای سیاسی و مذهبی محسوب میشه و برای مثال یکی از پسراشون در جنگ لبنان کشته میشن.
اما من برای این نکات جذب ایشون نشدم. پس چرا ایشون ادم مهمیه و جالبیه؟
چون حداقل تا جایی که من میدونم سه موضوع خیلی جذابو وارد نظریهی بازیها کردند.
اولیش تعریف کردن "تعادل همبسته" در بازیهای غیرهمکارانه است که منعطفتر از تعادل نش بهنظر میرسه و تو بعضی از کاربردها میتونه که پیشبینی بهتری در مسائل واقعی ارائه بکنه.
همچنین نخستین بار صورتبندی دقیقی از "common knowledge" در نظریهی بازیها ارائه میکنه(ویدیوی پست قبلی رو اگر ندیدید ببینید حتما) و بعد با استفاده از این تعریف یه قضیهی جالب داره تحت عنوان "قضیهی همآوایی آومن" که در ادامه به این میپردازیم.
این قضیه بیان میکند که دو عامل(agent) که به صورت معقول(rational) رفتار میکنند و نسبت به باورهای یکدیگر Common Knowledge دارند، هرگز نمیتوانند به توافق برسند که به توافقی نمیرسند(agree to disagree). به دیگر سخن، اگر 2 عامل هوشمند معقول بیزی با باورهای پیشین یکسان باشند و همچنین هر یک از آنها نسبت به احتمالات پسین یکدیگر Common Knowledge داشته باشند، توضیح پسین آنها یکسان خواهد شد.
نکتهی قابل توجه این است حتی اگر اطلاعات مشاهدهشده توسط هر یک از عاملها متفاوت باشد، این قضیه برقرار است و به توافق میرسند. بعدا توسط اسکات آرانسون اثبات شد که این توافق در زمان موثری قابل دستیابی است.
#bio_summary #game_theory
@Singular_Thinker
❤7
Forwarded from Singular Thinker
اصطلاح Common Knowledge یا همون "دانش مشترک" به نوعی از دانش گفته میشه که برای گروهی از عاملها(agent) تعریف میکنند. این مفهوم اولین بار توسط یک فیلسوف در 1969 مطرح میشه و آقای Robert Aumman در سال 1976 با استفاده از نظریهی مجموعهها به زبان ریاضی صورت بندیش میکنه. بعدها این قضیه در علوم کامیپوتر محبوب میشه و کلی معماهای جالبانگیز پیرامونش بوجود میاد، که حتی توجه John Conway رو جلب کرده بود به خودش.
به طور خلاصه، یه گزاره p در گروهی از عاملها دانش مشترک به حساب میاد، اگر تمامی اعضای گروه گزارهی p را بدانند و همچنین بدانند که بقیه نیز میدانند و هم چنین میدانند که بقیه میدانند که همه میدانند و الی آخر(تا بینهایت).
این مفهوم در نظریهی بازیها و همچنین علومکامیپوتر بکار بسته میشه. در ویدیوی زیر یکی از معماهای معروف که با استفاده از "دانش مشترک" حل میشه، (The Blue-Eyed Islanders) رو مطرح میکنن که واقعا دیدنش جالبه.
این مثالهای کوچیک نظریهی بازیها واقعا کمک میکنه آدم درک بهتری از جهان اطرافش پیدا بکنه و برای سرکار گذاشتن دوستان و اقوام در مهمونیها هم به شدت توصیه میشه.
https://www.youtube.com/watch?v=98TQv5IAtY8
#video #Game_Theory
@Singular_Thinker
به طور خلاصه، یه گزاره p در گروهی از عاملها دانش مشترک به حساب میاد، اگر تمامی اعضای گروه گزارهی p را بدانند و همچنین بدانند که بقیه نیز میدانند و هم چنین میدانند که بقیه میدانند که همه میدانند و الی آخر(تا بینهایت).
این مفهوم در نظریهی بازیها و همچنین علومکامیپوتر بکار بسته میشه. در ویدیوی زیر یکی از معماهای معروف که با استفاده از "دانش مشترک" حل میشه، (The Blue-Eyed Islanders) رو مطرح میکنن که واقعا دیدنش جالبه.
این مثالهای کوچیک نظریهی بازیها واقعا کمک میکنه آدم درک بهتری از جهان اطرافش پیدا بکنه و برای سرکار گذاشتن دوستان و اقوام در مهمونیها هم به شدت توصیه میشه.
https://www.youtube.com/watch?v=98TQv5IAtY8
#video #Game_Theory
@Singular_Thinker
YouTube
Can you solve the famously difficult green-eyed logic puzzle? - Alex Gendler
Sign up for our newsletter and never miss an animation: http://bit.ly/TEDEdNewsletter
One hundred green-eyed logicians have been imprisoned on an island by a mad dictator. Their only hope for freedom lies in the answer to one famously difficult logic puzzle.…
One hundred green-eyed logicians have been imprisoned on an island by a mad dictator. Their only hope for freedom lies in the answer to one famously difficult logic puzzle.…
❤11
این خانم ریاضیدان هم زمینه کاری اش
operation research
هست. حالا کارش چیه؟ طراحی
elephant corridors
مسیر بهینه رو برای فیل ها پیدا می کنه تا هم وارد مناطق مسکونی نشند، هم به خودشون یا انسان ها آسیب نزنند و دسترسی به منابع آبی کافی برای اون زبون بسته ها فراهم باشه(ظاهرا آب برای فیل ها خیلی حیاتی هست، نه فقط برای خوردن، برای شنا کردن و دفع گرما). البته مدلش یک مدل چندهدفه است یعنی با یک مساله بهینه سازی چندهدفه سروکار داره، چون باید چند تا معیار رو با هم در نظر بگیره. خودش می گه شبیه مساله فروشنده دورهگرد فقط باید به جای تحویل کالا، مسیر مناسب برای حرکت فیل ها رو پیدا کنه.
ظاهرا برگشته به زادگاهش برای تعطیلات و اونجا داره این کار رو انجام می ده.
https://blog.utc.edu/news/2025/10/how-a-utc-mathematician-is-helping-elephants-find-their-way-home/
operation research
هست. حالا کارش چیه؟ طراحی
elephant corridors
مسیر بهینه رو برای فیل ها پیدا می کنه تا هم وارد مناطق مسکونی نشند، هم به خودشون یا انسان ها آسیب نزنند و دسترسی به منابع آبی کافی برای اون زبون بسته ها فراهم باشه(ظاهرا آب برای فیل ها خیلی حیاتی هست، نه فقط برای خوردن، برای شنا کردن و دفع گرما). البته مدلش یک مدل چندهدفه است یعنی با یک مساله بهینه سازی چندهدفه سروکار داره، چون باید چند تا معیار رو با هم در نظر بگیره. خودش می گه شبیه مساله فروشنده دورهگرد فقط باید به جای تحویل کالا، مسیر مناسب برای حرکت فیل ها رو پیدا کنه.
ظاهرا برگشته به زادگاهش برای تعطیلات و اونجا داره این کار رو انجام می ده.
https://blog.utc.edu/news/2025/10/how-a-utc-mathematician-is-helping-elephants-find-their-way-home/
❤18🤣2🔥1
نتایج یه تحقیق در مدارس نشون می ده بین نمرات درس ریاضی و خوندن درست و درمون همبستگی بالایی وجود داره، توی ریاضی خوب باشه توی خوندن هم خوبه و برعکس.
https://www.the74million.org/article/schools-that-are-good-at-teaching-math-are-also-good-in-reading-and-vice-versa/
https://www.the74million.org/article/schools-that-are-good-at-teaching-math-are-also-good-in-reading-and-vice-versa/
👍12❤7👎1🆒1
یه کمی کران بالاش رو بهبود دادند، عدد قبلی ۴۸ بود.
عدد ۴۸ رو سال ۲۰۱۸ بدست آورده بودند(یکی از نویسنده ها) و الان بعد از چند سال کمی بهبود دادند.
یه تعریف باکمک گراف ها داره که کمی فنی تره، ولی یه تعریف جمع و جورتر داره که اینجوریه:
R(m,n)
کمترین تعداد مهمون ها که باید دعوت بشند که حداقل m نفر همدیگر رو بشناسند و حداقل n نفر همدیگر رو نشناسند.
مثلا داریم:
R(m,2)=m
در کل محاسبه Ramsey number سخته.
اینجا هم از روش برنامه ریزی خطی و کامپیوتر کمک گرفتند کار رو پیش بردند.
https://arxiv.org/abs/2409.15709
عدد ۴۸ رو سال ۲۰۱۸ بدست آورده بودند(یکی از نویسنده ها) و الان بعد از چند سال کمی بهبود دادند.
یه تعریف باکمک گراف ها داره که کمی فنی تره، ولی یه تعریف جمع و جورتر داره که اینجوریه:
R(m,n)
کمترین تعداد مهمون ها که باید دعوت بشند که حداقل m نفر همدیگر رو بشناسند و حداقل n نفر همدیگر رو نشناسند.
مثلا داریم:
R(m,2)=m
در کل محاسبه Ramsey number سخته.
اینجا هم از روش برنامه ریزی خطی و کامپیوتر کمک گرفتند کار رو پیش بردند.
https://arxiv.org/abs/2409.15709
❤10👎1
Forwarded from Recommender system (MehriMah Amiri)
I've read 25+ AI/ML books in 8 years.
Only 11 would actually move the needle in production.
(I've shipped Data Science, MLOps, RAG systems, and AI agents)
[LINK]
Only 11 would actually move the needle in production.
(I've shipped Data Science, MLOps, RAG systems, and AI agents)
[LINK]
❤10🆒3
تولد
John G. Thompson
هست.
جایزه فیلدز سال ۱۹۷۰، جایزه ولف و جایزه آبل رو برده.
زمینه کاری اش نظریه گروه ها بوده.
۹۲ سالشه الان و دکتراش رو با
Saunders Mac Lane
گرفته. شاگردانش هم همه آدم حسابی هستند و جالبه که یکی شون در زمینه
Neanderthal, genome
کار می کنه.
توی تز دکتراش به یه مساله ای پرداخت در نظریه گروه ها که نیم قرن باز بود.
شاید کسی فکر نکنه کسی به خاطر کار در نظریه گروه ها فیلدز بگیره ولی خب کار ایشون دستاورد مهمی بوده و در زمینه
Classification of finite simple groups
کار کردند.
دیگه حتما می دونید این قضیه یکی از بزرگ ترین دستاوردهای ریاضیات در قرن گذشته هست و پیر ریاضیدان ها رو در آورده. کل اثبات بالای ۱۰۰۰۰ صفحه است(و در بعضی ورژن ها حتی بیشتر)، حدود ۱۰۰ تا ریاضیدان درگیرش بودند.
بازنویسی دوباره و کامل کردن اثبات ده دوازده سال پیش تموم شده.
از قیافه اش معلومه که اهل حاشیه نبوده و فقط به ریاضی مشغول بوده.
در بچگی کسی جدی اش نگرفته ولی مادرش همیشه می گفته: تو در آینده یه چیزی می شی، ولی اون هم ظاهرا کار خاصی براش نکرده.
John G. Thompson
هست.
جایزه فیلدز سال ۱۹۷۰، جایزه ولف و جایزه آبل رو برده.
زمینه کاری اش نظریه گروه ها بوده.
۹۲ سالشه الان و دکتراش رو با
Saunders Mac Lane
گرفته. شاگردانش هم همه آدم حسابی هستند و جالبه که یکی شون در زمینه
Neanderthal, genome
کار می کنه.
توی تز دکتراش به یه مساله ای پرداخت در نظریه گروه ها که نیم قرن باز بود.
شاید کسی فکر نکنه کسی به خاطر کار در نظریه گروه ها فیلدز بگیره ولی خب کار ایشون دستاورد مهمی بوده و در زمینه
Classification of finite simple groups
کار کردند.
دیگه حتما می دونید این قضیه یکی از بزرگ ترین دستاوردهای ریاضیات در قرن گذشته هست و پیر ریاضیدان ها رو در آورده. کل اثبات بالای ۱۰۰۰۰ صفحه است(و در بعضی ورژن ها حتی بیشتر)، حدود ۱۰۰ تا ریاضیدان درگیرش بودند.
بازنویسی دوباره و کامل کردن اثبات ده دوازده سال پیش تموم شده.
از قیافه اش معلومه که اهل حاشیه نبوده و فقط به ریاضی مشغول بوده.
در بچگی کسی جدی اش نگرفته ولی مادرش همیشه می گفته: تو در آینده یه چیزی می شی، ولی اون هم ظاهرا کار خاصی براش نکرده.
❤18🫡4👍3🤔2