Arrow's impossibility theorem
موضوع روش انتخاب سیستم رای دهی در رشته های مختلف مورد بحث قرار گرفته. منتها بررسی موضوع از جنبه ریاضی جذابیت های خودش رو داره.
خود انتخاب روش سیستم رای دهی و انواع روش های مختلفی که برای این موضوع وجود داره، موضوع گسترده ای هست. (انتخاب براساس نظر اکثریت و رای به یکی از کاندیداها یکی از حالت ها است.)
آقای Kenneth Arrow در سال ۱۹۷۲ به خاطر نتایجی که در این زمینه بدست آورد جایزه نوبل اقتصاد گرفت.(مثل بعضی از نوبلیست های اقتصاد، مخصوصا در سال های اخیر جنبه های ریاضی کارش پررنگ تر بود.)
نکته جالب اینکه بعدها تعمیم هایی که از این قضیه بدست اومد، جنبه های توپولوژیک و... هم داشته.

فرض می کنیم هر سیستم رای دهی باید یه سری شرایط معقول و منطقی داشته باشه ( reasonable properties)
1.No Dictators
خروجی کار نباید همیشه منطبق با نظر یکی از رای دهنده ها باشه.
2.Pareto Efficiency
اگر هر رای دهنده، فرد A رو به فرد B ترجیح بده، نتیجه نهایی هم باید همین طور باشه.
3.Independence of irrelevant alternatives
وقتی رای دهنده ها نظرشون نسبت به یک کاندیدای دیگه مثل C تغییر کنه ولی نظراتشون نسبت به کاندیداهای A و B تغییر نکنه، رتبه ی نسبی A و B نباید تغییر کنه.
قضیه می گه برای یک election با سه کاندیدا یا بیشتر، اگر رای دهنده ها به همه کاندیداها رای بدند و اون ها رتبه بندی کنند، هیچ تابعی وجود نداره که در سه شرط بالا صدق کنه.

منابع برای این موضوع زیاد هست، این به نظرم بد نیومد.
برای خوندنش البته خیلی از مفاهیم توپولوژی، توپولوژی جبری و همولوژی و... رو باید بلد بود.

در مورد قضیه فقط یه نکته ای هست و اون اینه که قضیه نمی گه هیچ سیستم رای گیری وجود نداره که اون سه شرط رو داشته باشه، قضیه محدود شده به سیستم های رای گیری که رای دهنده ها به همه کاندیداها رای می دند و اونا رو رتبه بندی می کنند.

کلا در سال های اخیر بیشتر نوبلیست های اقتصاد کسانی بودند که جنبه های ریاضی توی کارشون خیلی خیلی پررنگ بوده و حتی فکر کنم چند سال پیش بود که بعد از اعلام برندگان نوبل اقتصاد اصلا یه سری اعتراض کردند که اینا بیشتر کارشون ریاضی هست تا اقتصاد!
آقای محمد هاشم پسران هم از برجسته ترین اقتصاددان های ایرانی هستند، که چند سال پیش زمزمه هایی شده بود که ممکنه نوبل بگیرند. بعضی از کارهاشون بیشتر جنبه تئوری در ریاضی (و آمار) داره.

این روزها اعترافات! یکی از سخنرانان انگیزشی رو دیگه احتمالا همه دیدند، در رابطه با استفاده اش از سهمیه در زمان کنکور. این نمونه کارنامه برای چند سال پیش هست، البته این نمونه ها رو همه زیاد دیدند احتمالا.

زبان که هیچ!
دروس عمومی رشته اقتصاد مثل اقتصاد خرد و کلان هم یه ریاضی در حد دونستن شیب خط براش کفایت می کنه، خود مفاهیمش هم، روز و شب در رسانه ها داره درباره اش بحث می شه، اونم روی هم ده درصد!
ریاضی و آمار هم که پایه بیشتر مباحث رشته اقتصاد هست، مخصوصا در اون دانشکده (یکی از استادهاش دکتری ریاضی داره اصلا)، اون هم وضعیت اش معلوم.

اون همه مفاهیم تخصصی رشته اش، مفاهیم آماری مورد نیازش و نرم افزارهای آماری که احتمالا نیازش می شه رو چه طوری در دو یا سه سال می تونه یاد بگیره؟ اصلا استادهای اونجا چه طور همچین آدمی رو تحمل می کنند؟ اصلا چطور مقالات مرتبط رو با اون سطح زبان می خونه؟
اصلا به ما چه؟

Saharon Shelah
درباره تاثیر هندسه بر علاقه اش به ریاضی.
بعدها هم که کلا زمینه اصلی کاری اش set theory و منطق و... شد.

یکی از مهمترین قضیه هایی که در صد سال گذشته در زمینه نظریه گراف اثبات شده
Strong perfect graph theorem
هست، که به اختصار spgt هم می گند به اون. یه ریاضیدان به اسم
Berge
دو حدس در سال 1960 می زنه. در سال 1972 Lovasz شکل ضعیف تر اون رو اثبات می کنه. یه گراف perfect هست اگر وفقط اگر complement اون perfect باشه.
شکل قوی تر اون توسط چهار تا ریاضیدان در سال 2002 اثبات می شه. مقاله در
Annals of Mathematics
چاپ می شه و حدود ۱۸۰ صفحه است. نویسنده ها جایزه ۱۰۰۰۰ دلاری رو به خاطر اون برنده می شند.
یکی از دلایل اهمیت قضیه ارتباط اون با برنامه ریزی عدد صحیح است.(که همین ارتباط شاید یکی از دلایل تلاش ها برای اثباتش بوده).
خود Berge کمی بعد از اثبات حدس قوی تر درگذشت.
عکس مربوط به چهار ریاضیدانی هست که قضیه رو اثبات کردند.
Robin Thomas
Paul Seymour
Neil Robertson
Maria Chudnovsky
بعدا شرحی از قضیه و ارتباطش با برنامه ریزی صحیح می ذارم.

این مصاحبه از میخائیل گروموف ریاضی‌دان سرشناس روسی-فرانسوی را ببینید که در آن از «سه درس زندگی» صحبت می‌کند. مصاحبه را موسسه مطالعات پیشرفته IHES ترتیب داده‌است. پیشنهاد می‌کنیم اصل مصاحبه را ببینید؛ در هر صورت سرخط درس‌های زندگی گروموف این‌هاست:

۱- راست‌گو و درست‌کار (honest) باش.
۲- دهانت را ببیند؛ مگر آن که چیز نابدیهی برای گفتن داشته باشی.
۳- [در مورد مسائل] بیندیش؛ تمرکز کن؛ به مشاهده‌ی تنها اکتفا نکن.

اثبات تصویری اصم بودن پی

البته مطلب جدیدی نیست و احتمالا دیده باشید.

قبلا یه اثبات هم اینجا از ایوان نیون گذاشته بودم برای اصم بودن پی.
حالا جدا از بحث دقت ریاضی یا rigorous بودن اثبات یا ... کدوم اثبات رو بیشتر می پسندید؟ یا به طور کلی اگر ممکن بود برای هر قضیه ای یک اثبات معادل این شکلی(تصویری) وجود داشته باشه.

من خودم اولی.

در رابطه با این خبر
سوالات امسال المپیاد رو دادند به Alphaproof و Alphageometry 2
عملکردش در حد مدال نقره
سوالات هندسه حل شده و سوالات ترکیبیات، نه.
سخت ترین سوال هم با توجه به عملکرد شرکت کننده ها حل شده(سوالی که فقط پنج نفر حل کردند)
https://deepmind.google/discover/blog/ai-solves-imo-problems-at-silver-medal-level/?utm_source=x&utm_medium=social&utm_campaign=&utm_content=

یکی از دوستانمون در یک سری ویدئوی جالب ۲ قسمتی به بررسی این پرداخته که هوش‌مصنوعی AlphaGeometry که می‌تونه سوالای هندسه‌ی المپیاد ریاضی رو حل کنه، چطوری کار می‌کنه.

قسمت اول: https://www.youtube.com/watch?v=dis3yHFwYOY
قسمت دوم: https://www.youtube.com/watch?v=ZPEVPRbCCdE

مساحت دوازده ضلعی منتظم

Visualizing Euler's polyhedron formula: V-E+F=2 ·

از کانال reason4math
ویدئوهای جذابی داره، در یوتیوب، تیک تاک و ...
اوصیکم به فالو

یه مقاله خیلی کوتاه در رابطه با این پست، مساله سوزن بوفون برای محاسبه عدد π، نویسنده اعتقاد داره:
Lazzarini was either very lucky or
(perhaps more likely) very dishonest.

Lazzarini
کسی بود که اون آزمایش رو انجام داد.

هرچند می گه به لحاظ تئوریک خیلی جذابه.
یه اثبات هم ارائه کرده برای مساله.

یادداشت جالبی درباره ارتباط #گراف ها و حل کردن #سودوکو که پارسال در ولفرام آلفا منتشر شد :
@ai_python

https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/2983903

قضیه آخر فرما

به جای خوندن مقالات یا دیدن ویدئوهای مختلف درباره تاثیر AI بر ریاضیات و... به نظرم این ویدئو رو ببینید، از زبان یکی از برجسته ترین ریاضیدان های زنده دنیا.
شرح خیلی خوبی داده از آنچه اتفاق افتاده و تاثیرات احتمالی AI بر تحقیقات ریاضی.
بعدا حتما خلاصه ای رو می ذارم ازش.