یک فرمول خیلی معروف و مقدماتی در ترکیبیات هست، که به صورت زیر بیان می شه:
C(n,k)=C(n,n-k)
که
C(n,k)= n!/k!(n−k)!
که از فرط بدیهی بودن نیاز به اثبات نداره. کافیه فرمول برای دو طرف نوشته بشه. که ذهنی هم قابل بررسی هست.
اثبات های دیگه ای هم براش هست، مثلا با استفاده از Combinatorial proof،
یعنی خیلی ساده بیایم بگیم تعداد حالات انتخاب k نفر از بین n نفر برابر تعداد حالات انتخاب نکردن n-k نفر از بین n نفر هست.
منتها اثبات جالب دیگه ای هم براش هست،
استفاده از the Künneth Formula
H_k(T^n)=C(n,k)
یعنی با نوشتن اون فرمول برای محاسبه homology groups
n-torus
که البته این کار خودش محاسبات کمی لازم داره!
بعد استفاده از قضیه Poincaré duality
که می گه cohomology مرتبه k و homology مرتبه n-k یک
oriented closed manifold
با هم برابرند. برای مسأله ما می شه:
H_n(T^n)=H^(n-k)(T^n)
ولذا حکم ثابت است.

یکی از عادت های خیلی خوبی که غربی ها از گذشته داشتند، ثبت و مستند کردن اتفاقات و مسائل مختلف و بعد منتقل کردن و در اختیار گذاشتن اون برای دیگران هست. مثال ها زیاد هست. در تصویر بالا بعضی سوالاتی که در جلسه مربوط به آزمون دکتری دانشگاه پرینستون از
Manjul Bhargava
پرسیدند رو می بینید.
Manjul Bhargava
در سال 2014 برنده مدال فیلدز هم شد.
حالا تو جلسه چه کسانی بودند؟
Charles Fefferman
یکی از بزرگترین ریاضیدان های زنده و برنده جایزه فیلدز در سال 1978.
Andrew Wiles
که معرف همه هست و قضیه آخر فرما رو ثابت کرد.
John Conway
که ایشون هم ریاضیدانان بسیار برجسته ای بودند و در زمینه های مختلف در ریاضی تحقیق کردند و در سال 2020 درگذشتند.

حتی در مواردی جزییات شوخی ها، جو حاکم  در جلسه و... بیان شده.

این ها هزاران سال هست، که حرف های ردوبدل شده در جلسات شون رو هم مستند می کنند، حتی در حد Uh oh. و اون رو در اختیار عموم می ذارند، واسه همین تونستند دانش بشر رو ارتقاء بدند.

یکی از کتاب های معروف در زمینه توپولوژی جبری، کتاب Joseph Rotman هست، از سری کتاب های GTM.
کتاب رو تقدیم کرده به همسر و فرزندانش که بدون حضور اون ها نوشتن کتاب دو سال زودتر تموم می شد!

یه موضوعی که چند هفته ای بود می خواستم شروع کنم به یادگیری اش رو دیروز وقت کردم و استارت زدم. از بین کلی کتاب، جزوه و دوره های فارسی (چند میلیونی) و انگلیسی (دلیل اینکه شروع نمی کردم همین حجم زیاد منابع در دسترس بود) اتفاقی یه ویدئویی که از یوتیوب دانلود کرده بودم رو شروع کردم به دیدن. خانمی که از اساتید دانشگاه RIT بودند در بیست دقیقه اینقدر خوب، واضح و دقیق کل ماجرا رو توضیح دادند که تقریبا کلیت موضوع دستم اومد. دیگه می مونه جزییات کار که با خودم هست.
به هر حال برای دقیق شدن و جدی تر خوندن بعضی مطالب شاید لازم باشه به مراجع اصلی رجوع کرد. دیدن ویدئوهای آموزشی درست و حسابی هم خیلی کمک کننده است. یه ابزار آموزشی خیلی خوب که می تونه در همه رده ها به یادگیری کمک کنه.
بهترین منبع هم خود یوتیوب هست. اون هم به انگلیسی ترجیحا.
در ایران به طور کلی استفاده از این منبع خیلی جا نیفتاده (در سال های اخیر کمی بهتر شده، شاید)
در مورد ریاضیات هم کانال های خیلی خیلی خوبی در موضوعات مختلف وجود داره.
یکی از این کانال ها رو اینجا معرفی می کنم. خیلی خوب و به صورت کاملا visual یه سری مفاهیم رو توضیح می ده. اینجا حاصلضرب والیس رو به زبان ساده توضیح می ده که چطوری بدست میاد.
هیچ معلمی در ایران نمی تونه یا حال و حوصله اش رو نداره چنین چیزی بسازه.
اگر بچه ای دوروبرتون هست، نوجوانی هست، جوانی هست، انسان میان سال یا کهنسالی هست، تشویقش کنید به استفاده از یوتیوب (البته در مورد هزینه های احتمالی و یا طریقه دانلود هم توضیح بدید!)
به هر حال اوصیکم به یوتیوب.
https://youtu.be/8GPy_UMV-08?si=TiT5KR9hTaZMSlUj

در دوران دبستان که کوچکتر و بزرگتر رو می خوندیم، همیشه سر علامت های کوچکتر و بزرگتر مشکل داشتم، مثلا می دونستم 6 بزرگتر از 5 هست ولی علامت رو که می خواستم بذارم اشتباه می کردم. کسی هم نبود با یه بیانی یا شیوه ای بیاد و توضیح بده. معلم ها هم که دریغ از کمی خلاقیت یا ابتکار و...
سرچ کردم ببینم کسی این مشکل رو داره هنوز و راه حلی براش پیدا کردند یا نه؟ که این رو دیدم. دهن تمساح با اون دندون های تیزش به سمت عدد بزرگتر باز می شه.
به همین سادگی.

بحث نمادگذاری در ریاضیات شد، یه چیز جالب یادم اومد که در کتاب
Categories for the Working Mathematician
اومده.
نماد خیلی معروف برای نمایش تابع یعنی
f:A→B
برای اولین بار توسط Hurewicz اون هم در سال 1940 و در رابطه با topology سروکله اش ظاهر شده.

آقا میرزا هیچ وقت فرصت نکرد که جبر پیشرفته یا مثلا آنالیز یا خیلی از شاخه های ریاضی رو بخونه و جهانش فقط محدود به همون اصول اقلیدس بود، احتمالا. نمودار بالا یه نمونه ساده از یک diagram در توپولوژی جبری هست. تصور استفاده از نمادهای فارسی در نمودار بالا باعث می شه که هر آدم عاقلی قید ریاضی رو بزنه!
بحث عادت نیست، بحث بر سر اینه که نمی شه.

ویدئو بالا قدیمی هست و مال چند سال پیش، دوباره می ذارم و چیزی می نویسم در این رابطه.
فقط این توضیح رو اضافه می کنم که در ویدئو بالا نفر اول دکتر سیاوش شهشهانی هستند، استاد ریاضی دانشگاه شریف و نفر دوم دکتر مهدی گلشنی استاد فیزیک همون دانشگاه، اون فردی هم که بهش اشاره می کنند در مورد رفتن به پرینستون دکتر آرش رستگار هستند، استاد ریاضی دانشگاه شریف (که شاگرد Andrew Wiles بودند.) چند سالی پرینستون بودند و الان برگشتند ایران.
۱) تعداد ارجاعات لزوما به معنی مهم بودن تحقیق نیست. مثال های خیلی زیادی می شه پیدا کرد در این مورد. مقالات زیادی هست که ارجاعات بالایی داره ولی مزخرف محض هستند.
۲) شکل سیستم ارجاع طوری هست که روابط می تونه در اون نقش خیلی زیادی داشته باشه. حتی می تونه شکل مافیایی به خودش بگیره. به هر حال با توجه به حضور موسسات و بنگاه های مختلفی که در این زمینه فعالیت می کنند این موضوع تا حدی جنبه بیزینسی هم داره.
۳) در بعضی موارد وقتی مقاله برای داوری به ژورنالی فرستاده می شه، خود داور ضمن بررسی مقاله و ارسال کامنت، از نویسنده ها می خواد که بعضی از مقالات خودش به مراجع اضافه بشه!
۴) انجام کار تحقیقاتی به عوامل خیلی زیادی بستگی داره، شرایط عمومی علمی اون کشور یا دانشگاه، استاد، دانشجو و مسأله دیگه زمان!
Terry Tao
در یکی از یادداشت های خودش در وبلاگش اشاره می کنه که انجام یه تحقیق و منجر شدنش به مقاله حدود (فکر کنم) ده سال طول کشیده، تازه اون هم با همکاری یه ریاضیدان دیگه بوده.
۵)یکی از دوستانم که در فرانسه در یکی از رشته های مهندسی دکتری گرفته بود، مقاله ای نداشت. یکی دیگر از دوستانم که در همون رشته و در مقطع کارشناسی ارشد در ایران خونده بود، بعد از گذشت دوسال و نیم از شروع ارشد حدود بیست تا مقاله داشت!
۶) با توجه به شرایط موجود در ایران، در بعضی دانشگاه ها نه تدریس درستی انجام می شه و نه تحقیق برجسته ای.
۷)دولتی شدن آموزش در مدارس و دانشگاه ها یکی از عوامل اصلی وضع موجود هست. شاید اگر بخواهیم تاریخی ببینیم، این وضع رو مدیون امیر کبیر پدر آموزش دولتی در ایران هستیم!

تعداد مقالات و ارجاعات Grigori Perelman ریاضیدان اهل روسیه، که در سال 2006 به خاطر
his contributions to geometry and his revolutionary insights into the analytical and geometric structure of the Ricci flow
و اثبات Poincaré conjecture (بعد از صد سال)، برنده جایزه فیلدز شد، که البته اون رو نپذیرفت.

زندگی نامه خود نوشت کوچَر بیرکار ریاضیدان کرد و ایرانی که در سال 2018 برنده جایزه فیلدز شد.

اثبات یک صفحه‌ای اصم بودن عدد π.

رابطه بین بازی ها و ریاضی همیشه جذابیت خودش رو داشته، بررسی بازی هایی که (در ظاهر ارتباطی با ریاضیات ندارند) و تبدیل اون به یک مسأله ریاضی و بعد حلش، از قدیم مورد توجه برخی از ریاضیدان ها بوده. برای حل برخی از این نوع بازی ها دانش ریاضی خیلی بالایی لازم هست. از منطق، نظریه اعداد، ترکیبیات، نظریه گروه ها و... تا شاخه های مختلف ریاضی به عنوان ابزاری برای حل خیلی از بازی ها استفاده می شه. لینک یه بازی فکری ساده (که البته در مراحل بالاتر چالشی تر می شه) رو اینجا می ذارم. سروکله زدن برای حل سوالات هر مرحله جذابیت خودش رو داره.
بعدا پست هایی در مورد برخی از بازی ها و ریاضیاتی که پشت اون ها است، می ذارم.

http://gameaboutsquares.com/

جایی دیدم، مطلب بالا رو نوشته، به لحاظ تاریخی درست هست و اون دو نفر در کتابشون این کار رو کردند. ولی این مسأله کاملا بستگی به این داره که رویکرد کلی شما برای این کار چی باشه. یکی از متداول ترین روش ها استفاده از
The Peano axioms
برای تعریف جمع هست، که در اون صورت کار اونقدر سخت و پیچیده نمی شه. (حتی خود این موضوع که 2=1+1 رو می شه به عنوان اصل در نظر گرفت)
رویکردی که راسل و وایتهد استفاده کردند، امروز خیلی مرسوم نیست.

این رو جایی کامنت گذاشته بودم، دوباره اینجا می ذارم و چیزی بهش اضافه می کنم.

وقتی با قوری چایی می ریزیم، یه مقدار از چایی سرایز می شه و می ره تا زیرش. یه نفر نشسته و با محاسبات ریاضی و کمک مکانیک سیالات این پدیده پیچیده رو تحلیل کرده.

در خود مقاله اشاره شده که این مسأله کجاها کاربرد داره، یعنی کاربرد عملی اش مشخص هست. ولی حتی اگر هیچ کاربردی هم نداشت، به لحاظ فکری ارزش بررسی رو داشت.
البته مثال هایی از این دست در ریاضی زیادند، که در ابتدا صرفا یک جور بازی فکری یا بی فایده به نظر می رسیدند و بعدها در حوزه های زیادی کاربرد پیدا کردند، مثل نظریه اعداد، هندسه نااقلیدسی و...
حتی ریاضیدانی مثل هاردی فکر می کرد کاربردی برای نظریه اعداد وجود ندارد و یا به این زودی ها پیدا نمی شه.
جمله معروف هاردی در کتاب دفاعیه یک ریاضیدان:
No one has yet discovered any warlike purpose to be served by the theory of numbers or relativity, and it seems very unlikely that anyone will do so for many years.

https://www.cambridge.org/core/journals/journal-of-fluid-mechanics/article/developed-liquid-film-passing-a-smoothed-and-wedgeshaped-trailing-edge-smallscale-analysis-and-the-teapot-effect-at-large-reynolds-numbers/96E58273086ADFBC27DCFF7E04164575