این آخرین پستی هست که درباره این موضوع می ذارم.
ولی ای کاش آمیرزا اونقدر زنده می موند تا کتاب های مرحوم مصاحب رو ببینه.

Saunders Mac Lane
در اینجا از تاریخچه تغییراتی که بر سر اسم و فامیلش اومده می گه.
بیشتر شهرتش رو به خاطر بناکردن
Category theory
داره، کاری که به همراه
Samuel Eilenberg
انجام داد. ‌کتاب خیلی معروف
Categories for the Working Mathematician
هم اثر این دو ریاضیدان هست، که الان شاید یه اثر کلاسیک حساب بشه.
اون اوایل اصطلاح
abstract nonsense
رو هم براش به کار می بردند.
گروتندیک جمله معروفی داره که می گه:
The introduction of the chiper 0 or the group concept was general nonsense too, and mathematics was more or less stagnating for thousands of years because nobody was around to take such childish steps...

خیلی ها اعتقاد دارند که بدون اون بعضی از نتایج در شاخه های مختلف ریاضی در چند دهه گذشته ممکن نبود به دست بیاد. تقریبا همه بخش های جبر، توپولوژی جبری، منطق و CS و...بخشی از تحولاتشون رو مدیون این نظریه هستند.

این قسمت از ریاضی هم یکی از اون شاخه هایی بود که توسط خود ریاضیدان ها و ریاضی خوان ها و... یه بخشی اش به خطا و به فنا رفت. نظریه رسته ها یه جور نگاه کلی و در واقع مجردسازی از مفاهیم ریاضی هست و یه جورایی شما دست روی هر شاخه ای از ریاضی بذاری می تونی یه نگاه از جنبه نظریه رسته ها به اون موضوع داشته باشی، این باعث شد خیلی ها برای نوشتن مقاله و در واقع برای مقاله بازی و مقاله سازی برند سراغ اون. یعنی فلان قضیه در جبر یا جبر خطی یا... رو بریم و یه تعمیم در نظریه رسته ها هم بدیم. مقالاتی که عمدتا عنوان هاشون اینجوریه:
A categorical approach to...
به جای چند نقطه هر چی خواستید می تونید بذارید.
این بلایی بود که سر نظریه فازی مجموعه ها هم اومد(به خصوص در ایران) چون این نظریه درباره پایه و اساس ریاضی یعنی مجموعه ها است و تعاریف مربوط به اون بخش رو تغییر می ده(اصلا دست می ذاره روی خود مفهوم عضویت) می شه هر مفهوم کلاسیک و تثبیت شده و معروفی که در ریاضی بوده تا حالا رو یه معادل فازی هم براش جمع و جور کرد! و البته این کار رو هم کردند!
A fuzzy approach to...
و البته در این زمینه اوضاع بدتر هم بود، چون این یکی دست مهندس ها و رشته های مهندسی هم افتاد!

ظاهرا برای حل مساله sphere packing روش های جدیدی پیدا شده.
نکته ای که ظاهرا هست اینه که حالت هایی وجود داره که ممکن هست اصلا متقارن نباشه و این کار رو سخت تر می کنه.
خانم
Anqi Li
زمانی که دانشجوی لیسانس بوده استارت زده کار روی این مساله رو، همراه استادش Henry Cohn. ایشون هم خودش شاگرد آقای Noam D. Elkies بوده.
در مقاله مربوط برای ابعاد ۱۷ تا ۲۱ کران های پایین رو بدست آوردند.
جزئیات بیشتر در لینک زیر
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-discover-new-way-for-spheres-to-kiss-20250115/

رزومه خانم Li رو که ببینی متوجه نمی شی که چطور در سال های اول دکتری به اون سطح از ریاضیات رسیده. به هر حال در رزومه چیزهایی می نویسند و خیلی چیزها رو هم شاید نه! مقالات خوب و با تمرکز روی حل مساله بیشتر. البته که واضح است در دانشگاه های درجه اولی درس خونده و حتما استعداد خاصی داشته و خیلی تلاش کرده...دیگه چی بوده؟ من که نفهمیدم. به هر حال بگذریم.
ولی پایین صفحه اش یه چیز جالبی گذاشته...
Which Springer GTM would you be? The Springer GTM Test
بیشتر حالت fun داره، واسه من عکس بالا شد.
حال داشتید امتحان کنید.

یه مساله جالب:
فرض کنید یه خرگوش دارید که در نقطه A هست و هر بار به اندازه B می پره(A و B اعداد صحیح هستند و برای ما نامعلوم). یه چکش جادویی دارید که هربار سمت خرگوش پرت می کنید تا بزنید اون رو(البته اگر بهش نخوره اون به اندازه B دوباره می پره). دنبال یه استراتژی هستیم که بتونه در تعدادی متناهی حرکت به خرگوش برسه.
نویسنده می گه مساله شبیه مسائل جست‌وجو در theoretical computer science هست و دو روش برای حل اون ارائه می ده. یکی مشابه استدلال قطری معروف کانتور و یکی هم از روش های احتمالی(که برای این مسائل روش متداولی هست).
هر دو روش حل با حداقل اطلاعات سطح کارشناسی و یا دانش ریاضی قابل درک هست.

یه چیز جالب تر اینه که در انتها چند تا سوال که مساله رو در حالت های کلی تر در نظر می گیره پرسیده. مثلا در نظر گرفتن مساله در دو بعد و یا حرکت خرگوش در گروه های مجرد به جای محور اعداد یعنی گروه جمعی اعداد صحیح(این دومی واقعا جذابه)
حال داشتین بخونید.

در مورد axiom of choice یه چیز کنایه آمیز این بوده که خیلی از ریاضیدان هایی که ازش انتقاد می کردند و یا بعدا با این اصل مخالفت کردند (یعنی بعد از اینکه نظریه مجموعه ها و مبانی ریاضی توسعه پیدا کرد و تا حدی سروشکل پیدا کرد)، خودشون قبلا در تحقیقاتشون از این اصل استفاده کرده بودند!
Emile Borel
Rene Baire
Henri Lebesgue
از جمله این افراد بودند.
دلیل مخالفت شون هم، همون دلایل تاریخی و همیشگی که همه می دونند بود: نتایجی که پذیرش این اصل داره و همین طور non-constructive بودنش.
مثلا Borel که به خاطر قضیه Heine-Borel خیلی معروفه، در اثبات خودش برای فشرده بودن بازه[a,b] از یه روش non-constructive استفاده کرده بود!
Baire
هم که به خاطر
Baire category theorem
معروفه، در تز دکتراش بارها از روش های
non-constructive
استفاده کرده بود.
هم Borel و هم Baire در موارد دیگری هم این کار رو انجام داده بودند، هر چند بعدها از منتقدان axiom of choice شدند.
آقای Lebesgue هم که به خاطر نظریه معروفش در انتگرال و بحث های مربوط به نظریه اندازه و مجموعه های اندازه پذیر همه اون رو می شناسند، در اثبات خاصیت های مربوط به مجموعه های اندازه پذیر به نوعی از اصل انتخاب استفاده کرده بود. نپذیرفتن اصل انتخاب عملا نظریه خودش رو تا حد خیلی زیادی محدود می کرد.

نکته جالب اینه که عموما این اتفاق برای ریاضیدان هایی می افتاد که داشتند در زمینه آنالیز و تئوری توابع کار می کردند.

Pierre Hansen
که به خاطر الگوریتم معروف VNS شناخته شده بود، هم دارفانی رو وداع گفت.
زمینه کاری اش
Graph theory, Combinatorial optimization
بود.
Variable neighborhood search
از دسته الگوریتم های به اصطلاح متاهیوریستیک که برای حل مسائل بهینه سازی استفاده می شه و در سال ۱۹۹۷ اون رو ارائه کرد(یه چیزی مثلا مشابه الگوریتم ژنتیک).
هر چند سال های بعد تقریبا هرکسی اراده کرد یه الگوریتم جدیدی از این نوع ارائه کرد و نام خودش رو در علم جاودانه!
نفرات بعدی کاری کردند که آدم به اصالت و درستی کار اینا هم گاهی شک می کنه.
فهرست مقالاتش

🎥 اولین مدرسه‌ای که معلمانش هوش مصنوعی هستند

🔹کالج دیوید گیم، یک مدرسه خصوصی در مرکز لندن، اولین مدرسه در انگلیس است که کلاس درس بدون معلم  و با هوش مصنوعی را آزمایش می‌کند. 

🔹در این مدرسه که سالانه باید 27 هزار پوند شهریه سنگین پرداخت کرد، برنامه درسی اصلی توسط پلتفرم‌های هوش مصنوعی به جای معلمان معمولی آموزش داده می‌شود.

@gptocean

همیشه ایده های اولیه برای شروع هر کاری ممکن هست مضحک و سطحی به نظر بیاد، ولی بعد که پروبال پیدا می کنه (حالا حاصل از تلاش یک فرد و یا گروهی از افراد متخصص در اون حوزه) کارایی و زیبایی خودش رو نشون می ده.
داشتم یه مطلب در مورد تاریخچه توپولوژی در اوایل پیدایش اون می خوندم. نه تنها بعضی ایده ها خنده دار و سطحی بوده(و بعد البته کنار گذاشته شده)، بلکه گاهی اشتباهات و خطاهایی توسط بعضی از ریاضیدان ها رخ داده(که البته طبیعی بوده) که امروز برای همه بدیهی هست.
اینکه برای تعریف توپولوژی چرا از بین مفاهیم باز و بسته، مفهوم باز انتخاب شده تاریخچه جالبی داره. خود مفهوم بسته بودن در اون اوایل پیدایش توپولوژی باعث خطاهای زیادی شده. مفهوم بسته بودن رو معمولا با مفهومی که بعدها به اون گفتند فشردگی اشتباه می گرفتند.
یکی از اولین خطاها رو ریاضیدان معروف آلمانی
Adolf Hurwitz
مرتکب شد.
در مقاله ای که  اون رو در اولین کنگره بین المللی ریاضیدان ها ارائه کرده بود! مدعی می شه:
اگر f یه تابع یک به یک و پیوسته از یک مجموعه بسته به یک مجموعه بسته دیگه باشه، معکوس f هم پیوسته می شه.
Camille Jordan
متوجه می شه که دامنه f باید کراندار هم باشه.
جالب تر اینکه ریاضیدان هایی که در کارهاشون به هر دوی این ها ارجاع دادند متوجه این موضوع نشدند و با خطایی که در ادعای Hurwitz بوده کار رو جلو بردند و به نتایج غلط دیگه ای رسیدند. مثلا این ادعا که یک مجموعه با تعداد نامتناهی نقطه حتما نقطه حدی داره.
البته الان همه این چیزها در سطح کتاب های مقدماتی آنالیز و توپولوژی هست و برای همه بدیهی.

درباره اینکه از بین چند تا تعریف برای یک مفهوم، چرا در نهایت یکی انتخاب می شه.
از کتاب توپولوژی Klaus Jänich

#دانستنی های_ به درد_نخور ۱۶
می دونستید که در دوره استالین نظریه مجموعه ها که توسط کانتور توسعه پیدا کرده بود به دلیل نگرش های ایده آلیستی که در اون وجود داشت، توسط دانشمندان و ایدئولوگ های حکومت مورد انتقاد قرار گرفته بود. اون زمان از ریاضیدان ها انتظار می رفت که تحقیقات خودشون رو منطبق با اصول ماتریالیسم هماهنگ کنند. یکی از فیلسوفان مارکسیست گفته بود: این علم جدید دنبال اینه که عدد رو به عنوان اساس و جوهر واقعیت معرفی کنه. باید جلوی این جریان گرفته بشه.
از ریاضیدان ها خواسته شده بود که از اصول مارکسیسم در کارهای خودشون استفاده کنند و از روش هایی مثل نظریه مجموعه ها انتقاد کنند. البته ریاضیدان های برجسته ای مثل کولموگروف هیچ وقت کارهای علمی خودشون رو قربانی این جریانات نکردند.
یکی از مهمترین اتفاقات اون سال ها ماجرای لوژین بود که به دلیل همکاری با ریاضیدان های غربی به شدت مورد حمله قرار گرفت. در مورد لوژین گفته بودند: کارهاش فقط به درد نظام سرمایه داری می خوره!

این هم یه کتاب معرکه که همین چند روز پیش منتشر شده. هم به جنبه های فنی کارهاش پرداخته و هم تاثیرات کارهای این ریاضیدان بزرگ رو بر منطق و فلسفه بررسی کرده.