خود Zermelo شروع کار ریاضی اش خیلی دور از مبانی ریاضیات و بحث های مربوط به نظریه مجموعه ها بود. تز دکتراش در سال ۱۸۹۴ در باره حساب تغییرات بود و بعد هم به بحث های مربوط به Mathematical physics علاقه مند شد، به خصوص مکانیک آماری. در ادامه در زمینه هیدرودینامیک کارهایی کرد تا اینکه بنا گفته خودش، در گوتینگن تحت تاثیر هیلبرت قرار گرفت. هیلبرت در سال ۱۸۹۹ کتابی در مورد مبانی هندسه منتشر کرده بود که هدفش
purely formal axiomatization
کردن هندسه اقلیدسی بود. Zermelo دو سال قبل از راسل به صورتی از پارادوکس معروف راسل دست پیدا کرده بود و در این باره با هیلبرت صحبت می کنه (هیلبرت در نامه ای به فرگه به این نکته اشاره کرده). همین طور با هوسرل هم در این رابطه صحبت کرده بود.[هر مجموعه که همه زیرمجموعه هاش رو به عنوان عضو داشته باشه (مثل حالت، مجموعه همه مجموعه ها) به تناقض منجر می شه.]
این احتیاط در انتشار این تناقض ها بیشتر به نوع نگاه Zermelo به نظریه مجموعه ها بر می گرده(برخلاف راسل)، Zermelo این تناقض ها رو تهدیدی برای نظریه مجموعه ها نمی دونست و بیشتر به دنبال بسط و پیشبرد این تئوری بود.
در آگوست ۱۹۰۴، طی جریانی توجه اش به مساله خوش ترتیبی جلب شد و در سپتامبر همون سال اثبات سه صفحه ای اش رو برای اینکه " هر مجموعه ای رو می شه خوش ترتیب کرد" ارائه داد.

استاد همزمان هر دوی اینا رو در سایت شخصی اش گذاشته...ظاهرا خانوادگی هم کار می کنند.

اگر به دنبال یک بیان مقدماتی از قضایای گودل هستید و می خواین سر در بیارید که بالاخره گودل چه کاری انجام داده و تا حدی هم وارد جزییات بشین این کتاب منبع خوبیه. اثبات دقیق ریاضی، طبیعتا مقدمات زیادی می خواد و تخصصی هست(چهل، پنجاه تایی تعریف اولیه فقط) توی این کتاب با یک دید کلی و شهودی در 100 صفحه قضایای گودل رو توضیح داده.

باغ وحش الگوریتم ها...۱۵۰ تا الگوریتم جدید در ظرف شش سال.

https://arxiv.org/abs/2501.14769

این کتاب رو هر بار بخش هایی اش رو به ترتیب در پست هایی می ذارم. سعی می کنم قسمت های اصلی اش رو بیارم و طوری باشه که انسجام خود کتاب هم حفظ بشه.
چون در سال های بعد خیلی ها از رشته های دیگه(مثل فلسفه و بعضی از شاخه های علوم انسانی) هر بار اشاره ای به این قضیه کردند و برداشت هایی غلط از اون داشتند به بعضی از اون موارد هم گاهی اشاره می کنم. مثلا رژی دبره، فیلسوف! فرانسوی درباره این قضیه گفته بود:
"از زمانی که گودل نشان داد برهانی مبنی بر انسجام یا سازگاری حساب پئانو وجود ندارد که در داخل این نظریه قابل صورت بندی باشد، دانشمندان علوم سیاسی فهمیدند که چرا مومیایی کردن لنین و به نمایش گذاشتن او در معرض دید رفقا...امری ضروری است."

یه ریاضیدانی بوده به اسم خانم
Grace Chisholm Young
بین سال های ۱۸۶۹ و ۱۹۴۴ زندگی می کرده...
شوهرش هم ریاضیدان بوده. به دلیل شرایط اجتماعی بیشتر کارهاش رو به اسم شوهر منتشر می کرده. اهل انگلیس. توی کمبریج درس خونده. دکتراش رو هم از گوتینگن گرفته بوده. می گند اولین زنی بوده که در آلمان دکتری گرفته.
یه بار یه ریاضیدانی از شوهرش انتقاد می کنه، به اسم ماکس دین. بحث سر این بوده که دین اعتقاد داشته آقای یانگ در مقاله ای از اعداد ترتیبی کانتور استفاده کرده، ولی ظاهرا این طور نبوده. خود آقای یانگ حال و حوصله جواب دادن نداشته و این کار رو خانم یانگ انجام می ده(ظاهرا چون در جزئیات کارها و اثبات ها هم بوده، چون مشارکت داشته در اون ها). جواب ها رو می نویسه و برای آقای دین می فرسته و بعدا این ها در کتابی چاپ می شه.
دو تا از بچه هاشون هم ظاهرا ریاضیدان شدند بعدا.
ویرجینیا ولف زمانی گفته بود: یه زن اگر بخواد داستان بنویسه پول می خواد و یه اتاق واسه خودش. در این مورد هم.
اون قضیه ای هم که می گه برای مشتقات دوم(تحت شرایطی) فرق نمی کنه اول از x مشتق بگیری یا y، واسه همین آقای یانگ هست. شاید هم خانم یانگ!

هیلبرت هم ریاضیدان عجیبی بوده، به طور مشخص هیچ قضیه ای در نظریه مجموعه ها نداره، ولی رد پاش همه جا هست، در این نظریه. از همون اول پیدایش اون تا وسط تمام بحث ها و جدل ها. روی تمام ریاضیدان های مطرح اون دوره که در این زمینه کار کردند هم تاثیر گذاشته یا باهاشون ارتباط داشته، یا حمایت کرده اون ها رو. همین خانم هم شاگردش بوده. جمله معروفش هم: هیچ کس حق نداره ما رو از بهشتی که کانتور خلق کرده، بیرون بندازه.

مطلب بالا رو از این کتاب برداشتم. این سری کتاب ها به نقش زنان در علم و فلسفه و... می پردازه و هر قسمتش به یک موضوع یا شخص اختصاص داره.

توی آمریکا سکه های 1 و 5 و 10 و 25 و 50 سنتی داریم این انتخابشون خیلی هوشمندانه و قشنگ بوده چون موقع بقیه پول دادن می‌شه کمترین تعداد سکه رو جابجا کرد در واقع الگوریتم حریصانه روش بهینه کار می‌کنه و مغز ما هم تقریبا مثل الگوریتم حریصانه کار میکنه

مثلا بخوایم به یکی 16 سنت بدیم کافیه از بالا شروع کنیم و هرکدوم کمتر بود برداریم که می‌شه 10 و 5 و 1 در واقع کمتر از 3 تا سکه برای ساخت 16 غیر ممکنه.

حالا فرض کنید آمریکا یه سکه 12 سنتی هم بسازه بده دست مردم، دیگه نمی‌شه به صورت حریصانه و ساده حساب کتاب کرد چون اگه اول بزرگ ترین حالت ممکن که 12 هستش رو برداریم و بعدی 5 که نمی‌شه مجبور می‌شیم چهار تا 1 سنتی بدیم تا بشه 16. که اینجا 5 تا سکه ردو بدل شده اما توی حالت اول 3 تا.


@Linxuor

یه چیزی که در اینجا خیلی کم کار شده، نوعی از بررسی و مطالعه است که به اون می گند(فکر می کنم البته) مطالعه تطبیقی. یعنی مقایسه دو چیز و دو دوره یا آدم در مکان و زمان مختلف. مثلا می شه یکی از همین زن ها رو در نظر گرفت و مثلا با یه زن شاخص حوالی ۱۸۸۰ در ایران مقایسه کرد. زندگی شون، افکارشون، کارهاشون. حالا مرد یا زن، فرقی نداره.
این کار رو اگر درست یادم باشه، دکتر میلانی در یکی از کتاب هاش انجام داده. مقایسه سعدی با یه نویسنده و متفکر در اروپا، که به نظرم خیلی کار جالبی بود. در مورد شخصیت های مختلف می شه این کار انجام داد و می تونه نتایج جالب و حتی خنده داری داشته باشه. مثلا مقایسه آمیرزا با یکی از ریاضیدان های هم دوره خودش(شاید مثلا پوانکاره!)

به نظر شما استدلال زیر درسته؟ از یه فیلسوف(علم) هست. (خودم نظری ندارم فعلا)

"والدین کودکی شش ساله می توانند درباره این امر تصمیم بگیرند که آیا او اصول و مبانی آیین پروتستان یا اصول و مبانی یهودیت را بیاموزد یا اینکه آموزش دینی را به طور کلی حذف کنند، ولی در مورد علوم چنین آزادی ای ندارند. فیزیک، اخترشناسی و تاریخ را باید یاد گرفت. نمی توان جادوگری، طالع بینی یا مطالعه افسانه ها را جایگزین این علوم کرد.
هیچ کس به ارائه صرفا تاریخی امور واقع و اصول فیزیکی قانع نیست. کسی نمی گوید: برخی مردم عقیده دارند که زمین به دور خورشید می چرخد در حالی که دیگران زمین را کره ای توخالی می دانند که خورشید، سیارات و ستارگان ثابت را در بر دارد. می گویند: زمین به دور خورشید می چرخد و هر چیزی دیگری بلاهت محض است"

در سال ۱۸۹۶، حتی قبل از کشف پارادوکس های نظریه مجموعه ها، بعضی ریاضیدان ها گفته بودند که این تئوری باید axiomatized بشه. علاقه به این کار، حتی با وجود کشف دوباره پارادوکس Burali-Forti در سال ۱۹۰۳ توسط راسل به وجود نیومد. هیلبرت اعتقاد داشت که این پارادوکس به خود نظریه مجموعه ها ربط نداره و بیشتر نشون می ده که منطق failed شده و نمی تونه نیازهای این نظریه رو برآورده کنه. راسل هم می گفت: فرضیاتی که در خود منطق هست باید دوباره ارزیابی بشه و موضوع رو خیلی تکنیکی و مربوط به خود نظریه مجموعه ها نمی دونست. از طرف دیگه Zermelo تمرکز خودش رو بیشتر روی اصل موضوعی کردن این نظریه گذاشته بود و خیلی اعتقادی به بازنگری در مبانی و فرضیات منطق نداشت. بعد از اثبات قضیه خوش ترتیبی توسط Zermelo بین پذیرش یا رد یه سری اصل موضوع بین ریاضیدان ها اختلاف های زیادی به وجود اومد‌.
هر مجموعه یه عدد کاردینال داره.
هر مجموعه مرتب یه order-type داره.
هر عدد اوردینال یه successor داره.
وجود مجموعه همه اوردینال ها.
اصل خوش ترتیبی، اصل انتخاب و اصل موضوع تصریح و...
ریاضیدان ها در مورد این اصول گیج شده بودند و نمی دونستند کدوم ها رو نگه دارند و کدوم ها رو رد کنند. ولی عموما بین ریاضیدان ها یه توافق وجود داشت و اون هم این بود که بیشترشون Axiom of Choice رو صراحتا رد می کردند. Zermelo برای اثبات قضیه خوش ترتیبی به این اصل نیاز داشت و اصل انتخاب رو بین اصولش قرار داد. Zermelo در سال ۱۹۰۷، مشغول جمع آوری انتقادات علیه اصل انتخاب و اثبات قضیه خوش ترتیبی شد و متوجه شد که هر دو بد فهمیده شدند. در سال ۱۹۰۸ به فاصله ۱۶ روز دو تا مقاله معروف رو منتشر کرد. در اولی جواب انتقادها رو داد و صورت جدیدی از قضیه خوش ترتیبی رو ارائه کرد و در دومی برای اولین بار نظریه مجموعه ها رو به صورت اصل موضوعی ارائه داد.

شاید بد نباشه، مجلات کمی دست نویسنده ها رو برای نوشتن مقاله، حداقل برای یه بخش هایی باز بذارند. مثلا اجازه بدند که در حد دو خط در مقدمه هر چی دلشون می خواد بنویسند. کمی شوخ طبعی اون اول کار، گاهی اوقات بد نیست.