بهتر از هر معلمی...

معرفی یک برنامه مفید و کاربردی:
mathpix snipping tool
برای همه سیستم عامل ها هم هست.
کار اصلیش این هست که عکس فرمولی رو هر جا که باشه ( مقاله پی دی اف، صفحه وب و ...) رو انتخاب می کنی فرمول لاتک رو میده.
حتی دست نوشته هم شناسایی می کنه.
برای نوشتن مقالات خیلی کمک می کنه. مخصوصا اینکه خیلی از فرمول ها عینا یا شبیه شون جایی هست یا با یه سرچ میشه پیدا کرد و ازشون استفاده کرد یا یکم فقط ادیت کرد.
خیلی به صرفه جویی در وقت کمک می کنه.
برای ثبت نام از لینک زیر استفاده کنید:
https://accounts.mathpix.com/signup?referral_code=sqfz6j8gtb
لینک دانلود برای سیستم عامل های مختلف رو هم در سایت اصلی می تونید ببینید:
https://mathpix.com/

مساله برای فکر کردن به مناسب سیزده بدر!

فرض کنید p1 تا p15 اعداد اول باشند که تشکیل یک تصاعد حسابی با قدر نسبت d رو می دند. ثابت کنید d بر ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱ و
۱۲+۱
بخش پذیره.

آیزاک آسیموف در روز دوشنبه، 6 آوریل سال 1992 درگذشت. تقریباً دو سال پیش از آن نوشتن دومین زندگینامه‌اش را به پایان رسانده و برای تحویل به ناشر آماده کرده بود، بااین‌حال حوادث به گونه‌ای رقم خوردند که انتشار آن کتاب تا مدتی پس از مرگ آسیموف امکانپذیر نبود.
در سال 1994، وقتی آن زندگینامه به عنوان «من، آسیموف؛ مجموعۀ خاطرات» منتشر شد (خود آسیموف قصد داشت آن کتاب را «صحنه‌های زندگی» بنامد) همسر او مؤخره‌ای برای آن کتاب نوشت و در آن به شرح خلاصه‌ای از رویدادهای زندگی دو سال پایانی عمر آسیموف پرداخت. بعدها، در سال 2001، جانت آسیموف زندگینامۀ دیگری برای آیزاک نوشت که شامل چکیده‌ای از هر دو زندگینامۀ آسیموف بود. در مؤخرۀ آن کتاب، جانت مؤخرۀ کتاب «من، آسیموف» را بازنویسی و با برخی اطلاعات پیرامون بیماری‌ای که سرانجام باعث مرگ آسیموف شد آن را به‌روز کرد.
این مؤخره را به پیوست می‌خوانید.

اتفاقات مهم در زندگی نیوتن
annus mirabilis
یعنی سال شگفت انگیز، سالی که خیلی از اکتشافات علمی خودش رو انجام داد.

Dennis Gaitsgory Wins Breakthrough Prize for Solving Part of Math’s Grand Unified Theory | Scientific American
https://www.scientificamerican.com/article/dennis-gaitsgory-wins-breakthrough-prize-for-solving-part-of-maths-grand/

#دانستنی های_ به درد_نخور ۱۹
می دونستید که آقای
Rowan Atkinson
قبل از اینکه در این مسیری که امروز شناخته شده هست قرار بگیره، در رشته برق تحصیل می کرده. لیسانسش رو از دانشگاه نیوکاسل گرفته بوده و بعد در حال تحصیل در مقطع دکتری در دانشگاه آکسفورد بوده که در اون سال ها با یه نویسنده و یه آهنگساز آشنا می شه و مسیر حرفه ایش تغییر می کنه. در نهایت البته مدرک ارشد خودش رو در رشته برق گرفت.

در قدیم فرض رو بر این گذاشته بودند که فروشنده حتما مرد هست، salesman، الان گاهی در بعضی جاها می نویسند salesperson، یعنی احتمال زن بودنش رو هم در نظر می گیرند. مساله به حدودای سال ۱۸۳۲ بر می گرده، در آلمان.
در کتاب راهنمایی که اون زمان منتشر شده و به مساله و اهمیتش پرداخته، فرض کرده که فروشنده دوره گرد مرد هست و حتی از خطرات حضور زنان در تجارت و... صحبت کرده!
البته مساله رو برای ۴۵ شهر آلمان حل کرده، به جواب ۱۲۸۵ کیلومتر رسیده که جواب خوبی محسوب می شه(در مقایسه با جواب درستش یعنی ۱۲۴۸) هر چند ظاهرا بعضی از شهرها دوبار ویزیت شده.
در سال ۱۹۵۱ هم فون نویمان مساله TSP رو به یک بازی دو نفره zero-sum تبدیل کرد و حلش کرد.

نه! ربطی نداره. چون
R^2
یا ضریب تعیین خیلی پایینه.
این ضریب به زبان ساده نشون می ده چه میزان از تغییرات یه متغیر به اون یکی وابسته است. هر چی به یک نزدیک تر یعنی رابطه ی بین اون متغیرها قوی تر. البته همیشه هم این طور نیست، می شه کلی متغیر بیخود وارد مدل کرد و با این کار شاید مقدار اون ضریب بره بالا، برای رفع این مشکل هم از مفهومی به اسم R^2 تعدیل شده استفاده می کنند.

یه مطلب جالبی که بهش برخوردم این بود که روی هر مجموعه ناتهی می شه یه عملگر دوتایی تعریف کرد که تبدیل بشه به یک گروه؟
برای مجموعه های متناهی جواب واضح است، با گروه های دوری یکی می کنیم اون ها رو. در حالت کلی تر به اصل انتخاب نیاز داریم و به طور دقیق تر اصلا امکان تعریف گروه روی یک مجموعه دلخواه با اصل انتخاب معادل می شه.
با فرض اصل انتخاب راحت می شه وجود عمل دوتایی رو ثابت کرد ولی عکسش اصلا بدیهی نیست و اثباتش سخت تر هست.
به هر حال زیبا بود...

این خوب بود، یه بارش هم کفایت می کنه.

Maryam Mirzakhani, Katherine Johnson

کاترین کلمن گوبل جانسون (زاده ۲۶ اوت ۱۹۱۸ – درگذشته ۲۴ فوریه ۲۰۲۰) یک آمریکایی-آفریقایی فیزیکدان و ریاضیدان بود که با سازمان برنامه‌های فضایی و هوانوردی ایالات متحده (ناسا) در اوایل بکارگیری رایانه‌ها همکاری می‌کرد. او بخاطر دقت در محاسبات فضانوردی معروف بود، او کارهای فنی در ناسا که به دهه‌ها می‌رسید را هدایت کرد. در طول این زمان، مسیرهای پرتابی، زمان پرتاب‌ها و مسیرهای اضطراری برگشت بسیاری از پروازها از جمله اولین مأموریت‌های ناسا در طرح مریخ با حضور جان گلن و آلن شپرد، و در سال ۱۹۶۹ پرواز به ماه با آپولو ۱۱ طی برنامه شاتلهای فضایی را محاسبه می‌کرد. محاسبات او برای موفقیت این مأموریت‌ها حیاتی بودند. جانسون همچنین محاسبات برای برنامه‌ریزی برای پرواز به کره مریخ را انجام داد.

اعداد صفر تا ده

مساله برای فکر کردن

مفاهیم
category, functor, natural homomorphism
در دهه چهل توسط
Samuel Eilenberg, Saunders Mac Lane
مطرح شد. هدف اون ها حل یک سری مشکلات مفهومی بود که در توپولوژی جبری به وجود اومده بود. خود مبحث نظریه رسته ها احتمالا ریشه های پیدایشش به خاطر مطالعه و بررسی mapها بود. در توپولوژی جبری این علاقه دو دهه قبل به خاطر
Lefschetz fixed point theorem
و مطالعه
homotopy classes of mappings
توسط Brouwer و Hopf به وجود اومد.
قبل تر توپولوژیست ها برای تمایز بین فضاها از ناورداهای عددی استفاده می کردند، ولی بعدتر و دهه ۱۹۳۰ با ظهور همولوژی دیدند که این ها نه تنها شمارشی هستند بلکه ساختار گروهی هم دارند.
حتی قبل تر پوانکاره این ساختار گروهی رو به طور ضمنی استفاده کرده بود ولی چون اون زمان مفهوم گروه فقط برای گروه های جایگشتی استفاده می شد، به طور صریح به اون اشاره نکرد.
نخستین مقاله نظریه رده ها در سال ۱۹۴۵ و توسط
Samuel Eilenberg, Saunders Mac Lane
منتشر شد. خودشون با ترس و شجاعت توام گفته بودند این مقاله صرفا برای روشنگری هست و نه حل مساله خاصی در ریاضی!
واکنش ها نسبت به مقاله متناقض بود.
Steenrod
گفته بود:
«هیچ مقاله‌ای به اندازه این بر تفکرم تأثیر نگذاشته است»
P.A. Smith
گفته بود:
«هرگز مقاله‌ای به این بی‌محتوایی نخوانده‌ام»
حتی یکی از دوستان نزدیکشون مقاله رو "بی‌محتوا" توصیف کرده بود، هرچند بعداً نقش مهمی در استخدام Eilenberg در دانشگاه کلمبیا داشت.
درحالی‌که مقاله، category theory رو به‌طور کلی معرفی کرده بود، بیشتر متن بر مسائل مرتبط با گروه‌ها و همولوژی تمرکز داشت، این باعث شد که ریاضی‌دانان احساس کنند نظریه صرفاً یک ترجمه مفهومی از نتایج قبلی است، نه چیزی واقعاً جدید.
اصطلاح معروف
"general abstract nonsense"
که معمولاً به Serge Lang نسبت داده می‌شه، در واقع توسط Steenrod به شوخی رواج پیدا کرده بود و بعدها توسط Mac Lane تثبیت شد.

بخش هایی از فصل دوم این کتاب