چرا به‌جای هیچ، چیزی وجود دارد؟ این پرسشی است که علم و فلسفه قرن‌ها با آن درگیر بوده‌اند. جیم هولت در جستجوی پاسخ، از قوانین فیزیک کوانتومی تا مفاهیم عمیق فلسفی را بررسی می‌کند.
Jim Holt
نویسنده، فیلسوف و نظریه‌پرداز آمریکایی است که در حوزه‌ی علم، ریاضیات و فلسفه فعالیت دارد. او در نشریاتی مانند
The New Yorker
The New York Times
The New York Review of Books
می‌نویسد و یکی از برجسته‌ترین متفکران
معاصر در زمینه‌ی فلسفه‌ علم وکیهان‌شناسی است. کتاب معروف او
Why Does the World Exist?
به بررسی ایده‌های علمی و فلسفی درباره منشا هستی می پردازد.

A formal system in which ∃xG(x) is provable, but which provides no method for finding the x in question, is one in which the existential quantifier fails to fulfill its intended function.
R.L. Goodstein

در مواجه با اصل انتخاب چند رویکرد رو می شه انتخاب کرد و به بررسی اون پرداخت.

▪️یکی که می شه اسمش رو Hidden Choice گذاشت، که قبلا گفتیم درباره اش. یعنی منکرین و مخالفان این اصل که خودشون در اثباتشون از این اصل استفاده کردند. مثلا لبگ از منتقدین این اصل بوده و برای اثبات قضیه زیر از این اصل استفاده کرده:
اجتماع شمارا از مجموعه های اندازه پذیر در اعداد حقیقی، اندازه پذیره(سرپینسکی متوجه این موضوع شد)

▪️بحث دیگه استفاده بیجا از این اصل هست، یعنی برای اثبات قضیه ای از این اصل استفاده شده، در صورتی که نیازی نبوده.مثلا زیر مجموعه های بسته از یک مجموعه فشرده، فشرده است و یا اینکه هر تابع پیوسته دنباله ای، پیوسته است(در اعداد حقیقی)

Absence of choice
— in mathematics as in life —
may affect outcome.
S. Shelah

▪️رویکرد دیگه فجایعی! که نبود اصل انتخاب به بار میاره.
چند تا از ریاضیدان ها مهمترین قضیه توپولوژی عمومی رو قضیه تیخونوف می دونند(حاصلضرب فضاهای فشرده، فشرده است) در نبود اصل انتخاب این قضیه fail می شه(و اصلا با هم معادل اند این دوتا)
شاید بشه گفت: بیشترین ضربه رو توپولوژی می خوره، از نبود این اصل.

یا توی جبر خطی فضاهای برداری بدون پایه می شند و یا کاردینالیتی پایه ها ممکنه یکی نباشه و یا در نظریه رسته ها
The Adjoint Functor Theorem
درست نیست دیگه.

همین طور در نظریه گراف هم نبود این اصل نتایج نامطلوبی داره.


▪️رویکرد دیگه بررسی نتایجی هست که  پذیرفتن این اصل داره، که ممکنه به نتایج عجیبی ختم بشه. مثلا معادله
f(x+y)=f(x)+f(y)
به معادله کوشی معروفه. مساله و تمرین معروفی هست در درس آنالیز که ثابت می شه توابعی که در این معادله صدق می کنند، پیوسته هستند، حالا اگر اصل انتخاب رو قبول کنیم، می شه توابعی ساخت که پیوسته نباشند! و این خودش بعدا به نتایج نامطلوب دیگه ای ختم می شه.
یا نتیجه غیرشهودی و عجیب زیر که می گه: زیرمجموعه‌ای از صفحه وجود دارد که هر خط راست را دقیقاً در دو نقطه قطع می‌کند.
همین طور نتایجی در هندسه و نظریه گروه ها که چندان مطلوب و معقول نیست.

ظاهرا در ژاپن برای بررسی توانایی دانش آموزان و دانشجوها در انتگرال گیری، آزمون های کوتاهی می گیرند، که در اون فقط چند تا سوال انتگرال هست.
این یک نمونه اش هست...

ظاهرا با کمک مفاهیم فیزیکی یه بحث قدیمی در نظریه گراف پایان یافت. بحث بین دو ریاضیدان برجسته که یکی می گفته نوع خاصی از گراف ها به ندرت یافت می شند، اون یکی معتقد بوده خیلی هم زیادند و به وفور یافت می شند. نه این درست می گفته و نه اون!
یه حالت بینابینی درسته.

New Proof Settles Decades-Old Bet About Connected Networks | Quanta Magazine
https://www.quantamagazine.org/new-proof-settles-decades-old-bet-about-connected-networks-20250418/

از نویسنده مقاله به زور خواستند که یه سری منبع به مقاله اش اضافه کنه(ارجاعات نامرتبط)، اونم برداشته مقالات رو اضافه کرده ولی در متن مقاله نوشته به زور و خواست داورها یا ویراستار این کار رو کرده.
با اینکه مقاله منتشر شده، الان ژورنال مربوط مقاله رو retract کرده. نویسنده هم گفته دارید شوخی می کنید؟ خودتون گفتید مقالات رو اضافه کنم و تاکید کرده به زور و اجبار اون ارجاعات رو اضافه کرده.

https://retractionwatch.com/2025/04/09/irrelevant-citations-journal-hydrogen-energy-elsevier-retraction/

استاد در حال توضیح یه مفهوم مهم در جبر خطی که بهش می گند:
SVD
یعنی
Singular value decomposition
یه جا دچار فراموشی هم می شه و یه چیزی یادش نمیاد.

استاد پیشکسوت «آموزش ریاضی ایران»، سرکار خانم «دکتر زهرا گویا» تماس گرفتند و فرمودند می خواهیم دیداری با دکتر بهزاد داشته باشیم اگر تو هم دوست داری، بیا. بنده عرض کردم با کمال میل. منزل «استاد دکتر مهدی بهزاد» چندان از ما دور نیست و ساعت ۵ عصر رسیدم و خانم دکتر و همسرشان «دکتر بیژن زنگنه» (استاد ریاضی دانشگاه صنعتی شریف) و همچنین برخی از هم دانشکده ای های سابق مدتی بعد رسیدند و دیداری خاطره انگیز داشتیم. استاد پیشکسوت ریاضی ایران جناب دکتر مهدی بهزاد (پدر علم نظریه گراف در ایران و چهره ماندگار ریاضیات) شخصیتی شناخته شده در جامعه علمی ایران است و نیازی به معرفی ندارد اما علاقمندان می توانند نگاهی به صفحه ویکیپدیای ایشان هم بیاندازند.

از صفحه شخصی آقای دکتر ناصح پور
پ ن: دکتر بهزاد Erdős number شون یک هست.

چند مساله از سال های دور...

با یک روز تاخیر

اوایل قرن هفدهم گالیله سعی کرد مجموعه اعداد طبیعی و اعداد مربع کامل رو با هم مقایسه کنه. استدلال گالیله این شکلی بود که:
چون هر عدد مربع کامل دقیقاً یک ریشه مثبت داره، و هر عدد طبیعی ریشهٔ یک عدد مربع کامل است، بنابراین باید تعداد اعداد مربع کامل و اعداد طبیعی برابر باشد.
از اون طرف می دید که بعضی اعداد طبیعی، مربع کامل نیستند یعنی اگر نسبت اعداد مربع کامل رو به اعداد طبیعی در بازه های مختلف و هر بار بزرگ تر حساب کنیم، در نهایت به صفر میل می کنه.گالیله نتونست این پارادوکس رو حل کنه و فکر می کرد نمی شه بین اندازه مجموعه های نامتناهی تمایز قائل بشیم.
در سال ۱۸۷۰ کانتور تعریف زیر رو برای برابر بودن تعداد اعضای دو مجموعه ارائه کرد:
دو مجموعه تعداد اعضاشون یکیه یا هم مقدار یا هم کاردینال هستند اگر بشه یه تابع یک به یک و پوشا بین اون ها تعریف کرد.
بنابراین استدلال اول گالیله درست بود و اون دو مجموعه هم اندازه هستند.
مجموعه هایی هست که تعداد اعضاشون از تعداد اعضای مجموعه اعداد طبیعی بیشتر هست. در واقع مجموعه اعداد طبیعی کوچکترین مجموعه نامتناهی محسوب می شه و اندازه اون رو با 0א‎ نشون می دیم.(خونده می شه آلف زیرو یا صفر)
یکی از دستاوردهای بزرگ کانتور در منطق این بود که استدلال گالیله را به عنوان یک پارادوکس حل‌نشدنی در نظر نگرفت، بلکه شروع به توسعه نظریه‌ای غنی درباره بی‌نهایت‌ها کرد. حتی ثابت کرد که اعداد گویا هم به اندازه اعداد طبیعی عضو دارند. ولی در مورد اعداد حقیقی استدلال درخشانی داشت که اگر اعضای R رو لیست کنیم، می شه از اون ها عضوی دیگه به دست آورد که در اون لیست نباشه(مطابق تصویر پیوست)
پس تعداد اعضای R بیشتر از N می شه و اون رو با
2^ℵ0
نشون می دیم.
‌کانتور می گفت: می شه تعداد اعضای هر دو مجموعه رو مقایسه کرد.
ازℵ1 برای نشون دادن اولین مجموعه ناشمارا(یعنی بیشتر از N عضو داره) و به همین ترتیب و داریم:
ℵ0<ℵ1<ℵ2<....

2^ℵ0
در این لیست کجاست؟

در ادامه و در چند بخش دیگه، از این مقدمات به یکی از نتایجی که S. Shelah و ریاضیدان دیگه ای چند سال پیش به اون رسیدند اشاره می شه.

سی و یکمین روز سال

سوال اینجا است:
اگر
ℵ0<ℵ1<ℵ2<....
در این صورت
2^ℵ0
کجای این لیست قرار می گیره؟
این سوال در ZFC
Undecidable
هست.
در بعضی از مدل ها داریم:
2^ℵ0=ℵ1
یعنی بعد از اعداد طبيعی، اعداد حقیقی قرار داره. یعنی اعداد حقیقی اولین مجموعه غیرشمارا می شه. این همون چیزیه که بهش می گند:
فرضیه پیوستار
ولی خب مدل ها و تفسیرهایی هست که این رابطه برقرار نیست و مثلا داریم:
2^ℵ0=ℵ16
[تعبیر مدل یا تفسیر و همین طور
Undecidable
رو می شه اینجوری توضیح داد، معادله
x^2=2
جواب داره یا نه؟
هم R و هم Q از یه سری قواعد جمع و ضرب پیروی می کنند. جواب اون سوال بستگی داره در R دارید بحث می کنید یا در Q. پس همین جوری نمی شه جواب داد و
Undecidable
هست.
با اصول ZFC می تونی تکلیف این گزاره که جمع زوایای مثلث ۱۸۰ می شه یا نه رو مشخص کنی ولی رابطه بین
2^ℵ0  , ℵ1
رو نمی تونی تعیین کنی]
کلا در بخشی از قرن گذشته ریاضی دان ها کارشون این بوده مدل های مختلفی بسازند که بین اون دو تا کاردینال، کاردینال های زیادی وجود داشته و بخشی از نظریه مجموعه ها تحلیل همین مدل ها بوده. حتی مدل هایی که برای هر دو اون ها، تساوی بین اون دو عدد برقرار هست، رفتارهای خیلی متفاوتی با هم دارند.

Every positive even integer can be written as the sum of two primes.

این سایت به منظور بررسی حدس گلدباخ راه افتاده، یه مهندس نرم افزار ژاپنی اون رو راه انداخته(به عنوان چالش شخصی)
ظاهرا رکورد هم زده. می شه مشارکت هم کرد.

https://gridbach.com/

این هم جالب بود، از این تیپ سوالات که سال ها به عنوان سوال ریاضی و یا تست هوش بیشتر در مقاطع پایین تر استفاده می شده و هنوز هم می شه از اساس غلط هست و جواب درستش اینه که اطلاعات کافی نیست برای حل مساله.
مثل این تست IQ، که جمله بعدی دنباله چی می شه؟

پرلمان درباره نپذیرفتن جایزه فیلدز
ظاهرا در اون مقطع بیکار هم بوده...

این هم تصویر معروفی هست که در کتاب ها و... زیاد به اون اشاره می شه. یه مفهومی هست که شنیدید حتما، به اسم
Survivorship Bias
سوگیری بقا
تو جنگ جهانی دوم بررسی می کردند که کدوم قسمت هواپیماها بیشتر آسیب دیده که اون رو تقویت کنند، دیدند قسمت های قرمز. پس گفتند همین ها رو باید تقویت کنیم.
ریاضیدان آمریکایی
Abraham Wald
استدلال کرد که این هواپیماها با همین آسیب برگشتند، یعنی این بخش ها مستحکم هستند و اون نقاطی که گلوله نخوردند آسیب پذیرترند، چون قسمت هایی که گلوله نخورده یعنی هواپیما آسیب می بینه و بر نمی گرده.
البته تنها دستاورد زندگی اش همین نبوده(که الان در حد معماهای معمولی به نظر میاد)
در زمینه آمار و OR کار می کرده و مدتی در مرکز تحقیقات آماری(SRG) فعالیت می کرده. پسرش هم فیزیک دان برجسته ای بوده ظاهرا.

طبق انتظار چین اول شد.
آمریکا دوم(که نصف شرکت کننده ها اسم و قیافه شون می خوره چینی باشند)
استرالیا هم سوم
چهار تا شرکت کننده آمریکا همه شون طلا گرفتند و از چهار تا شرکت کننده چینی سه تا طلا و یکی نقره و چون امتیازی بالاتر بودند اول شدند.
https://www.egmo.org/egmos/egmo14/scoreboard/

نتیجه سال ۲۰۲۳، چین اول، آمریکا دوم، استرالیا سوم
همه چینی بودند!