A one-line proof of the infinitude of primes

#primenumbers #proof #video

Source

جناب اندرو هوبرمن(از سلبریتی های حوزه علم هستند!)، که اینجا این سوتی رو می ده. البته بعدا پذیرفت خطای خودش رو.
بازتاب های زیادی داشت این خطاش.
احتمال وقوع رخدادی در یک دوره ۲۰ درصد هست، استاد می گه بعد از شش دوره می شه ۱۲۰ درصد!
درصورتی که باید از فرمول
1-(1-p)^n
استفاده کنه و جواب درست می شه حدودا ۷۴ درصد.

این پسر نابغه کانادایی هم سروصدا کرده.تو ۱۵ سالگی وارد دانشگاه شد. لیسانسش رو در ریاضی محض سه ساله گرفت و فوقش رو یک ساله! در مسابقات پاتنام هم ۳۹ گرفت!
حالا چی کار کرده؟ از یه پلتفرم به اسم indexed حدود ۶۵ میلیون دلار سرقت کرده. اونا فهمیدند، گفتند: تو که نمی تونی خرج کنی این پول رو، بیا ده درصد بگیر به عنوان جایزه و کوتاه بیا. اینم می گه: نه. می گه:
Code is Law
یعنی اگر از نظر کدنویسی کاری ممکن باشه، قانونی هم هست. ظاهرا هنوز تحت تعقیب هست...

با توجه به توضیحاتی که اومده، احتمالا در سال ۲۰۱۸(شاید هم ۲۰۱۹) در این مسابقات شرکت کرده. نمره اش بالا حساب می شه(میانه نمرات ۱۰ هست، یعنی نصف شرکت کننده ها زیر ۱۰ می گیرند)
سوالات سال ۲۰۱۸ اینا است.

فیزیک و گربه‌ها

در سال ۱۹۷۵، جک هدرینگتون، مقاله‌ای نوشت و در سراسر آن از ضمیر «ما» استفاده کرد. وقتی سردبیر ژورنال اعلام کرد که باید نویسندهٔ دوم نیز وجود داشته باشد، هدرینگتون برای آنکه مجبور به تایپ دوبارهٔ مقاله نشود، اسم گربه‌اش «چستر» را به‌عنوان همکار نویسنده درج کرد. اکنون این گربه یک پروفایل رسمی با اسم اِف. دی. سی. ویلارد در گوگل اسکالر دارد که نشان می‌دهد مقالاتش تا امروز ۱۱۳ بار مورد استناد پژوهشگران دیگر قرار گرفته است!

گربه‌ها موجودات عجیبی هستند. از هر جایی و هر طوری که رهایشان کنی، دست آخر روی پنجه‌ فرود می‌آیند. بدن گربه نه یک استوانهٔ صُلب، بلکه مجموعه‌ای انعطاف‌پذیر از دو بخشِ جداگانه است که می‌تواند در جهات مخالف یکدیگر خم شود و بچرخد. چگونگی انجام این کار، اولین بار در سال ۱۹۶۹ توسط یک مدل ریاضی توضیح داده شد. انعاطف‌پذیری زیاد گربه‌ها و این‌که در هر ظرفی جا می‌شوند و شکل آن را به خود می‌گیرند هم سبب شده تا مردم به شوخی بگویند گربه مایع است. ارک-آنتوان فاردین، در مقاله‌ای با عنوانِ «گربه‌های مایع»، از آن‌ها برای توضیح چند مفهوم پایه‌ای در رئولوژی (مطالعه جریان و تغییر شکل مواد) استفاده کرده. این پژوهش شوخ‌طبعانه باعث شد فاردین در سال ۲۰۱۷ جایزهٔ ایگ نوبل فیزیک را دریافت کند.

اما در دنیای فیزیک، مشهورترین گربه، «گربهٔ شرودینگر» است. این آزمایش فکری را اروین شرودینگر، ابتدا برای انتقاد از «تفسیر کپنهاگی مکانیک کوانتومی» مطرح کرد. هدف او تأکید بر تناقضی بود که در قلب نظریهٔ کوانتوم وجود داشت: گربه‌ای که هم‌زمان هم زنده و هم مرده است. شرودینگر شاید صرفاً به دنبال تأکید بر یک نکتهٔ عجیب و غیرمعمول بود؛ اما برهم‌نهیِ کوانتومی که گربهٔ فرضی‌اش توصیف می‌کند کاملاً واقعی است.

در فیزیکِ نور می‌توان دو حالت نوری را که فازهای متفاوت و متضادی دارند با هم ترکیب کرد و وضعیتی به نام «حالت گربه‌ای» ساخت. اگر شدت نور در چنین حالتی اندک باشد، به آن «حالت بچه‌گربه‌ای» می‌گویند. این «حالت‌های گربه‌ای» صرفاً کنجکاوی نظری نیستند؛ آنها کاربردهایی جدی در حوزهٔ اطلاعات کوانتومی دارند. برای نمونه، «کدهای گربه‌ای» یکی از روش‌های معروف برای تصحیح خطا در رایانش کوانتومی هستند.

در داستان آلیس در سرزمین عجایب، «گربهٔ چشایر» می‌تواند به‌تدریج ناپدید شود و تنها لبخندش را در هوا باقی بگذارد. اخیراً دانشمندان حالتی کوانتومی به نام «گربهٔ چشایرِ کوانتومی» را شناسایی کرده‌اند که در آن ویژگی‌های یک ذره (مانند تکانهٔ مغناطیسی) می‌تواند از خودِ ذره جدا شده و در مسیر متفاوتی حرکت کند. این گربه‌های عجیب حتی می‌توانند ویژگی‌هایشان (مانند همان لبخند معروف) را با هم مبادله کنند!

🔗 nature.com/articles/s42254-025-00824-6
----------------------------------------------
@sitpor  |  sitpor.org
instagram.com/sitpor_media

چرا به‌جای هیچ، چیزی وجود دارد؟ این پرسشی است که علم و فلسفه قرن‌ها با آن درگیر بوده‌اند. جیم هولت در جستجوی پاسخ، از قوانین فیزیک کوانتومی تا مفاهیم عمیق فلسفی را بررسی می‌کند.
Jim Holt
نویسنده، فیلسوف و نظریه‌پرداز آمریکایی است که در حوزه‌ی علم، ریاضیات و فلسفه فعالیت دارد. او در نشریاتی مانند
The New Yorker
The New York Times
The New York Review of Books
می‌نویسد و یکی از برجسته‌ترین متفکران
معاصر در زمینه‌ی فلسفه‌ علم وکیهان‌شناسی است. کتاب معروف او
Why Does the World Exist?
به بررسی ایده‌های علمی و فلسفی درباره منشا هستی می پردازد.

A formal system in which ∃xG(x) is provable, but which provides no method for finding the x in question, is one in which the existential quantifier fails to fulfill its intended function.
R.L. Goodstein

در مواجه با اصل انتخاب چند رویکرد رو می شه انتخاب کرد و به بررسی اون پرداخت.

▪️یکی که می شه اسمش رو Hidden Choice گذاشت، که قبلا گفتیم درباره اش. یعنی منکرین و مخالفان این اصل که خودشون در اثباتشون از این اصل استفاده کردند. مثلا لبگ از منتقدین این اصل بوده و برای اثبات قضیه زیر از این اصل استفاده کرده:
اجتماع شمارا از مجموعه های اندازه پذیر در اعداد حقیقی، اندازه پذیره(سرپینسکی متوجه این موضوع شد)

▪️بحث دیگه استفاده بیجا از این اصل هست، یعنی برای اثبات قضیه ای از این اصل استفاده شده، در صورتی که نیازی نبوده.مثلا زیر مجموعه های بسته از یک مجموعه فشرده، فشرده است و یا اینکه هر تابع پیوسته دنباله ای، پیوسته است(در اعداد حقیقی)

Absence of choice
— in mathematics as in life —
may affect outcome.
S. Shelah

▪️رویکرد دیگه فجایعی! که نبود اصل انتخاب به بار میاره.
چند تا از ریاضیدان ها مهمترین قضیه توپولوژی عمومی رو قضیه تیخونوف می دونند(حاصلضرب فضاهای فشرده، فشرده است) در نبود اصل انتخاب این قضیه fail می شه(و اصلا با هم معادل اند این دوتا)
شاید بشه گفت: بیشترین ضربه رو توپولوژی می خوره، از نبود این اصل.

یا توی جبر خطی فضاهای برداری بدون پایه می شند و یا کاردینالیتی پایه ها ممکنه یکی نباشه و یا در نظریه رسته ها
The Adjoint Functor Theorem
درست نیست دیگه.

همین طور در نظریه گراف هم نبود این اصل نتایج نامطلوبی داره.


▪️رویکرد دیگه بررسی نتایجی هست که  پذیرفتن این اصل داره، که ممکنه به نتایج عجیبی ختم بشه. مثلا معادله
f(x+y)=f(x)+f(y)
به معادله کوشی معروفه. مساله و تمرین معروفی هست در درس آنالیز که ثابت می شه توابعی که در این معادله صدق می کنند، پیوسته هستند، حالا اگر اصل انتخاب رو قبول کنیم، می شه توابعی ساخت که پیوسته نباشند! و این خودش بعدا به نتایج نامطلوب دیگه ای ختم می شه.
یا نتیجه غیرشهودی و عجیب زیر که می گه: زیرمجموعه‌ای از صفحه وجود دارد که هر خط راست را دقیقاً در دو نقطه قطع می‌کند.
همین طور نتایجی در هندسه و نظریه گروه ها که چندان مطلوب و معقول نیست.

ظاهرا در ژاپن برای بررسی توانایی دانش آموزان و دانشجوها در انتگرال گیری، آزمون های کوتاهی می گیرند، که در اون فقط چند تا سوال انتگرال هست.
این یک نمونه اش هست...

ظاهرا با کمک مفاهیم فیزیکی یه بحث قدیمی در نظریه گراف پایان یافت. بحث بین دو ریاضیدان برجسته که یکی می گفته نوع خاصی از گراف ها به ندرت یافت می شند، اون یکی معتقد بوده خیلی هم زیادند و به وفور یافت می شند. نه این درست می گفته و نه اون!
یه حالت بینابینی درسته.

New Proof Settles Decades-Old Bet About Connected Networks | Quanta Magazine
https://www.quantamagazine.org/new-proof-settles-decades-old-bet-about-connected-networks-20250418/

از نویسنده مقاله به زور خواستند که یه سری منبع به مقاله اش اضافه کنه(ارجاعات نامرتبط)، اونم برداشته مقالات رو اضافه کرده ولی در متن مقاله نوشته به زور و خواست داورها یا ویراستار این کار رو کرده.
با اینکه مقاله منتشر شده، الان ژورنال مربوط مقاله رو retract کرده. نویسنده هم گفته دارید شوخی می کنید؟ خودتون گفتید مقالات رو اضافه کنم و تاکید کرده به زور و اجبار اون ارجاعات رو اضافه کرده.

https://retractionwatch.com/2025/04/09/irrelevant-citations-journal-hydrogen-energy-elsevier-retraction/

استاد در حال توضیح یه مفهوم مهم در جبر خطی که بهش می گند:
SVD
یعنی
Singular value decomposition
یه جا دچار فراموشی هم می شه و یه چیزی یادش نمیاد.

استاد پیشکسوت «آموزش ریاضی ایران»، سرکار خانم «دکتر زهرا گویا» تماس گرفتند و فرمودند می خواهیم دیداری با دکتر بهزاد داشته باشیم اگر تو هم دوست داری، بیا. بنده عرض کردم با کمال میل. منزل «استاد دکتر مهدی بهزاد» چندان از ما دور نیست و ساعت ۵ عصر رسیدم و خانم دکتر و همسرشان «دکتر بیژن زنگنه» (استاد ریاضی دانشگاه صنعتی شریف) و همچنین برخی از هم دانشکده ای های سابق مدتی بعد رسیدند و دیداری خاطره انگیز داشتیم. استاد پیشکسوت ریاضی ایران جناب دکتر مهدی بهزاد (پدر علم نظریه گراف در ایران و چهره ماندگار ریاضیات) شخصیتی شناخته شده در جامعه علمی ایران است و نیازی به معرفی ندارد اما علاقمندان می توانند نگاهی به صفحه ویکیپدیای ایشان هم بیاندازند.

از صفحه شخصی آقای دکتر ناصح پور
پ ن: دکتر بهزاد Erdős number شون یک هست.

چند مساله از سال های دور...

با یک روز تاخیر

اوایل قرن هفدهم گالیله سعی کرد مجموعه اعداد طبیعی و اعداد مربع کامل رو با هم مقایسه کنه. استدلال گالیله این شکلی بود که:
چون هر عدد مربع کامل دقیقاً یک ریشه مثبت داره، و هر عدد طبیعی ریشهٔ یک عدد مربع کامل است، بنابراین باید تعداد اعداد مربع کامل و اعداد طبیعی برابر باشد.
از اون طرف می دید که بعضی اعداد طبیعی، مربع کامل نیستند یعنی اگر نسبت اعداد مربع کامل رو به اعداد طبیعی در بازه های مختلف و هر بار بزرگ تر حساب کنیم، در نهایت به صفر میل می کنه.گالیله نتونست این پارادوکس رو حل کنه و فکر می کرد نمی شه بین اندازه مجموعه های نامتناهی تمایز قائل بشیم.
در سال ۱۸۷۰ کانتور تعریف زیر رو برای برابر بودن تعداد اعضای دو مجموعه ارائه کرد:
دو مجموعه تعداد اعضاشون یکیه یا هم مقدار یا هم کاردینال هستند اگر بشه یه تابع یک به یک و پوشا بین اون ها تعریف کرد.
بنابراین استدلال اول گالیله درست بود و اون دو مجموعه هم اندازه هستند.
مجموعه هایی هست که تعداد اعضاشون از تعداد اعضای مجموعه اعداد طبیعی بیشتر هست. در واقع مجموعه اعداد طبیعی کوچکترین مجموعه نامتناهی محسوب می شه و اندازه اون رو با 0א‎ نشون می دیم.(خونده می شه آلف زیرو یا صفر)
یکی از دستاوردهای بزرگ کانتور در منطق این بود که استدلال گالیله را به عنوان یک پارادوکس حل‌نشدنی در نظر نگرفت، بلکه شروع به توسعه نظریه‌ای غنی درباره بی‌نهایت‌ها کرد. حتی ثابت کرد که اعداد گویا هم به اندازه اعداد طبیعی عضو دارند. ولی در مورد اعداد حقیقی استدلال درخشانی داشت که اگر اعضای R رو لیست کنیم، می شه از اون ها عضوی دیگه به دست آورد که در اون لیست نباشه(مطابق تصویر پیوست)
پس تعداد اعضای R بیشتر از N می شه و اون رو با
2^ℵ0
نشون می دیم.
‌کانتور می گفت: می شه تعداد اعضای هر دو مجموعه رو مقایسه کرد.
ازℵ1 برای نشون دادن اولین مجموعه ناشمارا(یعنی بیشتر از N عضو داره) و به همین ترتیب و داریم:
ℵ0<ℵ1<ℵ2<....

2^ℵ0
در این لیست کجاست؟

در ادامه و در چند بخش دیگه، از این مقدمات به یکی از نتایجی که S. Shelah و ریاضیدان دیگه ای چند سال پیش به اون رسیدند اشاره می شه.