این پسر رو یادتونه؟ هفتاد گیگ از مقالات پژوهشی دانشگاه‌ها رو به شکل غیرقانونی دانلود کرده بود، چون انقدر دلخوش بود که باور داشت این چیزها نباید پولی باشند و همه مردم باید بتونند استفاده کنند. سی و پنج سال زندان براش بریدند، که تحمل تصور کردنش رو هم نداشت و خودکشی کرد. الان معلوم شده شرکت متا بیش از هشتاد ترابایت از کتاب‌هایی که تو سایت‌های غیرقانونی تورنت قرار داشته رو کپی و برای تمرین دادن هوش مصنوعیش استفاده کرده. و آب از آب تکون نخورده. حداکثر یه جریمه‌ای براشون تعیین می‌کنند، که در برابر جیب پر پول متا، پول خرد هم نخواهد بود.
وقتی قاعده کلی اینه که نظام مجازات ضعیف‌کشه، باید سعی کنی کمک به همنوعات رو از طریق قدرت انجام بدی، نه از طریق فدا کردن خود. این ریسک وجود داره که وقتی به قدرت رسیدی دیگه به همنوعات فکر نکنی. ولی وجود این ریسک، این واقعیت که «راهش اینه» رو تغییر نمیده.

مدل دیکِی (Model Decay) چیه و چرا اتفاق میافته؟
مدل دیکِی یا "زوال مدل" یکی از پدیده‌هاییه که توی دنیای هوش مصنوعی و ماشین لرنینگ رخ میده. دقیقاً مثل یه ماشین که با گذشت زمان فرسوده میشه، مدلهای کامپیوتری هم بعد از مدتی دقتشون کم میشه و دیگه نمیتونن مثل قبل خوب کار کنن. این اتفاق معمولاً به خاطر تغییرات تو داده‌های واقعیه که مدل دیگه با شرایط جدید سازگاری نداره. مثلاً فرض کنید یه مدل هوش مصنوعی رو برای پیش‌بینی قیمت خانه آموزش دادن. اگه بعد از چند سال شرایط بازار عوض بشه (مثلاً تورم زیاد شه یا سبک زندگی مردم تغییر کنه)، مدل دیگه نتونسته درست پیش‌بینی کنه. اینجاست که میگن model decay رخ داده!

چرا مدلها دچار زوال میشن؟
دلایل اصلی این پدیده رو میشه اینطور توضیح داد:
۱. تغییر رفتار داده‌ها: دنیای واقعی همیشه در حال تغییره. مثلاً عادت‌های خرید مردم، ترندهای شبکه‌های اجتماعی، یا حتی زبان روزمره ممکنه عوض بشه. اگه مدل با داده‌های قدیمی آموزش دیده باشه، نمیتونه این تغییرات رو درک کنه.
۲. کمبود آپدیت: بعضی مدلها رو فقط یه بار آموزش میدن و بعد فراموششون میکنن! در حالی که داده‌های جدید باید مدام به مدل اضافه بشن تا اطلاعاتش به‌روز بمونه.
۳. مشکلات فنی: گاهی اوقات خطاهای کوچک تو کدنویسی یا طراحی مدل، بعد از مدتی خودشون رو نشون میدن و باعث افت عملکرد میشن.

مثلاً توی یه مقاله مرتبط با معماری مدرن اشاره شده که مصالح ساختمانی قدیمی با گذشت زمان دچار پوسیدگی میشن. مدلهای کامپیوتری هم دقیقاً همینطورن! اگه مراقبشون نباشیم، کمکم کارایی‌شون از بین میره.

چطور از Model Decay جلوگیری کنیم؟
راه‌حل‌های ساده اما مهم:

آپدیت مداوم: مدلها رو با داده‌های جدید دوباره آموزش بدین. مثلاً هر شش ماه یه بار اطلاعات تازه بهشون بدین.

مانیتورینگ: همیشه عملکرد مدل رو چک کنین. اگه دیدین دقتش کم شده، سریع وارد عمل بشین.

استفاده از تکنیک‌های سازگار: بعضی مدلها قابلیت "یادگیری تطبیقی" دارن و میتونن خودشون رو با تغییرات هماهنگ کنن.

یه مثال فانی در این مورد خوندم که میگفت مدلی که حدود شش ماه قبل ترین شده بوده و دقت بالای ۹۵ درصد داشته، بعد شش ماه واسه پیش‌بینی سکه پرتاب میکرده و با شیر و خط جواب کاربر رو میداده.

تکنیک‌های سازگار (Adaptive Techniques) چطور به مدلها کمک میکنن؟

تکنیک‌های سازگار مثل سیستم ایمنی بدن عمل میکنن! این روشها باعث میشن مدلهای هوش مصنوعی بتونن خودشون رو با تغییرات دنیای واقعی هماهنگ کنن و دچار زوال نشن.

۱. یادگیری تطبیقی (Online Learning)
این روش مثل این میمونه که مدل هر روز چیزهای جدید یاد بگیره. برخلاف آموزش قدیمی که مدل فقط یه بار آموزش میبینه، اینجا مدل مدام با داده‌های تازه تغذیه میشه و خودش رو اصلاح میکنه.

مثال: فرض کنید یه فروشگاه آنلاین داره پیشنهادهای خاص به کاربران میده. اگه مدلش با Online Learning کار کنه، میتونه سلیقه‌ی جدید مشتری‌ها رو تو همان لحظه تشخیص بده و پیشنهادها رو عوض کنه. حتی اگه مردم ناگهان به‌جای لباس تابستونی، دنبال کت و شلوار برفی باشن، مدل سریع متوجه میشه!

۲. انتقال دانش (Transfer Learning)
بعضی مدلها میتونن دانش قدیمی‌شون رو به کارهای جدید منتقل کنن. مثلاً یه مدلی که برای تشخیص تصویر گربه آموزش دیده، میتونه با کمی تنظیم، سرطان پوست رو هم تشخیص بده!

چطوری؟ مدلهای پیش‌ساخته (مثل ChatGPT یا مدلهای بینایی کامپیوتر) رو برمیدارن و فقط لایه‌های آخرش رو با داده‌های جدید آموزش میدن. اینطوری نیازی نیست از صفر شروع کنن و در وقت و هزینه صرفه‌جویی میشه.

۳. مدلهای ترکیبی (Ensemble Methods)
این تکنیک میگه: "تنها انجامش نده، با همکاری بهتره!" چندتا مدل مختلف رو باهم ترکیب میکنن تا خطاشون رو تصحیح کنن.

مثال: تصور کن سه تا مدل داریم که پیشبینی آب‌وهوا میکنن. اگه یکی بگه بارونیه، یکی بگه آفتابیه، و سومی بگه ابریه، Ensemble Methods میان پیش‌بینی نهایی رو براساس رأی اکثریت یا میانگین‌گیری مشخص میکنن. اینطوری احتمال خطا کمتر میشه.

۴. حلقه‌های بازخورد (Feedback Loops)
اینجا مدل از کاربرها یاد میگیره. مثلاً اگه مدل یه پیش‌بینی غلط بده، کاربر بهش میگه "این اشتباهه!" و مدل از این بازخورد استفاده میکنه تا دفعه‌ی بعد بهتر عمل کنه.

کاربرد واقعی: توی اپلیکیشن‌های ترجمه، وقتی کاربران ترجمه‌های اشتباه رو اصلاح میکنن، مدل از این اطلاعات برای بهبود خودش استفاده میکنه.

۵. تنظیم خودکار (AutoML)
این تکنیک یه جورایی رباتِ تعمیرکار مدلهاست! AutoML به‌صورت خودکار پارامترهای مدل رو تنظیم میکنه یا حتی معماری مدل رو عوض میکنه تا با داده‌های جدید سازگار بشه.

مزیت: دیگه نیازی نیست مهندس‌ها مدام دستی تنظیمات رو عوض کنن. خود سیستم هوشمندش میفهمه چی لازمه!

امروز داشتم یکم در مورد نظریه مجموعه‌ها میخوندم و یسری مطلب جمع کردم، به مرور همینجا میذارم و بنظرم توی ریاضیات مبحث خیلی جالبیه برای من حداقل.

قدرت پیوستار (Cardinality of the Continuum)
مفهوم قدرت پیوستار یکی از ایده‌های مهم توی نظریه مجموعه‌ها و تحلیل ریاضیه که به اندازه مجموعه‌های نامتناهی، به ویژه مجموعه اعداد حقیقی، می‌پردازه. کلمه "پیوستار" به خط اعداد حقیقی اشاره داره که پیوسته و غیرقابل شمارش هست. قدرت پیوستار با نماد C یا 2^ℵ0 نشون داده میشه، که در اون ℵ0(الف-صفر، aleph null) نشون‌دهنده اندازه مجموعه اعداد طبیعیه.

قدرت مجموعه یک روش برای اندازه‌گیری "تعداد عناصر" یک مجموعه است. برای مجموعه‌های متناهی، قدرت مجموعه به سادگی برابر با تعداد عناصر اونه. اما برای مجموعه‌های نامتناهی، این مفهوم پیچیده‌تر می‌شه. دو مجموعه دارای قدرت یکسانی‌ان اگه بشه بین عناصر آنها یک تناظر یک به یک برقرار کرد. مثلاً، مجموعه اعداد طبیعی و مجموعه اعداد زوج هر دو قدرت یکسانی دارت چون می‌شه آنها را به صورت جفت‌های منحصر به فرد مرتب کرد.

مجموعه‌های شمارا در مقابل مجموعه‌های ناشمارا
کوچکترین قدرت نامتناهی ℵ0ئه که به اون "شمارا" می‌گن. مجموعه‌هایی مثل اعداد طبیعی، اعداد صحیح و اعداد گویا همگی شمارا هستن چون می‌شه عناصر اونا رو به ترتیب لیست کرد. اما مجموعه اعداد حقیقی ناشماراست، یعنی هیچ راهی وجود نداره که همه اعداد حقیقی رو به ترتیب لیست کنیم. این موضوع رو گئورگ کانتور با استفاده از روش معروفش به نام "استدلال قطری" ثابت کرد.

قدرت پیوستار
قدرت پیوستار (C) اندازه مجموعه اعداد حقیقی‌ئه. این عدد از ℵ0 بزرگ‌تره، یعنی تعداد اعداد حقیقی "بیشتر" از اعداد طبیعی هست. کانتور نشون داد C = 2^ℵ0، که این رابطه از این واقعیت ناشی می‌شه که مجموعه اعداد حقیقی را می‌تونیم با مجموعه توانی اعداد طبیعی (یعنی مجموعه همه زیرمجموعه‌های اعداد طبیعی) به صورت یک به یک مطابقت داد.

ویژگی‌ها و اهمیت
ناشمارا بودن: پیوستار ناشماراست، یعنی نمی‌شه اون رو با اعداد طبیعی به صورت یک به یک مطابقت داد. این ویژگی اون رو از مجموعه‌های شمارا مثل اعداد صحیح یا گویا متمایز می‌کنه.

فرضیه پیوستار: یکی از معروف‌ترین مسائل ریاضی، فرضیه پیوستار (CH)ئه که می‌پرسه آیا قدرتی بین ℵ0 و C وجود داره یا نه.کورت گودل و پل کوهن نشون دادن که این فرضیه مستقل از اصول استاندارد نظریه مجموعه‌ها (ZFC)ست، یعنی نمی‌شه اون را با این اصول اثبات یا رد کرد.

کاربردها: مفهوم پیوستار در تحلیل حقیقی، توپولوژی و نظریه اندازه نقش محوری داره. مثلاً، خط اعداد حقیقی پایه‌ای برای تعریف مفاهیمی مانند پیوستگی، حد و انتگراله.

تو دهه‌های پایانی قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم، ریاضیدان‌ها با پدیدار شدن پارادوکس‌هایی مثل پارادوکس راسل مواجه شدن؛ یعنی وقتی بدون محدودیت به تعریف مجموعه‌ها فکر می‌کردن، یه سری مشکلات منطقی به وجود می‌اومد. برای همین، ریاضیدان‌هایی مثل ارنست زرملو و آبراهام فرانکل تصمیم گرفتن تا یک سیستم اصولی (axiomatic system) برای نظریه مجموعه‌ها تعریف کنن تا بتونیم بدون مشکل به ساختارهای ریاضی بپردازیم.

تاریخچه‌ی اصول زرملو-فرانکل
ارنست زرملو
ارنست زرملو در اوایل قرن بیستم (حدود سال 1908) اولین بار اصولی رو برای نظریه‌ی مجموعه‌ها تدوین کرد. اون متوجه شده بود که باید از هرگونه فرضیات مبهم دوری کرد و قوانین مشخص و دقیقی رو برای تعریف مجموعه‌ها ارائه داد.

آبراهام فرانکل
بعد از زرملو، آبراهام فرانکل چندتا از نکات ضعف سیستم اولیه‌ی زرملو رو تکمیل کرد و تغییراتی اضافه کرد تا سیستم قوی‌تر و بدون تناقض بشه. به همین دلیل سیستم امروزی رو معمولاً با نام ZF (Zermelo-Fraenkel) می‌شناسیم. بعضی مواقع هم یه اصل اضافی به نام «اصل انتخاب» اضافه می‌کنن که سیستم رو به ZFC تبدیل می‌کنه؛ اما اصل انتخاب به تنهایی کمی جنجالی و متفاوت هست.

اصول زرملو-فرانکل
سیستم ZF شامل چند اصل هست که با هم به ما اجازه میدن به صورت منطقی و دقیق درباره‌ی مجموعه‌ها فکر کنیم. حالا به طور خلاصه هر کدوم رو توضیح می‌دم.

1. اصل توسعه‌پذیری (Extensionality)
این اصل خیلی ساده و مهمه: دو مجموعه دقیقاً وقتی برابرند که اعضایشون هم یکی باشن. یعنی فرق نمی‌کنه چطور یا به چه ترتیبی نوشته شدن؛ فقط مهمه که چه عناصری داخلشون وجود داره.
مثال: اگر A = {1, 2, 3} و B = {3, 2, 1}، طبق اصل توسعه‌پذیری A و B برابرند.

2. اصل مجموعه تهی (Empty Set)
این اصل می‌گه که یه مجموعه‌ای وجود داره که هیچ عضوی نداره؛ یعنی مجموعه تهی.
مثال: نشون دادن اینکه مجموعه‌ی ∅ وجود داره.

3. اصل جفت‌سازی (Pairing)
با این اصل می‌تونیم برای هر دو مجموعه‌ی دلخواه، یه مجموعه جدید بسازیم که دقیقا اون دو تا رو به عنوان اعضا داشته باشه.
مثال: اگر A و B دو مجموعه باشن، اصل جفت‌سازی تضمین می‌کنه که مجموعه {A, B} وجود داره.

4. اصل اتحاد (Union)
اگر یه مجموعه داریم که خودش شامل چند مجموعه‌س (مثلاً یک دسته از مجموعه‌ها)، با اصل اتحاد می‌تونیم یه مجموعه بسازیم که همه‌ی اعضای داخل مجموعه‌های فرعی رو دربر بگیره.
مثال: اگر S = {{1, 2}, {3}, {4, 5}}، اصل اتحاد می‌گه مجموعه‌ی {1, 2, 3, 4, 5} وجود داره.

5. اصل مجموعه توانی (Power Set)
این اصل بیان می‌کنه که برای هر مجموعه‌ای، مجموعه‌ای وجود داره که شامل تمام زیرمجموعه‌های اون مجموعه باشه.
مثال: اگر A = {a, b}، مجموعه توانی A یعنی P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.

6. اصل بینهایت (Infinity)
برای اینکه بتونیم درباره‌ی اعداد طبیعی صحبت کنیم، باید یه مجموعه بینهایت وجود داشته باشه. این اصل تضمین می‌کنه که حداقل یه مجموعه بینهایت وجود داره.
مثال: مجموعه اعداد طبیعی که شامل 0، 1، 2، ... باشه.

7. اصل جایگزینی (Replacement)
این اصل می‌گه که اگر بتونی یه رابطه (یا تابع) تعریف کنی که به هر عنصر یک مجموعه، یه عنصر خاص رو نسبت بده، آنگاه تصویر اون مجموعه هم یک مجموعه‌ست.
مثال: فرض کن تابع f(x) = x² باشه. طبق اصل جایگزینی، مجموعه‌ی {f(a) : a ∈ A} برای هر مجموعه A، یک مجموعه خواهد بود.

8. اصل پایه‌گذاری (Regularity or Foundation)
این اصل بیان می‌کنه که هر مجموعه غیر تهی، حداقل یه عضو داره که هیچ عنصری مشترک با خودش نداره. به بیان ساده‌تر، هیچ مجموعه‌ای خودش رو شامل نخواهد شد یا به صورت حلقه‌ای از ارجاعات خود به خود وجود نخواهد داشت.
مثال: اگر A یک مجموعه غیر تهی باشه، می‌تونیم یه عنصری رو پیدا کنیم که هیچ عضوی مشترکی با A نداشته باشه.

چرا این اصول مهم‌ن؟
این مجموعه اصول باعث می‌شن که بتونیم ریاضیات رو روی پایه‌های منطق محکم و بدون تناقض بسازیم. قبل از تدوین این اصول، ریاضیدان‌ها با مسائلی مثل پارادوکس‌هایی (مثلاً پارادوکس راسل) مواجه بودند. با استفاده از سیستم ZF، می‌تونیم تعریف مجموعه‌ها رو محدود کنیم و از بروز این تناقض‌ها جلوگیری کنیم.

ZF و ZFC
سیستم ZF بدون اصل انتخاب تعریف می‌شه. اما خیلی از ریاضیدان‌ها برای راحتی در استدلال‌ها، اصل انتخاب رو هم به این سیستم اضافه می‌کنن و اون رو ZFC می‌نامند. اصل انتخاب می‌گه که برای هر دسته‌ی ناتهی از مجموعه‌های غیر تهی، می‌شه یه تابع انتخاب تعریف کرد که از هر مجموعه دقیقاً یک عضو رو انتخاب کنه. این اصل کاربردهای زیادی داره، ولی بعضی وقت‌ها جنجال برانگیز هم هست.

اگر به مباحث Set theory علاقه مند هستید، این کتاب خیلی خوبه. یعنی بیشتر تاریخچه اش و بحث ها و جدل هایی که اون زمان ها بین ریاضیدان ها بوده. سر مفهومی که برای هر دانشجوی لیسانس ریاضی(و یا کسی که کمی آشنایی داره با این مباحث) امروز خیلی بدیهی هست، اون موقع(یعنی اوایل پیدایش این نظریه، در ابتدای قرن قبل و کمی قبل ترش) کلی بحث و جدل اتفاق افتاده. به نظر من یکی از اوج های تفکر بشر و دستاوردهای فکری اش همین سروسامان دادن به این بحث و جدل های Set theory هست.
بخش هایی رو خوندم، بعدا قسمت هایی از اون رو می ذارم...

پارادوکس راسل، که توسط برتراند راسل در سال ۱۹۰۱ کشف شد، یه تناقض اساسی توی نظریه مجموعه‌هاست. این پارادوکس نشون می‌ده که اصل ساده و اولیه‌ای که می‌گه "برای هر ویژگی که به‌خوبی تعریف شده باشد، یک مجموعه وجود دارد که شامل تمام اشیاء با آن ویژگی است" منجر به ناسازگاری منطقی می‌شه.

توضیح پارادوکس:
فرض کنید مجموعه‌ای به نام 𝑅 داشته باشیم که مجموعه‌ای هست شامل تمام مجموعه‌هایی که عضو خودشون نیستن. یعنی:
R={x∣x∈/x}
پارادوکس زمانی رخ می‌ده که از خودمون بپرسیم آیا 𝑅 عضو خودش هست یا نه؟

اگر 𝑅 عضو خودش باشه: طبق تعریف، 𝑅 مجموعه‌ایه که شامل مجموعه‌هایی است که عضو خودشان نیستن. بنابراین، 𝑅 نباید عضو خودش باشه، که این به تناقض ختم می‌شه.

اگر 𝑅 عضو خودش نباشه: طبق تعریف، 𝑅 باید شامل تمام مجموعه‌هایی باشه که عضو خودشون نیستن. بنابراین، چون 𝑅 عضو خودش نیست، باید عضو خودش باشه، که اینم به تناقض می‌رسه.

این پارادوکس نشون می‌ده که اصل «پذیرش تمام مجموعه‌ها با ویژگی خاص» در نظریه مجموعه‌ها اشتباهه و منجر به تناقض می‌شه.

راسل این پارادوکس رو در حین کار بر روی کتاب «اصول ریاضیات» کشف کرد. اون این یافته‌ها رو در سال ۱۹۰۲ به گوتلوب فرگه، ریاضیدان آلمانی، اطلاع داد و نشون داد که سیستم مجموعه‌سازی فرگه دچار تناقض هستش.

این کشف تأثیر عمیقی روی بنیان‌گذاری ریاضیات داشت و منجر به توسعه نظریه‌های مجموعه‌ای جدیدی شد که از تناقض‌ها جلوگیری می‌کنن. یکی از این راه‌حل‌ها، نظریه مجموعه‌های زرملو-فرانکیل (ZF)ئه که به‌طور محدودتر از اصل «ایجاد مجموعه‌ها» استفاده می‌کنه تا از تناقض‌ها جلوگیری کنه.

راه‌حل دیگه‌ای که خود راسل پیشنهاد کرد، نظریه انواع (Theory of Types)ست که مجموعه‌ها رو در یک سلسله‌مراتب طبقه‌بندی می‌کنه تا مانع از شامل شدن مجموعه‌ها در خودشون بشه. این روش از پارادوکس‌های خودارجاعی جلوگیری می‌کنه.

یه پلی لیست یوتیوب پیدا کردم که از صفر تا صد یه سیستم عامل رو توضیح می‌ده و کد می‌زنه. تو ۱۶ تا ویدئو یه سیستم عامل کوچولو و درست و حسابی می‌نویسه که قابلیت‌های اصلی رو داره و می‌شه بوتش کرد.
واقعا لذت بخش، مهندسی و هنرمندانه است.
لینک پلی لیست

#video
#software
#learning
#OS

🆔 @lifeAsAService

سوالات تمرین اول هوش‌مصنوعی ترم بهار ۴۰۴ استاد سمیعی دانشگاه شریف.

برای بچه‌هایی که سال بعد کنکور ارشد دارن حل کردن این سوالات بدک نیست.

این بخش کتاب "ماجرای یک پیشوای شهید" از اینیاتسیو سیلونه برام قشنگ بود. اگه تایم خالی دارین و اهل کتاب خوندن هستید پیشنهاد میکنم از آثار سیلونه غافل نشید. کتاب‌هایی مثل نان و شراب، دانه‌ی زیر برف (ادامه داستان نان و شراب)، فونتامارا، ماجرای یک پیشوای شهید و... که واقعا همه‌شون ارزش خوندن دارن. خود سیلونه هم زندگی‌نامه جذابی داشته و توی دورانی که فاشیسم توی ایتالیا به قدرت رسیده بوده اکثر آثارش رو نوشته.

اگه موقع کار با deepseek بخاطر rtl نبودنش اذیت میشید از اکستنشن زیر استفاده کنید. طریقه استفاده رو هم توی بخش readme ریپو توضیح داده.
https://github.com/pouriasabaghi/deepseek_rtl_extention

قضیه‌ی لوونهایم-اسکالم (Löwenheim–Skolem theorem)

اول باید بگیم که این قضیه از کارهای جان لووِنهایم و تراوارد اسکولم سرچشمه می‌گیره. اونا در اوایل قرن بیستم متوجه شدن که اگر یه سیستم منطقی (مثل یه مجموعه‌ی قوانین ریاضی) مدلی داشته باشه که به اون “مدل” می‌گیم (یعنی ساختاری که قوانین اون برقراره)، اونموقع می‌شه ساختارهایی با اندازه‌های متفاوت هم پیدا کرد. به عبارت ساده: اگه یه نظریه منطقی مدلی داشته باشه که مثلاً شامل بی‌نهایت عنصر هست، پس حتی یه مدل شمارا (که اعضاش مثل اعداد طبیعی است) هم وجود داره.

قضیه به دو بخش تقسیم می‌شه
قضیه‌ی Löwenheim–Skolem دو جنبه داره که یکی رو "پایین‌رونده" (downward) و دیگری رو "بالا‌رونده" (upward) نام‌گذاری می‌کنن.

بخش پایین‌رونده (Downward Löwenheim–Skolem):
این بخش می‌گه اگر نظریه‌ای مدلی داشته باشه که بی‌نهایت و حتی شاید بزرگتر از شمارا باشه (مثلاً شامل همه‌ی اعداد حقیقی)، آنگاه یع مدل شمارا (یعنی مدلی که اعضاش به تعداد اعداد طبیعی است) هم می‌شه ساخت. به عبارت دیگه، اگر یه نظریه قوانینش درست باشه و یه مدل خیلی بزرگ داشته باشه، می‌تونیم یک مدل کوچکتر ولی شمارا هم پیدا کنیم.

بخش بالا‌رونده (Upward Löwenheim–Skolem):
از طرفی، این بخش بیان می‌کنه که اگر یه نظریه مدلی بی‌نهایت داشته باشه، می‌شه مدل‌هایی با اندازه‌های خیلی بزرگتر (مثلاً غیرشمارا) هم برای اون نظریه پیدا کرد. یعنی مدل‌های بسیار بزرگتری هم وجود دارن که هر کدوم اعضای بیشتری نسبت به مدل اولیه دارن.

در نگاه اول این قضیه کمی عجیب به نظر می‌رسه. مثلاً، نظریه مجموعه‌ها (که پایه‌ی ریاضیات مدرنه) به نظر می‌رسه که باید مدلی داشته باشه که شامل "همه‌ی" مجموعه‌های غیرشمارا باشه. اما طبق قضیه‌ی Löwenheim–Skolem، حتی نظریه‌ی مجموعه‌ها هم یه مدل شمارا داره. این موضوع که بهش "پارادوکس اسکولم" هم می‌گن، باعث شد تا خیلی‌ها فکر کنن: "اگر یه نظریه درباره‌ی اندازه‌های بزرگ حرف می‌زنه، چطور می‌تونه مدلی داشته باشه که به اندازه‌ی اعداد طبیعی هم باشه؟"

در واقع، این موضوع ما رو به تفاوت بین "زبان نظریه" (که در اون از واژه‌ها و قوانین منطقی استفاده می‌شه) و "مدل" (که یه ساختار ریاضی است) سوق می‌ده. قضیه نشون می‌ده که زبان منطق مرتبه اول نمی‌تونه درباره‌ی اندازه‌های واقعی ساختارها به طور کامل صحبت کنه.

کتاب خوبیه اگه علاقمند ریاضیات و تاریخش هستید خوندن این کتاب خالی از لطف نیست.

چامسکی: که بود و چه کرد؟ (انشا طور :دی)

نوام چامسکی، یکی از چهره‌های برجسته در زمینه‌های زبان‌شناسی، فلسفه و علوم شناختی است که به واسطه نظریه‌های انقلابی‌ش در زبان‌شناسی، تأثیر عمیقی بر رشته‌های مختلف از جمله کامپیوتر گذاشت. گرچه نام چامسکی بیشتر به عنوان یک زبان‌شناس مطرح‌ئه، اما دستاوردهای اون در تحلیل زبان‌های رسمی و نظریه‌های دستوری، پایه‌های مهمی برای علوم کامپیوتر به‌ویژه در حوزه‌های نظری مثل نظریه زبان‌های رسمی و اتوماتا به شمار میاد.

از دیدگاه زبان‌شناسی، چامسکی با معرفی نظریه دستورزای مولدی (Generative Grammar) نشون داد که زبان انسانی نه تنها مجموعه‌ای از کلماته، بلکه سیستم پیچیده‌ای از قواعد و ساختارها رو شامل می‌شه. این ایده‌ها، در زمان خود انقلابی بود و به ما این امکان رو داد تا زبان رو به‌عنوان یک ساختار نظام‌مند بررسی کنیم. این نگرش بعدا منجر به توسعه مدل‌های ریاضی برای تحلیل ساختار زبانی شد.

یکی از مهم‌ترین دستاوردهای چامسکی در حوزه علوم کامپیوتر، معرفی سلسله مراتب چامسکی‌ئه. این سلسله مراتب، زبان‌های رسمی رو بر اساس قدرت مولد اونها طبقه‌بندی می‌کنه و چهار سطح اصلی شامل زبان‌های منظم، زبان‌های با ویژگی‌های محدود، زبان‌های مستقل از زمینه و زبان‌های وابسته به زمینه رو تعریف می‌کنه. این طبقه‌بندی نه تنها در زبان‌شناسی بلکه در طراحی کامپایلرها، تفسیر زبان‌های برنامه‌نویسی و مطالعه اتوماتا نقش بسزایی داشته.

در دنیای کامپیوتر، نظریه‌های چامسکی به توسعه الگوریتم‌های تجزیه و تحلیل زبان‌های برنامه‌نویسی کمک شایانی کرده‌ن. با استفاده از اصول سلسله مراتب چامسکی، پژوهشگران تونستند به بررسی و دسته‌بندی زبان‌های رسمی بپردازن و ساختارهای مورد استفاده در سیستم‌های نرم‌افزاری رو بهبود ببخشن. این دستاوردها، پایه‌های اصلی نظریه‌های مدرن در حوزه پردازش زبان طبیعی (NLP) و هوش مصنوعی رو شکل داده.

به علاوه، تأکید چامسکی بر وجود ساختارهای ذاتی در ذهن انسان، الهام‌بخش پژوهش‌های بین‌رشته‌ای در علوم شناختی و کامپیوتر شد. این دیدگاه که بشر دارای توانایی‌های ذاتی برای یادگیری زبانه، باعث شد تا مدل‌های محاسباتی به بررسی چگونگی پردازش زبان توسط سیستم‌های کامپیوتری بپردازن و الگوریتم‌هایی طراحی بشن که بتونن به شیوه‌ای مشابه به انسان، زبان رو تحلیل و تفسیر کنن.

در نهایت، تأثیر چامسکی در حوزه کامپیوتر نه تنها به دلیل دستاوردهای نظری اون در زبان‌شناسی، بلکه به دلیل تأثیریه که این نظریه‌ها توی توسعه فناوری‌های نوین، از جمله طراحی زبان‌های برنامه‌نویسی و توسعه الگوریتم‌های پردازش زبان طبیعی داشته‌ن. چامسکی با ارائه چارچوب‌های تحلیلی دقیق و سیستماتیک نقشی کلیدی در پیوند دادن دنیای زبان‌شناسی به علوم کامپیوتر ایفا کرد که تا به امروز تاثیرات اون در روند پیشرفت فناوری قابل مشاهده‌س.