اینم جزو اولین نامه رامانوجان به هاردی هست که داخلش فرمول‌ها و کسرهایی نوشته که هاردی در موردش گفته:

defeated me completely; I had never seen anything in the least like them before.

Nothing can better express the meaning of the
term "class" than the Axiom of [Separation]
and the Axiom of Choice.

Kurt Gödel

امروز تولد
Ernst Zermelo
هست.
در سال ۱۹۰۴ مقاله ای نوشت که ثابت کرد هر مجموعه ای رو می شه خوش ترتیب کرد. اثباتی وابسته به اصل انتخاب، که غیرسازنده هم بود.
این اتفاق باعث شد که انتقادهای زیادی بهش بشه. زرملو رو مسئول تمام نتایج عجیب و غریب این اصل می دونستند. گناهش دستکاری انتزاعی خطرناکی بود که در ریاضیات انجام داده بود.
تابستون ۱۹۰۷ درگیر انتقادهایی شد که علیه اصل معروفش و همین طور قضیه خوش ترتیبی شده بود. هر دو توسط بسیاری از ریاضیدان ها بد فهمیده شده بودند.
یک سال بعد به فاصله شش روز دو مقاله تاریخی نوشت. اولی واکنشی به انتقادها و دومی اولین بیان اصل موضوعی نظریه مجموعه ها.
مقاله اول اثبات تازه ای از قضیه خوش ترتیبی بود، هرچند از اثبات قبلی خودش دفاع می کرد ولی متوجه شد ریاضیدان ها در درک مفهوم خوش ترتیبی دچار مشکل شدند. تعریفی ارائه داد که کاملا صوری بود و سعی کرد جلوی تفسیرهای عجیب و غریب رو از این رو قضیه بگیره. در مقاله دوم اصولی رو بیان کرد که اساس اثبات جدیدش بودند: اصل جداسازی و اصل مجموعه توان.
زرملو از خیلی از انتقادها نسبت به اصلش بعدا مطلع شد.
در مقابل مخالفان استدلال می کرد که این اصل قبل از اینکه خودش در سال ۱۹۰۴ به صراحت بیان کنه توسط خیلی از ریاضیدان ها به طور ضمنی استفاده شده. در مقابل منتقدها آرام ولی سرسخت بود(برخلاف براوئر که لحنش بسیار تند بود). با تمرکز فقط به کار خودش مشغول بود و بین دو حوزه احساسات فلسفی و منطق صوری، دومی رو انتخاب کرد. پای تابعی وایستاد که اگر نبود خیلی از قضیه های ریاضی، امروز وجود نداشتند.
منبع

سخت خوش است چشم تو و آن رخ گلفشان تو
دوش چه خورده‌ای دلا راست بگو به جان تو
فتنه گر است نام تو پرشکر است دام تو
باطرب است جام تو بانمک است نان تو
مرده اگر ببیندت فهم کند که سرخوشی
چند نهان کنی که می فاش کند نهان تو
بوی کباب می‌زند از دل پرفغان من
بوی شراب می‌زند از دم و از فغان تو
بهر خدا بیا بگو ور نه بهل مرا که تا
یک دو سخن به نایبی بردهم از زبان تو
خوبی جمله شاهدان مات شد و کساد شد
چون بنمود ذره‌ای خوبی بی‌کران تو
بازبدید چشم ما آنچ ندید چشم کس
بازرسید پیر ما بیخود و سرگران تو
هر نفسی بگویی‌ام عقل تو کو چه شد تو را
عقل نماند بنده را در غم و امتحان تو
هر سحری چو ابر دی بارم اشک بر درت
پاک کنم به آستین اشک ز آستان تو
مشرق و مغرب ار روم ور سوی آسمان شوم
نیست نشان زندگی تا نرسد نشان تو
زاهد کشوری بدم صاحب منبری بدم
کرد قضا دل مرا عاشق و کف زنان تو
از می این جهانیان حق خدا نخورده‌ام
سخت خراب می‌شوم خائفم از گمان تو
صبر پرید از دلم عقل گریخت از سرم
تا به کجا کشد مرا مستی بی‌امان تو
شیر سیاه عشق تو می‌کند استخوان من
نی تو ضمان من بدی پس چه شد این ضمان تو
ای تبریز بازگو بهر خدا به شمس دین
کاین دو جهان حسد برد بر شرف جهان تو

این مقاله جالبیه اگه علاقه‌مند بودید پیشنهاد می‌کنم بخونید. به دو مفهوم آزادی و عدالت و تضاد بین این دو می‌پردازه و نظر دو فیلسوف و نویسنده فرانسوی، ژان پل سارتر و آلبر کامو در موردش رو شرح میده. به عنوان مثال کامو توی کتاب انسان طاغی میگه:

سرانجام، انتخاب من آزادی ست. حتی اگر عدالت محقق نشود، بازهم آزادی قدرت اعتراض علیه بی‌عدالتی را ابقا و درب ارتباطات را باز میگذارد.

https://nebesht.com/how-camus-and-sartre-split-up-over-the-question-of-how-to-be-free/

Fine Grained Complexity
وقتی بحث بررسی پیچیدگی محاسباتی پیش میاد معمولاً ذهن میره سمت دسته مسائل Intractable (مسائلی که بصورت تئوری قابل حل هستن اما در عمل بخاطر پیچیدگی زمانی بالا قابل حل نیست) و دو کلاس P vs. NP. حالا توی دسته مسائل P که حتی از نظر تئوری قابل حل هستن و الگوریتم قطعی در زمان polynomial براشون وجود داره هم باز یسری مرزبندی داریم که عبور از اونها غیرممکن یا حداقل خیلی سخت بنظر میرسه. اینجا Fine-Grained Complexity میاد میپرسه که میشه برای مسائلی که در زمان چندجمله‌ای حل میشن، الگوریتم سریع‌تری از اونچیزی که امروز داریم پیدا کرد یا نه؟
توی این حوزه صرفاً به P vs. NP که حالت کلی داره نمیپردازه و تمرکزش بیشتر روی این مرزبندی‌هست. مثلا:
مرتب‌سازی در زمان بهتر O(nlogn) ممکنه؟
ضرب ماتریس توی O(n^2) ممکنه یا به همون الگوریتم‌ها با مرتبه زمانی O(n^2.37) قانع بشیم؟
برای All-Pairs Shortest Paths (APSP) میشه به O(n^3-epsilon) رسید یا نه؟

حوزه Fine-Grained Complexity بر اساس چندتا Hardness Hypothesis کار میکنه:
1. SETH (Strong Exponential Time Hypothesis)
هیچ الگوریتمی برای SAT بهتر از 2 به توان n به شکل کلی وجود نداره. بر اساس همین فرضیه نشون میده که خیلی از مسائل روی گراف‌ها یا رشته‌ها نمیتونن به زمان O(n^2-epsilon) یا کمتر برسن.
2. 3-SUM Conjecture
این مسئله میگه آیا سه عدد توی آرایه وجود دارن که جمع‌شون برابر 0 بشه؟ الگوریتم‌هایی که واسه این مسئله هست زمان O(n^2) دارن و فرضیه میگه که بهتر از این زمان نمیشه محاسبه کرد.
3. APSP Hypothesis
میگه مسئله کوتاه‌ترین مسیر همه جفت‌ها نیاز به زمان حدودی O(n^3) داره. اگه کسی بیاد یه الگوریتم با مرتبه O(n^2.5) واسه این مسئله ارائه بده خیلی از حد پایین‌ها زیر سوال میره.

طبق این موارد بحث اصلی Fine-Grained Complexity اینه که

اگه بشه یه مسئله رو سریع‌تر از حد مشخصی که براش وجود داره حل کرد، زنجیره‌ای از مسئله‌های دیگه هم حل میشه.

اگه میخواستید بیشتر در موردش بخونید میتونید این فایل رو بررسی کنید یا اینکه به صفحه لکچر این مبحث از دانشگاه mit برید.

این ویدیو رو هم براش پیدا کردم
https://www.youtube.com/watch?v=g-lffWd1E-k

ویدیو رو با ابزار جدید (البته فکر کنم جدید) NotebookLM ساختم. نتیجه از چیزی که انتظارش رو داشتم خیلی بهتر و جذاب‌تر شد. به عنوان سورس مقاله زیر رو براش قرار دادم.
https://www.newsweek.com/nw-ai/valuing-human-creativity-over-computer-efficiency-2116625

نویسنده مقاله G. G. Lorentz (ریاضی‌دان روس-آمریکایی) اومده تجربه‌های شخصی‌ش در دانشگاه لنینگراد رو نوشته و میگه که تعامل بین سیاست و ریاضیات توی شوروی استالینی (1928-1953) داستان پیچیده‌ای داشته و از یک طرف درگیر سرکوب و ایدئولوژی حکومتی بودن، از طرفی هم حمایت دولتی از علم یادگیری مهارت‌های فنی، سرنوشت ریاضیات توی عصر شوروی رو شکل دادن.
توی مقاله‌ش اول در مورد فشارهای جمعی و صنعتی‌سازی توضیح میده و میگه توی اون فضای پر از تنش، گروه‌هایی از فعالان حزبی جوان مثل کولمان و لیفرت اختیارات خیلی وسیعی پیدا کردن و ازش برای پاکسازی رهبری قدیمی علمی استفاده کردن! در واقع توی دوره استالین به ویژه اوایل دهه 1930 حکومت تصمیم گرفت نسل قدیمی اساتید و دانشمندها که بیشترشون در زمان روسیه تزاری آموزش دیده بودن و تحصیل کرده بودن رو کنار بزنه. برای این کار از کولمان و لیفرت که خودشون ریاضی‌دان‌های برجسته‌ای هم نبودن ولی به حزب کمونیست شوروی وفاداری داشتن استفاده کرد و اساتید قدیمی رو با متهم کردن به بورژوا بودن و ضدانقلاب بودن، تبعید یا زندانی کردن. چندتا از ریاضی‌دان‌هایی که اون دستگیر و تبعید شدن میشه به دیمیتری فوماویچ اِگوروف، نیکولای لوزین، سرگئی ناتانوویچ برنشتاین و هاینریش مونتس اشاره کرد.

نتیجه اون دوره هم جابجایی نیروها و اساتید بود، هم تلاش برای برنامه‌ریزیِ متمرکز پژوهش بود. مثلاً کنفرانس برنامه‌ریزی ریاضیات 1931 خواستار پیوند مستقیم مسائل فنی و صنعتی به پژوهش‌های کاربردی و ریاضیات محض شد. در نتیجه هم این سیاست‌هاشون سبب شد دانشگاه‌ها و موسسات پژوهشی بازسازی بشن، دوره‌های تحصیلی و مدارج جدیدی بیاد روی کار و رشته‌هایی که کاربردی‌تر بودن در صنعت ترجیح داده بشن. در عین حال هم حملات ایدئولوژیک به ریاضیات بورژوایی و فشار بر استادهای غیرهمسو با حزب کمونیست بیشتر شد.

در همین بین ماجرای لوزین (Luzin affair) تبدیل به یکی از نقاط عطف بین حزب کمونیست و جامعه ریاضی شد. محاکمه‌ها و اتهامات سیاسی به لوزین و اطرافیانش نمونه‌ای فشارهای حکومتی بود که نشون میداد چجوری درگیری‌های علمی و رقابت‌های داخلی می‌تونستن به ابزار سرکوب تبدیل بشن و چجوری برای حفظ کار علمی گاهی لازم بود فداکاری‌های اخلاقی انجام بشه تا گروهی از ریاضی‌دان‌ها بتونن از تعقیب نجات پیدا کنن.

توی دورانِ «ترور بزرگ» ۱۹۳۶–۱۹۳۷ هم جمعیت قابل توجهی از نخبه‌های علمی (مخصوصاً در حوزه فیزیک و نجوم) تبعید، دستگیر و اعدام شدن.

لینک مقاله اگه بخواید کامل بخونید
https://www.emis.de/classics/HAT/fpapers/lorentzussr.pdf

ایشونم نیکولای لوزین ریاضی‌دان اهل شورویه که بخاطر کارهاش در زمینه denoscriptive set theory شناخته شده‌ست. زندگی جالبی داشته بعداً در موردش می‌نویسم.

بطور کلی توی دوران جنگ سرد صرفاً رسیدن به یک تکنولوژی دستاورد محسوب نمی‌شد و اینکه کی تونسته زودتر به اون تکنولوژی دست پیدا کنه دستاورد بزرگ‌تری بود. طبیعتاً بخاطر همین حکومت تمایل داشت ریاضیات به سمت کاربردی و صعنتی سوق پیدا کنه. به عنوان یکی از نمونه‌ها میشه به توپولف Tu-144 اشاره کرد که شوروی سعی کرد زودتر از غرب اون رو بسازه تا خودش رو پیروز نشون بده. نمونه آمریکایی این هواپیما که همزمان با شوروی شروع به ساختش کردن بوئینگ 2707 هست (مدل اروپایی‌ش هم با اسم کنکورد شناخته شده‌س) که هیچوقت به مرحله تولید نرسید چون هزینه خیلی بالایی برای تولیدش نیاز داشت و از طرفی به پرواز دراوردنش عملاً غیرممکن بود بخاطر سرعت بسیار بالا.

شوروی این هواپیما رو توی نمایشگاه هوایی لو بورژه پاریس سال 1973 به پرواز دراورد و بخاطر اینکه صرفاً براشون مهم بود زودتر از آمریکا پروژه رو تموم کنن و خیلی براش وقت نذاشتن، توی اون نمایشگاه هواپیما سقوط کرد و رسوایی بزرگی برای شوروی به بار آورد.

رسانه‌های شوروی هم برای اینکه تقصیر رو بندازن گردن بقیه، اومدن گفتن هواپیما مشکلی نداشته و ضدهوایی فرانسه بهش شلیک کرده و موجب سقوطش شده :)

بازی tic-tac-toe رو با Lean نوشته و بعد گفته اجراش از لحاظ منطقی اکیه.
می گه formalized کردن بازی، باعث می شه بازی رو با
correctness guarantees 
پیاده سازی کنی.
به شوخی می گه بی خاصیت ترین پروژه اش بوده، بیست ساعت زمان و هزار خط کد.
می گه قصه برای من ده سال پیش شروع شد، وقتی CS می خوندم.mentor خوبی داشتم.
خلاصه یه بازی ساختم که هیچ باگی نداره. می خواستم بازی ای بسازم که کامپیوتر غیر قابل شکست باشه(قسمت آسونش) و قسمت سختر اینکه از نظر ریاضی ثابت کنم که غیر قابل شکست هست.
https://ochagavia.nl/blog/tic-tac-toe-meets-lean-4/

میگه که استاد ریاضی دانشگاه شفیلد انگلیس بوده ولی سال ۲۰۱۶ استعفا داده و رفته موسسه هنر شیکاگو شروع به تدریس کرده. دلیلی هم که آورده این بوده که وقتی استاد دانشگاه بود به کسایی ریاضی درس میداده که از قبل توی ریاضی خوب بودن ولی دلش میخواسته به اونایی که سیستم آموزشی نا امیدشون کرده ریاضی درس بده. گویا تلاش هم کرده که توی دانشگاه برای گروه علوم انسانی کلاس ریاضی برگزار کنه که دانشگاه بهش اجازه نداده.

حالا هم توی مدرسه هنر داره ریاضی تدریس میکنه و معتقده ریاضی طبق تعاریفی که ازش هست، سیاه و سفید و خیلی خشک نیست و انتزاعیه و دوست داره به اونایی که بهشون بر چسب ضعف توی ریاضیات خورده، ثابت کنه که ریاضی اونقدرام که میگن سخت و خشک نیست.

توی باقی مصاحبه‌ش هم در مورد کتاب جدیدی که نوشته توضیح میده و علاوه بر اون میگه که سعی داره ریاضی رو با کمک تعاریف غذا (مثل بسته کلوچه و...) به دانشجوها آموزش بده.

دیدگاه جالبیه ولی فکر نکنم خیلی جواب بده یا اصن نیاز باشه اثبات کرد که ریاضیات سخت و خشک نیست. طبیعتاً کسی که علاقه داشته باشه همون هم براش جذاب و شیرین بنظر میاد.

لینک کامل مقاله:
https://www.nytimes.com/2025/08/30/science/eugenia-cheng-math-unequal-book.html

جایی بحث کردند که این چه مسخره بازی هست تو مقالات راه انداختند که شبه کد می نویسند(اولین واکنش من به شبه کد تقریبا همین بود) مثل آدم کد رو بنویسند بفهمیم چی می گه؟ بعضی ها تیکه انداختند که اصلا کد واقعی وجود نداره و واسه همین اون رو نشون نمی دند!
بعضی ها گفتند: چرا همه چیز رو به ریاضی تبدیل می کنید، ما از ریاضی متنفریم.

دلایل مختلفی داره استفاده از شبه کد: یکی اش اینه که می خواند تمرکز روی منطق باشه نه ابزار. اینجوری جزئیات اضافه حذف می شه و تاکید روی زبان خاصی هم نمی شه. می گند الگوریتم مهمه، پیاده سازی خیلی سخت نیست.

سوال جالبیه

اگر اهل پادکست / یا ریاضی باشید، احتمالا از پادکست ریاضی انتشارات اشپرینگر لذت خواهید برد. این پادکست را می‌توانید از لینک زیر بشنوید. لینک‌های مرتبط در پادگیرهایی مانند اسپاتیفای را هم می‌توانید از همینجا بیابید.

https://springermathpodcast.buzzsprout.com/1833622