Уважаемые подписчики!
Стрим с разбором задач состоится завтра (31 декабря) в 12:00 (дня) по мск
Предварительный список задач: 16, 24, 25, 26, 28, 32, 36, 38, 39, 40

Можно присоединяться к конференции, планируем начать через 10 минут
https://jazz.sber.ru/ebsf5i?psw=OAoAEhgCEk4PGgcERxYFXQAQGg

Начинаем разбор. Порядок разбора задач следующий:
16, 36, 28, 24, 40, 25, 38, 26, 39, 32

Задача 41:
Автор - Ким Пётр

В треугольнике ABC точки X1, Y1 выбраны на стороне AB, X2, Y2 на стороне AC, а X3, Y3 на стороне BC таким образом, что X1Y2 параллелен X2Y1 параллелен BC, X3Y1 параллелен Y3X1 параллелен AC, X2Y3 параллелен Y2X3 параллелен AB.
Доказать, что середина отрезка между центрами (X1X2X3) и (Y1Y2Y3) лежит на прямой Эйлера треугольника ABC.

Задача 42:
Автор - GeoGen, Пучков Пётр, Чуев Савва

#37 (Высшая проба 2024, 10.3)

В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности, E и F — основания биссектрис BI и CI соответственно. Прямая AI пересекает описанную около треугольника EIF окруж- ность в точке T != I. H - ортоцентр треугольника AEF. Доказать, что ортоцентр треугольника AEF равноудален от точек T и I

Задача 43:
Автор - GeoGen, Пучков Пётр

В треугольнике ABC I - центр вписанной окружности, N - точка Нагеля, F - точка Фейербаха, H - ортоцентр. X - симметрична I относительно F. Докажите, что окружность (IHX) касается прямой HN

Задача 44:
Автор - Чуев Савва

H - ортоцентр треугольника ABC. Окружность с центром в середине BC, проходящая через H, пересекает BC в точках A1 и A2. Аналогично определяются точки B1, B2, C1, C2. Докажите, что ортоцентры треугольников ABC, A1B1C1 и A2B2C2 лежат на одной прямой.

Задача 45:
Автор - GeoGen, Ким Пётр

В треугольнике ABC I - центр вписанной окружности, а D - её точка касания со стороной  BC. Отражение D относительно середины BC - точка E. A' - диаметрально противоположная точке A на окружности (ABC). G - проекция D на прямую через A' параллельную BC.
Докажите, что (DEG) касается (ABC).

Задача 46:
Автор - GeoGen, Ким Пётр, Прозоров Роман

В треугольнике ABC I - центр вписанной окружности, а D - её точка касания со стороной BC. Касательная из D к окружности (AI) пересекает AI в точке E.
Докажите, что (DEI) касается (ABC).

Задача 47:
Автор - Ким Пётр, GeoGen

В треугольнике ABC точки P и Q изогонально сопряжены. Точка X на стороне BC и точка Y таковы что углы AYQ и PXB равны. AP и XY пересекаются в D.
Докажите, что (ABC), (PDX), (AYD) пересекаются в одной точке.

Задача 48:
Автор - Чуев Савва

Обобщение одного известного факта про точку Болтая...

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. E - точка пересечения его диагоналей, F - точка пересечения продолжений сторон AB и CD, Б - проекция Ο на EF. На сторонах AB и CD, как на основаниях, во внешнюю сторону построены подобные равнобедренные треугольники ABX и CDY. Докажите, что точки O, Б, X, Y лежат на одной окружности.

Задача 49:
Автор - Пучков Пётр, GeoGen

Ещё одна задача про точку без названия из Олимпиадной геометрии

В треугольнике ABC проведена высота AD, а Ш - точка Шалтая для вершины A. Прямая, проходящая через why-точку и точку D, вторично пересекает описанную окружность треугольника AШD в точке E. Докажите, что середина M отрезка между why-точкой и точкой A равноудалена от E и Ш.

Задача 50:
Автор - Чуев Савва

Добрая задача

В треугольнике ABC проведены высоты AD, BE и CF. Точка A' лежит на (ABC) и такова, что AA'||BC. Точка K - пересечение (ABC) и (A'FE), отличное от A'. Докажите, что медиана AM треугольника ABC и прямая KD пересекаются на (ABC).

Задача 51:
Автор - Пучков Пëтр

Обобщение леммы 255

P₁ и P₂ - изогонально сопряжены в треугольнике ABC. X₁ и X₂ - проекции B на AP₁ и AP₂, а Y₁ и Y₂ - проекции B на CP₁ и CP₂ соответственно.

1) Точки X₁ и X₂, Y₁ и Y₂ симметричны относительно средней линии треугольника ABC. Если P₁ и P₂ совпадают (случай инцентра), то X₁ = X₂, Y₁ = Y₂ лежат на средней линии.

2) Обобщённые точки 255 лежат на хордах педальной окружности точек P₁ и P₂. Если A₁, B₁, C₁ и A₂, B₂, C₂ - проекции точек P₁ и P₂ на стороны BC, AC и AB треугольника соответственно, то X₁ ∈ A₁B₂, X₂ ∈ A₂B₁, Y₁ ∈ B₂C₁, Y ∈ B₁C₂.

Задача 52:
Автор - Ким Пëтр

В равнобедренном треугольнике ABC, AB = BC. Точка D на BC такова, что верно равенство углов: DAB = BAC. Точки X и Y на AB и BC соответственно таковы, что AX : XB = 2 : 1 и BY : YC = 2 : 1. Доказать, что отражение D относительно XY лежит на AC.

Задача 53:
Автор - Пучков Пëтр
Источник - Олимпиада по геометрии имени Шарыгина 2024, задача 9.4

При каких n на плоскости можно отметить несколько точек и окружностей так, что выполнены условия:
- На каждой окружности лежит ровно n точек
- Через каждую точку проходит ровно n окружностей
- У каждой окружности отмечен центр

Хотели бы сделать объявление:
С 18 по 23 августа на аопсе (ссылка ниже) будет проходить очень интересная олимпиада MGO 2024.

Составители задач - очень опытные геометры, среди них есть:
- Жюри олимпиады Шарыгина
- Золотые медалисты уровня Advanced Иранской геометрической Олимпиады
- Победители SAGF и Discord Geometry Olympiad
- Победители ВСОШ и кандидаты в сборную России на Международную Математическую Олимпиаду

Сложность задач будет достаточно высока: по шкале Imo Shortlist:
p1/p4 - G4
p2/p5 - G6/G7
p3/p6 - G8+

При этом в отличии от других олимпиад по геометрии высокой сложности на этой олимпиаде не будет:
- нагромождённых конструкций (все условия не более 4 строк в длину и обладают поразительной красотой)
- сложных объектов (каких-нибудь никому не известных замечательных точек, коник, или кубик)
- геометрических неравенств или комбинаторной геометрии

От себя могу добавить, что на мой взгляд, на этой олимпиаде будет несколько задач, которые могут претендовать на звание самых красивых задач в истории. Всем рекомендую поучаствовать!

https://artofproblemsolving.com/community/c594864h3379839_mgo_2024_announced

Задача 53:
Автор - Прозоров Роман, GeoGen
Источник - MGO 2024, задача 1

Пусть I - инцентр ABC. Пусть l - произвольная прямая, про- ходящая через I. l пересекает (ABC) в точках X и Y и пересекает BC в точке Z. Прямая, проходящая через Z и параллельная AI пересекает AX и AY в точках D и E соответственно.
Доказать, что точки A, I, D, E лежат на одной окружности.

Задача 54:
Автор - Прозоров Роман
Источник: MGO 2024, задача 2

Пусть Γ - описанная окружность ABC. Пусть ω - вневписанная окружность, противоположная A, а Ia - её центр. Прямые l и m - общие касательные к Γ и ω. Пусть a′ - отражение BC относительно Ia. Назовём пересечения l и m с a′ X и Y.
Доказать, что существует окружность, проходящая через X, Y и касающаяся AB, AC, Γ.