№32 (ВсОШ ЗЭ 2013, 11.7)
Окружность с центром I, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Пусть Ia, Ib, Ic — центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся соответственно сторон BC, CA, AB. Отрезки IaB1 и IbA1 пересекаются в точке C2. Аналогично, отрезки IbC1 и IcB1 пересекаются в точке A2, а отрезки IcA1 и IaC1 — в точке B2. Доказать, что I является центром окружности, описанной около треугольника A2B2C2.
Окружность с центром I, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Пусть Ia, Ib, Ic — центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся соответственно сторон BC, CA, AB. Отрезки IaB1 и IbA1 пересекаются в точке C2. Аналогично, отрезки IbC1 и IcB1 пересекаются в точке A2, а отрезки IcA1 и IaC1 — в точке B2. Доказать, что I является центром окружности, описанной около треугольника A2B2C2.
❤12✍7💔3
№37 (Высшая проба 2024, 10.3)
В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности, E и F — основания биссектрис BI и CI соответственно. Прямая AI пересекает описанную около треугольника EIF окруж- ность в точке T != I. H - ортоцентр треугольника AEF. Доказать, что ортоцентр треугольника AEF равноудален от точек T и I
В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности, E и F — основания биссектрис BI и CI соответственно. Прямая AI пересекает описанную около треугольника EIF окруж- ность в точке T != I. H - ортоцентр треугольника AEF. Доказать, что ортоцентр треугольника AEF равноудален от точек T и I
❤16💔6✍2
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://geometry.ru/olimp/2024/2024_zaoch_rus_sol.pdf
опубликованы решения заочного тура геометрической олимпиады им. Шарыгина
опубликованы решения заочного тура геометрической олимпиады им. Шарыгина
✍6❤4💔1
№42 (Кавказская математическая олимпиада, 2024)
Дан треугольник ABC. На отрезке АС выбирается произвольная точка Х. Пусть окружность, вписанная в треугольник АВХ, касается отрезков АХ и ВХ соответственно в точках К и Р, а окружность, вписанная в треугольник СВХ, касается отрезков СХ и ВХ соответственно в точках L и Q. Найдите ГМТ пересечения прямых KP и LQ
Дан треугольник ABC. На отрезке АС выбирается произвольная точка Х. Пусть окружность, вписанная в треугольник АВХ, касается отрезков АХ и ВХ соответственно в точках К и Р, а окружность, вписанная в треугольник СВХ, касается отрезков СХ и ВХ соответственно в точках L и Q. Найдите ГМТ пересечения прямых KP и LQ
❤20💔3✍1
Forwarded from Олимпиадная геометрия
Республиканская олимпиада Казахстана, 2024, первый день, задача 9.3
В окружность omega с центром O вписан остроугольный неравнобедренный треугольник ABC. Точка M — середина стороны BC. Касательная прямая к omega в точке A пересекает сторону BC в точке D. Окружность с центром в точке M и с радиусом MA пересекает продолжения сторон AB и AC в точках K и L соответственно. Пусть X такая точка, что BX параллельно KM и CX параллельно LM. Докажите, что точки X, D, O лежат на одной прямой.
В окружность omega с центром O вписан остроугольный неравнобедренный треугольник ABC. Точка M — середина стороны BC. Касательная прямая к omega в точке A пересекает сторону BC в точке D. Окружность с центром в точке M и с радиусом MA пересекает продолжения сторон AB и AC в точках K и L соответственно. Пусть X такая точка, что BX параллельно KM и CX параллельно LM. Докажите, что точки X, D, O лежат на одной прямой.
❤11✍3💔1