گروه یک ساختار جبری بر روی یک گروه ناتهی است که نسبت به یک عمل دوتایی بسته باشد و نسبت به آن عمل دارای خاصیت شرکت پذیری باشد. هم چنین وجود عنصر همانی و عنصر عکس در این ساختار الزامیست. به موجب این تعریف:اگر G مجموعه ناتهی و ο عملی دوتایی روی G باشد، آن‌گاه (G,ο) را یک گروه می‌نامیم اگر شرایط زیر برقرار باشد:برای هر a ο b ∈ G، a,b ∈ G. (بسته بودن G نسبت به عمل ο)برای هر a ο (b ο c) = (a ο b) ο c، a,b,c ∈ G. (ویژگی شرکت پذیری)برای هر a ∈ G، یک e∈G وجود دارد که a ο e = e ο a = a. (وجود عنصر همانی)برای هر a ∈ G، یک b∈G وجود دارد که a ο b = b ο a = e. (وجود عنصر عکس) گروه‌ها را می‌توان بسته به ویژگی‌های آن دسته‌بندی کرد:گروه دوری
گروه G را دوری می‌گویند اگر یک عنصر x ∈ G وجود داشته باشد به قسمی که برای هر a ∈ G، برای مقداری از n متعلق به N، داشته باشیم: a = xn
مفهوم گروه دوری به مفهوم وابسته‌ای منجر می‌شود. فرض کنید گروه G را داریم، اگر a ∈ G، مجموعه S= {an>|k∈Z}۰ را در نظر می‌گیریم. از مطالب ذکر شده به عنوان قضیه می‌توان به این نتیجه رسید که S زیر گروه G است. این زیر گروه را زیر گروه تولید شده به وسیله a می‌نامند و با نمایش می‌دهند.
در این جا تعداد اعضای S را مرتبه a می‌نامند و با σ(a)0 نمایش می‌دهند که در واقع می‌باشد. در صورتی که نامتناهی باشد می‌گوییم که a مرتبه نامتناهی دارد.
در این جا قضایای تعیین کننده روابط بین گروه و زیرگروه‌های آنها را بیان می‌کنیم.فرض کنید a ∈ G و & sigma;(a) = n. اگر k ∈ Z و ak = e آنگاه n|k.درصورتی که G یک گروه دوری باشد.اگر G متناهی باشد، آنگاه با (+,Z) یکریخت است.اگر مرتبه G برابر با n باشد، آنگاه با (+,Zn) یکریخت است.هر زیرگروه یک گروه دوری، گروهی دوری است.گروه جایگشتی
گروه جایگشتیگروه متناهی
گروه متناهی گروهی است که به مرتبه آن (به مرتبه گروه در همین مقاله مراجعه کنید) نتوان عددی نسبت داد.(تعداد اعضا محدود نباشند)گروه آبلی
گروه آبلی یا تعویض پدیر گروهی است که علاوه بر خصوصیت‌های بالا، تعویض پذیر نیز باشد. صفت آبلی به افتخار ریاضیدان نروژِی، نیلس هنریک آبل اختیار شده‌است. برای هر a,b ∈ G، داریم a ο b = b ο aگروه آبلی متناهی
گروه‌های آبلی متناهی، گروهی است که علاوه بر مرتبه متناهی دارای خاصیت جابجایی در عمل بین اعضای خود باشد.گروه خارج قسمتیگروه خارج قسمتیگروه متقارنگروه متقارنگروه دووجهیگروه دووجهیاصطلاحات موجود در نظریه گروهها
عمل دوتایی - گروه آبلی - زیرگروه - مرکز گروه - هم مجموعه‌ها - مرکز ساز گروه - نرمال ساز گروه - زیرگروه نرمال - مرتبه گروه - مرتبه عضو - گروه دوری - گروه خارج قسمت - گروه متقارن - همومورفیسم - قضایای ایزومورفیسم - حاصل ضرب مستقیم - تزویج - معادله کلاسی - قضیه کیلی - قضیه لاگرانژ - قضیه کوشی - قضایای سیلوتعاریف و ویژگی‌های مقدماتیدر صورتی که برای عمل گروه نشانه‌ای در نظر نگیریم به صورت پیش فرض ضربی خواهد بود.توان در گروه‌های ضربی
برای هر عنصر توان را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:a۰ = e.n ≥0، an+1 = an.aاز طرف دیگر چون هر عنصر گروه عکسی دارد، باید a-n در نظر گرفته شود، برای n ∈ Z+ تعریف می‌کنیم:همچنین برای am.an = am+nm,n∈ Z وam)n = amn) می‌باشند.(در مورد گروه با عمل با خواص جمعی خواص متناظر با این موارد مشاهده می‌شود.)مرتبه گروهوقتی G گروه متناهی است، تعداد عنصرهای آن را مرتبه G می‌نامند و با |G| نمایش می‌دهند.
مثلا برای Zn,+)| = n ،n ∈ Z+v)| و برای هر عدد اول p، داریم: Zp*,.)| = p-1)|زیرگروه
زیرمجموعه ناتهی H از گروه G را زیرگروه G می‌گوییم هرگاه H تحت عمل گروه G تشکیل یک گروه بدهد. اگر H زیرگروه G باشد می‌نویسیم H⊆G.
توجه داشته باشید که از آن جا که H خود یک گروه‌است، سایر خواص یک گروه را داراست.قضایای مقدماتیبرای هر گروه Gعنصر همانی G یکتاست.عکس هر عنصر G یکتاست.اگر ac = ab، a,b,c ∈ G در این صورت b = c.(حذف از چپ)اگر ca = ba، a,b,c ∈ G در این صورت b = c.(حذف از راست)برای هر ab)۲ = b۲a۲، a,b ∈ G) اگر و تنها اگر گروه G آبلی باشد.اگر H زیرمجموعه‌ای ناتهی از گروه G باشد، H زیرگروه G است اگر و فقط اگر:H تحت عمل G بسته باشد یعنی برای هر a,b∈H داشته باشیم ab∈HH تحت معکوس هر عضو بسته باشد، یعنی اگر a∈H آنگاه a-۱∈Hشرط تناهی این وضعیت را بهتر می‌کند:
اگر G گروه باشد و π ≠ H ⊆ G و H متناهی باشد، آن گاه H زیرگروه G است اگر و تنها اگر H تحت عمل دودوی G بسته باشد.فرض کنید (G,ο) و (*,H) دو گروه باشند. عمل دوتایی. را بر G×H به نحو زیر تعریف می‌کنیم:(g۱,h۱).(g۲,h۲) = (g۱οg۲,h۱*h۲)
در این صورت، (. ,G×H) یک گروه‌است و حاصل ضرب مستقیم G و H خوانده می‌شود.هم‌ریختی و یک‌ریختی

در صورتی که (G,ο) و (*,H) دو گروه باشند و f:G→H، در صورتی که برای هر a,b ∈ G داشته باشیم: f(aοb) = f(a)*f(b)0 آنگاه f را هم‌ریختی گروهی می‌نامند. اگر بدانیم که ساختارهای داده شده گروه هستند f را فقط همریختی می‌خوانیم.فرض کنید (G,ο) و (*,H) گروههایی به ترتیب با عناصر همانی eG و eH باشند، اگر f:G→H در این صورت:f(eG) = eHبرای هر a ∈G، f(a-۱) = [f(a)]-۱برای هر a ∈G و هر n ∈Z، f(an) = [f(a)]nبرای هر زیر گروه S از f(S)، G زیر گروه Hاست.
اگر f:(G,ο) &→ (H,*)0 یک هم‌ریختی باشد، f را یک یک‌ریختی می‌نامند اگر و تنها اگر f یک به یک و پوشا باشد. در این حالت می‌گویند G و H گروه‌های یکریختند.هم مجموعه ها
هم مجموعه‌ها در نظریه گروه‌ها، از مفاهیم اساسی برای تعریف گروه خارج قسمت هستد و در سراسر نظریه گروه‌ها به آنها بر خورد می‌کنیم. در صورتی که H زیر گروه G باشد، آنگاه برای هر a ∈ G مجموعه aH={ah|h ∈ H}۰ را هم مجموعه چپ H در G می‌نامند. مجموعه Ha={ha|h ∈ H}۰ هم مچموعه راست H در G است. (به همین ترتیب در صورتی که عمل گروه دارای خواص جمعی باشد مجموعه‌های H+a={h+a|h ∈ H}۰ و a+H={a+h|h ∈ H}۰ هم مجموعه‌های چپ و راست خواهند بود.)اگر H زیر گروهی از گروه متناهی G باشد، آنگاه برای هر a,b ∈ H داریم:|aH| = |H|aH = bH یا aH ∩ bH = Φ
از کاربردهای اولیه هم مجموعه‌ها در اثبات قضایایی نظیر قضیه لاگرانژ است که جلوتر به آن اشاره می‌شود.قضایای پیشرفته در نظریه گروه هاقضیه لاگرانژ
قضیه لاگرانژ بیان می‌کند که اگر G یک گروه متناهی و H زیرگروه G باشد، مرتبه H مرتبه G را عاد می‌کند. قضیه لاگرانژ با استفاده از مفهوم هم مجموعه‌ها به راحتی قابل استفاده‌است. فرع‌های زیر از قضیه لاگرانژ قابل استنباط هستند:اگر G گروهی متناهی باشد، و a ∈ G، آنگاه |o(a)| |G.هر گروهی که مرتبه آن یک عدد اول باشد، گروهی دوری است.اگر G گروهی متناهی از مرتبه n باشد و x∈G آنگاه xn=e.
برای اثبات این مطلب زیرگروه دوری تولید شده توسط x یعنی را در نظر می‌گیریم. فرض می‌کنیم از مرتبه m باشد. در این صورت قضیه لاگرانژ ایجاب می‌کند که m|n پس عدد صحیح k وجود دارد که n=mk.
از طرفی m مرتبه عضو (کوچک‌ترین عدد صحیح مثبت که اگر x به توان آن برسد حاصل عضو خنثی گروه G شود) x است پس xm=e
بنابراین:
این نتیجه علاوه بر کاربردهایش در مورد گروه‌ها، برای ارائه برهانی جبری برای قضیه کوچک فرما و قضیه اویلر استفاده می‌شود.قضیه پوانکاره
قضیه پوانکاره بیان می‌کند که اگر G یک گروه باشد و K,H زیرگروههای G با اندیس متناهی در G باشند، قضیه کیلی
قضیه کیلی بیان می‌کند که هر گروه G با زیرمجموعه‌ای از گروه متقارن روی G ایزومورف است.قضایای سیلو
قضایای سیلو:قضیه برنساید
قضیه برنسایدلم برنساید
لم برنساید روشی را بیان می‌کند برای شمارش افرازهای یک مجموعه به وسیله یک گروه از تبدیلات برای اطلاعات بیشتر می‌توانید به صفحه مربوطه مراجعه کنید.قضایای ایزومورفیسم
قضایای ایزومورفیسم بیان می‌کند کهلم جوردن-هولدر
لم جوردن-هولدراز قرار زیر استنمونه‌هایی از گروههای مهم
مثالهای زیادی از گروهها وجود دارد. یه عنوان مثال مجموعه اعداد صحیح به همراه عمل جمع یک گروه‌است که آبلی نیز می‌باشد. در این قسمت چند نمونه از گروهها را که معمولاً در بررسی‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرند را معرفی می‌کنیم. خواننده می‌تواند گروه بودن هر نمونه را بررسی کند.گروه چهارتایی کلاین
فرض کنید {V={a,b,c,d یک مجموعه چهارعضوی باشد. عمل * را روی V به صورت زیر تعریف می‌کنیم:جدول گروه چهار تایی کلاین*abcdaabcdbbadcccdabddcba
در این صورت V گروهی آبلی و متناهی به نام گروه چهارتایی کلاین تشکیل می‌دهد.(گروه کلاین مربوط به تقارنهای مستطیل می‌باشد)گروه اعداد صحیح به هنگ m
می‌دانید اگر m عددی طبیعی باشد، رابطه همنهشتی به هنگ m یا یک رابطه هم ارزی روی مجموعه اعداد صحیح تعریف می‌کند که مجموعه خارج قسمت آن (مجموعه همه کلاس‌های هم ارزی رابطه هم ارزی) را با نشان می‌دهیم. اگر برای هر عدد صحیح a کلاس هم ارزی a را با نشان دهیم، در این صورت:
حال عمل ⊕ موسوم به جمع نیمی یا جمع با پیمانه m را به صورت
تعریف می‌کنیم. در این صورت خواننده آشنا با نظریه همنهشتی به سادگی می‌تواند بررسی کند که به همراه عمل ⊕ یک گروه‌است.
به همین صورت گروهی دیگری را به همراه عمل ضرب به پیمانه m با کمی تغییر می‌تواند ساخت.کاربرد گروهها
گروه‌ها در زمینه علوم گوناگون مانند بلورشناسی، کوانتم و فیزیک و... دارای کاربردهای فراوان هستند. به عنوان مثال در شیمی و بلورشناسی گروهها برای طبقه بندی ساختار بلورها و چندوجهی‌های منظم، تقارن‌های ملکولی استفاده می‌شوند.
بعلاوه از گروهها در زمینه رمزنگاری و مسایل امنیتی نیز استفاده فراوان می‌شود.

همچنین از مفاهیم موجود در این نظریه همانند قضایای سیلو، زیرگروههای نرمالف گروههای آبلی و... در شاخه‌های گوناگون ریاضیات چون هندسه جبری، توپولوژی جبری، مسایل ترسیم پذیری، نظریه جبری اعداد و.. استفاده می‌شود.نظریه گروه در شیمی
با توجه به تقارن موجود در ترکیبات شیمیایی، ترکیبات به گروههای مختلف تقارنی تقسیم می‌شوند. هر گروه خواص دارد که در طیف بینی کاربرد دارد.
منبع:مقدمه کتاب نظریه گروه ها و فیزیک کوانتوم.

بنظر شما تقارن تا چه حد اهمیت داره؟!
چرا تمامی ذرات پاد ذره ای از خودشون دارن. چرا تمام موجودات روی زمین دارای خط تقارن بدنی هستن؟....
راستش انقدری اهمیت داره که بعضی افراد دکترای فیزیک گرایش تقارن بخونن.

سخن بزرگان1

‏"ورودِ حیوانات ممنوع"

حتی شما دوستِ عزیز!

پی‌نوشتِ شوخی: ناراحت نشوید که انسان نیز حیوان ناطق است!

پی‌نوشت جدی: واژهٔ "حیوان" از آدم‌ها انصراف دارد و لذا فحش است.

نکته نهایی: درکِ پدیدهٔ دلالت‌شناسانهٔ شگفت‌انگیزِ "انصراف" و نکاتِ اصولیان درباره آن، شرطِ لازم اجتهاد است
///////////
‏ساختارها نسبتا محترمند، اما ساختارگرایی گاهی مانع اندیشه و پیشرفت می‌شود
نقطه مقابل ساختارگرایی، هرج‌ومرج‌گرایی نیست. یکی از گزینه‌های رقیب، پساساختارگرایی است. ساختارها باید با شرایط جدید ویرایش بشوند، منعطف باشند و انسان‌ها را به اسارت نکشند
/////////////
‏وقتی در میانه‌ی یک گفتگوی منطقی، آرام و مستدل، ناگهان بلاک می‌کند...
/////////»
‏عذرخواهی می‌کنم که وسط تایم‌لاین ِ "بسیار" مهم، "بسیار بسیار" سیاسی و "بسیار بسیار بسیار" اجتماعی شما، گاهی در باب ِ هنجارهای عقلانیت، فلسفه اخلاق، اصول فقه، و دماء ثلاثه سخن می‌گویم!!
//////
‏- نیوتون: خب واقعا به نظرت چرا سیب‌ها می‌افتند پایین؟ 🍎⬇️

- داروین: این‌که خیلی واضح است، چون سیب‌هایی که می‌افتادند بالا از جو زمین خارج شدند، نتوانستند تولید مثل کنند و منقرض شدند

- نیوتون: 😳😳😳

- من: بعضیا تحلیل‌ها شون در همین حده به‌خدا!


با احترام به استاد گرامی آقای حسین کامکار مدال طلای المپیاد فیزیک

بعد از ظهر جمعه و تست سوخت راکت.( آنچنان خوب هم نشد ولی برای شروع خوبه یه مدت هم توی کتابخونه گذاشته بودمش مرطوب شدش )
#شیمی

باروت سیاه
#شیمی

نیتروسلولز
#شیمی

کادوی یکی از دوستان المپیاد شیمی من.

آنالیز مختلط
Transformations from the complex plane
C
to itself can create beautifiul patterns and images in a simple way. First let
S
be the set of all colors, and define two functions:

a complex transformation
f
:C→C, and a domain coloring scheme g :C→S.
Then, color the plane with the new coloring map g∘f.

Different domain coloring schemes can drastically change the resulting image. Many use some combination of increments in phase, modulus, real, and imaginary coordinates. However, you can upload any image to use as a domain coloring scheme!

اعداد مختلط دسته ویژه‌ای از اعداد هستند که از ترکیب یک عدد حقیقی و یک عدد موهومی به دست می‌آیند. در مبحث معادله درجه دو عنوان شد که در دلتای منفی پاسخی برای معادله وجود ندارد. این گذاره با این فرض بیان شد که با اعداد مختلط آشنا نبودیم. اما بایستی گفت در این حالت نیز معادله پاسخ دارد ولی این پاسخ، عددی مختلط است.
اعداد موهومی دسته ویژه‌ای از اعداد هستند چون اگر این اعداد را به توان 2 برسانیم، برخلاف اعداد صحیح ، حاصل توان یک عدد منفی خواهد بود.
چیزی که ما با آن سروکار داشتیم سایه اعداد بود.

a + bi= Z

1 min. 12cm
0.2 cm/s
#شیمی

یادم هست کلاس هشتم بودیم و معلم از ما سؤالی پرسید که آیا با نور یک چراغ میتوان یک بادکنک را باد کرد یا نه.
تقارن ماده و انرژی

اما فضای خالی شاید بالاترین نقطه را در مورد پدیده ای به میان می آورد که شهود ما را به چالش می کشد. حتی اگر تمام ذرات و تشعشعات را از ناحیه ای از فضا حذف کنید یعنی همه منابع میدان های کوانتومی - باز هم فضای خالی نخواهد بود. این شامل جفت مجازی ذرات و پادذره خواهد بود که وجود و طیف انرژی آنها قابل محاسبه است. ارسال سیگنال فیزیکی مناسب از طریق آن فضای خالی باید عواقبی داشته باشد که قابل مشاهده است.
ذراتی که به طور موقت در خلاء کوانتومی وجود دارند ممکن است مجازی باشند، اما تأثیر آنها بر ماده یا تشعشع بسیار واقعی است. وقتی منطقه ای از فضا دارید که ذرات از آن عبور می کنند، ویژگی های آن فضا می تواند تأثیرات فیزیکی واقعی و قابل پیش بینی و آزمایش داشته باشد.
یک مثال از این قضیه
با حضور میدانهای الکترواستاتیک قوی پیش‌بینی می‌شود که ذرات مجازی از خلاء جدا شده و به ماده واقعی تبدیل شوند همچنین میدان‌های مغناطیسی قوی انرژی موجود در خلأ را تغییر می‌دهند. در این مرحله، خلاء دارای تمام خصوصیات یک محیط دوشکستگی است، بنابراین می‌توان چرخش در قطبش قاب (اثر فارادی) را در فضای خالی مشاهده کرد.