مرور تاریخی(9 دقیقه)
نظریه گروهها بهوسیله چهارشاخه عمده از ریاضیات جبر کلاسیک، نظریه اعداد، هندسه و آنالیز رشد و گسترش یافت. جبر کلاسیک در سال ۱۷۷۰ با کارهای ژوزف لویی لاگرانژ برروی معادلات چندجملهای پایه گذاری شد.
نظریه اعداد بهوسیله کارل فردریش گاوس در سال ۱۸۰۱ مورد مطالعه و گسترش هرچه بیشتر قرار گرفت و سی. اف. کلاین در زمینه هندسه و ارتباط تبدیلات هندسی و گروهها کارهای بسیار انجام دادهاست به طوری که او را پدر این بخش از نظریه گروهها میدانند و بنیانگذار شاخه آنالیز نیز هنری پوانکاره، اس. لی لای و سی. اف کلاین هستند.
اما اویلر(Euler)، گاوس(Gauss)، لاگرانژ(Lagrange)، آبل(Abel) و ریاضیدان فرانسوی گالوا(Galois) اولین کسانی بودند که در زمینه نظریه گروهها به تحقیق پرداخته بودند. خصوصاً گالوا بدلیل قضیه اساسی خود که رابطی بین گروهها و حلقهها است و امروزه آن را قضیه گالوا میخوانند بسیار مورد توجه است.
اگرچه مفهوم گروه تبدیلها در مطالعه هندسه به کندی صورت گرفته است، اما کار اصلی در گسترش مفهوم گروه از مطالعه معادلات چندجملهای حاصل شده است. یونانیان قدیم از روشهای حل معادله درجه دو آگاه بودند. در قرن شانزدهم قدمهایی برای حل معادلات درجه سوم و چهارم روی Q برداشته شد. اولین کاربرد گروهها در توصیف تأثیر جایگشتهای ریشههای یک معادله چند جملهای بودهاست که بهوسیله لاگرانژ مورد استفاده قرار گرفتهاست که بر مبنای همین او توانست نظریه جانشانی را سازمان دهد.
او کشف کرد که ریشههای همه مواردی را که او امتحان کردهاست توابعی گویا از ریشههای معادلات متناظرشان هستند. لئونارد اویلر(۱۷۰۷-۱۷۸۳) و ژوزف لویی لاگرانژ(۱۷۳۶-۱۸۱۳) هر دو، با ادامه کار با چند جملهایهای درجه پنجم و بالاتر سعی کردند معادله درجه پنجم کلی را حل کنند. لاگرانژ دریافته بود که بین درجه n معادله چند جملهای و گروه جایگشتی Sn باید رابطهای وجود داشته باشد. پس از او رافینی در تلاش برای اثبات عدم وجود راه حل مستقیم برای حل معادلات درجه پنجم و بالاتر گامهای دیگری را در زمینه نظریه گروهها برداشت.
اما این نیلس هنریک آبل(۱۸۰۲-۱۸۲۹) بود که سرانجام ثابت کرد پیدا کردن فرمولی برای حل معادله درجه پنجم کلی، تنها با جمع و تفریق و ضرب و تقسیم و ریشه گیری ممکن نیست.
در طی همین دوران، اواریست گالوا (۱۸۱۱-۱۸۳۲) ریاضیدان معروف فرانسوی وجود شرط لازم و کافی برای حل چند جملهای درجه پنجم یا بالاتر با ضرایب گویا، به وسیله رادیکالها را تحقیق کرد. در کار گالوا ساختارهای گروهی و هیاتها به کار میروند.گالوا نخستین اثر خود را در مورد نظریه گروهها در سن ۱۸ سالگی(۱۸۲۹)منتشر ساخت. اما کمکهای او تا قبل از انتشار مجموعه مقالاتش در سال ۱۸۴۶ مورد توجه قرار نگرفت.
به دنبال دستاوردهای گالوا، نظریه گروهها جای خود را در بسیاری از زمینههای ریاضی باز کرد. مثلا، ریاضی دان آلمانی فلیکس کلاین (۱۸۴۹-۱۹۲۹) در آنچه که به برنامه ارلانگر معروف است، سعی کرد که تمام هندسههای موجود را بر حسب گروه تبدیلهایی که تحت آنها ویژگیهای هندسه ناوردا بودند تدوین کند.
بعد از او آرتور کیلی و آگوستین لویی کوشی به اهمیت کارهای گالوا پی بردند و به تحقیقات بیشتر در این زمینه پرداختند. از جمله ریاضیدانانی که در قرن نوزدهم در زمینه نظریه گروهها کار میکردند میتوان برتراند، چارلز هرمیت، فروبنیوس و لئوپارد کرونکر و امیل ماتیو را نام برد.
تا آن زمان اصول موضوع معینی برای تعریف گروه وجود نداشت. در سال ۱۸۵۴ کیلی اولین اصول موضوع را برای گروهها ارائه داد اما تعریف وی به زودی فاقد ارزش شد. در سال ۱۸۷۰، کرونکر مجدداً اصول موضوعی را برای گروهها پایه گذاشت. همچنین اچ. وبر در سال ۱۸۸۲، تعریفی برای گروههای متناهی و در سال ۱۸۸۳ تعریفی برای گروههای نامتناهی انجام داد.
والتر فون دایک در سال ۱۸۸۲ اولین تعریف مدرن از گروه را ارائه داد.
مطالعه گروههای لای و زیرگروههای گسسته شان و گروههای تبدیلی در سال ۱۸۸۴ به طور منظم توسط سوفوس لای شورع شد.
در طی قرن بیستم پژوهشهای بسیار زیادی برای تحلیل ساختار گروههای متناهی صورت گرفت. در دهههای اخیر، ریاضیدانان در جست و جوی همه گروههای ساده متناهی و توضیح نقش آنها در ساختار تمام گروههای متناهی بودهاند. از جمله پشگامان این بسط، والترفیت، جان تامسن، دانیل گورنشتین،میشاییل آشباخر و رابرت گریس هستند.
امروزه نظریه گروهها به بنیادیترین نظریهها در جبر مجرد تبدیل شدهاست و منبع تحقیقات فراوانی برای ریاضیدانان است.گروهها
ابتدا یادآوری میکنیم که یک ساختمان جبری عبارت است از یک مجموعه به همراه یک یا چند عمل دوتایی و رابطه که روی آن مجموعه تعریف شدهاست. گروه نیز از جمله ساختمانهای جبری است.
نظریه گروهها بهوسیله چهارشاخه عمده از ریاضیات جبر کلاسیک، نظریه اعداد، هندسه و آنالیز رشد و گسترش یافت. جبر کلاسیک در سال ۱۷۷۰ با کارهای ژوزف لویی لاگرانژ برروی معادلات چندجملهای پایه گذاری شد.
نظریه اعداد بهوسیله کارل فردریش گاوس در سال ۱۸۰۱ مورد مطالعه و گسترش هرچه بیشتر قرار گرفت و سی. اف. کلاین در زمینه هندسه و ارتباط تبدیلات هندسی و گروهها کارهای بسیار انجام دادهاست به طوری که او را پدر این بخش از نظریه گروهها میدانند و بنیانگذار شاخه آنالیز نیز هنری پوانکاره، اس. لی لای و سی. اف کلاین هستند.
اما اویلر(Euler)، گاوس(Gauss)، لاگرانژ(Lagrange)، آبل(Abel) و ریاضیدان فرانسوی گالوا(Galois) اولین کسانی بودند که در زمینه نظریه گروهها به تحقیق پرداخته بودند. خصوصاً گالوا بدلیل قضیه اساسی خود که رابطی بین گروهها و حلقهها است و امروزه آن را قضیه گالوا میخوانند بسیار مورد توجه است.
اگرچه مفهوم گروه تبدیلها در مطالعه هندسه به کندی صورت گرفته است، اما کار اصلی در گسترش مفهوم گروه از مطالعه معادلات چندجملهای حاصل شده است. یونانیان قدیم از روشهای حل معادله درجه دو آگاه بودند. در قرن شانزدهم قدمهایی برای حل معادلات درجه سوم و چهارم روی Q برداشته شد. اولین کاربرد گروهها در توصیف تأثیر جایگشتهای ریشههای یک معادله چند جملهای بودهاست که بهوسیله لاگرانژ مورد استفاده قرار گرفتهاست که بر مبنای همین او توانست نظریه جانشانی را سازمان دهد.
او کشف کرد که ریشههای همه مواردی را که او امتحان کردهاست توابعی گویا از ریشههای معادلات متناظرشان هستند. لئونارد اویلر(۱۷۰۷-۱۷۸۳) و ژوزف لویی لاگرانژ(۱۷۳۶-۱۸۱۳) هر دو، با ادامه کار با چند جملهایهای درجه پنجم و بالاتر سعی کردند معادله درجه پنجم کلی را حل کنند. لاگرانژ دریافته بود که بین درجه n معادله چند جملهای و گروه جایگشتی Sn باید رابطهای وجود داشته باشد. پس از او رافینی در تلاش برای اثبات عدم وجود راه حل مستقیم برای حل معادلات درجه پنجم و بالاتر گامهای دیگری را در زمینه نظریه گروهها برداشت.
اما این نیلس هنریک آبل(۱۸۰۲-۱۸۲۹) بود که سرانجام ثابت کرد پیدا کردن فرمولی برای حل معادله درجه پنجم کلی، تنها با جمع و تفریق و ضرب و تقسیم و ریشه گیری ممکن نیست.
در طی همین دوران، اواریست گالوا (۱۸۱۱-۱۸۳۲) ریاضیدان معروف فرانسوی وجود شرط لازم و کافی برای حل چند جملهای درجه پنجم یا بالاتر با ضرایب گویا، به وسیله رادیکالها را تحقیق کرد. در کار گالوا ساختارهای گروهی و هیاتها به کار میروند.گالوا نخستین اثر خود را در مورد نظریه گروهها در سن ۱۸ سالگی(۱۸۲۹)منتشر ساخت. اما کمکهای او تا قبل از انتشار مجموعه مقالاتش در سال ۱۸۴۶ مورد توجه قرار نگرفت.
به دنبال دستاوردهای گالوا، نظریه گروهها جای خود را در بسیاری از زمینههای ریاضی باز کرد. مثلا، ریاضی دان آلمانی فلیکس کلاین (۱۸۴۹-۱۹۲۹) در آنچه که به برنامه ارلانگر معروف است، سعی کرد که تمام هندسههای موجود را بر حسب گروه تبدیلهایی که تحت آنها ویژگیهای هندسه ناوردا بودند تدوین کند.
بعد از او آرتور کیلی و آگوستین لویی کوشی به اهمیت کارهای گالوا پی بردند و به تحقیقات بیشتر در این زمینه پرداختند. از جمله ریاضیدانانی که در قرن نوزدهم در زمینه نظریه گروهها کار میکردند میتوان برتراند، چارلز هرمیت، فروبنیوس و لئوپارد کرونکر و امیل ماتیو را نام برد.
تا آن زمان اصول موضوع معینی برای تعریف گروه وجود نداشت. در سال ۱۸۵۴ کیلی اولین اصول موضوع را برای گروهها ارائه داد اما تعریف وی به زودی فاقد ارزش شد. در سال ۱۸۷۰، کرونکر مجدداً اصول موضوعی را برای گروهها پایه گذاشت. همچنین اچ. وبر در سال ۱۸۸۲، تعریفی برای گروههای متناهی و در سال ۱۸۸۳ تعریفی برای گروههای نامتناهی انجام داد.
والتر فون دایک در سال ۱۸۸۲ اولین تعریف مدرن از گروه را ارائه داد.
مطالعه گروههای لای و زیرگروههای گسسته شان و گروههای تبدیلی در سال ۱۸۸۴ به طور منظم توسط سوفوس لای شورع شد.
در طی قرن بیستم پژوهشهای بسیار زیادی برای تحلیل ساختار گروههای متناهی صورت گرفت. در دهههای اخیر، ریاضیدانان در جست و جوی همه گروههای ساده متناهی و توضیح نقش آنها در ساختار تمام گروههای متناهی بودهاند. از جمله پشگامان این بسط، والترفیت، جان تامسن، دانیل گورنشتین،میشاییل آشباخر و رابرت گریس هستند.
امروزه نظریه گروهها به بنیادیترین نظریهها در جبر مجرد تبدیل شدهاست و منبع تحقیقات فراوانی برای ریاضیدانان است.گروهها
ابتدا یادآوری میکنیم که یک ساختمان جبری عبارت است از یک مجموعه به همراه یک یا چند عمل دوتایی و رابطه که روی آن مجموعه تعریف شدهاست. گروه نیز از جمله ساختمانهای جبری است.
گروه یک ساختار جبری بر روی یک گروه ناتهی است که نسبت به یک عمل دوتایی بسته باشد و نسبت به آن عمل دارای خاصیت شرکت پذیری باشد. هم چنین وجود عنصر همانی و عنصر عکس در این ساختار الزامیست. به موجب این تعریف:اگر G مجموعه ناتهی و ο عملی دوتایی روی G باشد، آنگاه (G,ο) را یک گروه مینامیم اگر شرایط زیر برقرار باشد:برای هر a ο b ∈ G، a,b ∈ G. (بسته بودن G نسبت به عمل ο)برای هر a ο (b ο c) = (a ο b) ο c، a,b,c ∈ G. (ویژگی شرکت پذیری)برای هر a ∈ G، یک e∈G وجود دارد که a ο e = e ο a = a. (وجود عنصر همانی)برای هر a ∈ G، یک b∈G وجود دارد که a ο b = b ο a = e. (وجود عنصر عکس) گروهها را میتوان بسته به ویژگیهای آن دستهبندی کرد:گروه دوری
گروه G را دوری میگویند اگر یک عنصر x ∈ G وجود داشته باشد به قسمی که برای هر a ∈ G، برای مقداری از n متعلق به N، داشته باشیم: a = xn
مفهوم گروه دوری به مفهوم وابستهای منجر میشود. فرض کنید گروه G را داریم، اگر a ∈ G، مجموعه S= {an>|k∈Z}۰ را در نظر میگیریم. از مطالب ذکر شده به عنوان قضیه میتوان به این نتیجه رسید که S زیر گروه G است. این زیر گروه را زیر گروه تولید شده به وسیله a مینامند و با نمایش میدهند.
در این جا تعداد اعضای S را مرتبه a مینامند و با σ(a)0 نمایش میدهند که در واقع میباشد. در صورتی که نامتناهی باشد میگوییم که a مرتبه نامتناهی دارد.
در این جا قضایای تعیین کننده روابط بین گروه و زیرگروههای آنها را بیان میکنیم.فرض کنید a ∈ G و & sigma;(a) = n. اگر k ∈ Z و ak = e آنگاه n|k.درصورتی که G یک گروه دوری باشد.اگر G متناهی باشد، آنگاه با (+,Z) یکریخت است.اگر مرتبه G برابر با n باشد، آنگاه با (+,Zn) یکریخت است.هر زیرگروه یک گروه دوری، گروهی دوری است.گروه جایگشتی
گروه جایگشتیگروه متناهی
گروه متناهی گروهی است که به مرتبه آن (به مرتبه گروه در همین مقاله مراجعه کنید) نتوان عددی نسبت داد.(تعداد اعضا محدود نباشند)گروه آبلی
گروه آبلی یا تعویض پدیر گروهی است که علاوه بر خصوصیتهای بالا، تعویض پذیر نیز باشد. صفت آبلی به افتخار ریاضیدان نروژِی، نیلس هنریک آبل اختیار شدهاست. برای هر a,b ∈ G، داریم a ο b = b ο aگروه آبلی متناهی
گروههای آبلی متناهی، گروهی است که علاوه بر مرتبه متناهی دارای خاصیت جابجایی در عمل بین اعضای خود باشد.گروه خارج قسمتیگروه خارج قسمتیگروه متقارنگروه متقارنگروه دووجهیگروه دووجهیاصطلاحات موجود در نظریه گروهها
عمل دوتایی - گروه آبلی - زیرگروه - مرکز گروه - هم مجموعهها - مرکز ساز گروه - نرمال ساز گروه - زیرگروه نرمال - مرتبه گروه - مرتبه عضو - گروه دوری - گروه خارج قسمت - گروه متقارن - همومورفیسم - قضایای ایزومورفیسم - حاصل ضرب مستقیم - تزویج - معادله کلاسی - قضیه کیلی - قضیه لاگرانژ - قضیه کوشی - قضایای سیلوتعاریف و ویژگیهای مقدماتیدر صورتی که برای عمل گروه نشانهای در نظر نگیریم به صورت پیش فرض ضربی خواهد بود.توان در گروههای ضربی
برای هر عنصر توان را به صورت زیر تعریف میکنیم:a۰ = e.n ≥0، an+1 = an.aاز طرف دیگر چون هر عنصر گروه عکسی دارد، باید a-n در نظر گرفته شود، برای n ∈ Z+ تعریف میکنیم:همچنین برای am.an = am+nm,n∈ Z وam)n = amn) میباشند.(در مورد گروه با عمل با خواص جمعی خواص متناظر با این موارد مشاهده میشود.)مرتبه گروهوقتی G گروه متناهی است، تعداد عنصرهای آن را مرتبه G مینامند و با |G| نمایش میدهند.
مثلا برای Zn,+)| = n ،n ∈ Z+v)| و برای هر عدد اول p، داریم: Zp*,.)| = p-1)|زیرگروه
زیرمجموعه ناتهی H از گروه G را زیرگروه G میگوییم هرگاه H تحت عمل گروه G تشکیل یک گروه بدهد. اگر H زیرگروه G باشد مینویسیم H⊆G.
توجه داشته باشید که از آن جا که H خود یک گروهاست، سایر خواص یک گروه را داراست.قضایای مقدماتیبرای هر گروه Gعنصر همانی G یکتاست.عکس هر عنصر G یکتاست.اگر ac = ab، a,b,c ∈ G در این صورت b = c.(حذف از چپ)اگر ca = ba، a,b,c ∈ G در این صورت b = c.(حذف از راست)برای هر ab)۲ = b۲a۲، a,b ∈ G) اگر و تنها اگر گروه G آبلی باشد.اگر H زیرمجموعهای ناتهی از گروه G باشد، H زیرگروه G است اگر و فقط اگر:H تحت عمل G بسته باشد یعنی برای هر a,b∈H داشته باشیم ab∈HH تحت معکوس هر عضو بسته باشد، یعنی اگر a∈H آنگاه a-۱∈Hشرط تناهی این وضعیت را بهتر میکند:
اگر G گروه باشد و π ≠ H ⊆ G و H متناهی باشد، آن گاه H زیرگروه G است اگر و تنها اگر H تحت عمل دودوی G بسته باشد.فرض کنید (G,ο) و (*,H) دو گروه باشند. عمل دوتایی. را بر G×H به نحو زیر تعریف میکنیم:(g۱,h۱).(g۲,h۲) = (g۱οg۲,h۱*h۲)
در این صورت، (. ,G×H) یک گروهاست و حاصل ضرب مستقیم G و H خوانده میشود.همریختی و یکریختی
گروه G را دوری میگویند اگر یک عنصر x ∈ G وجود داشته باشد به قسمی که برای هر a ∈ G، برای مقداری از n متعلق به N، داشته باشیم: a = xn
مفهوم گروه دوری به مفهوم وابستهای منجر میشود. فرض کنید گروه G را داریم، اگر a ∈ G، مجموعه S= {an>|k∈Z}۰ را در نظر میگیریم. از مطالب ذکر شده به عنوان قضیه میتوان به این نتیجه رسید که S زیر گروه G است. این زیر گروه را زیر گروه تولید شده به وسیله a مینامند و با نمایش میدهند.
در این جا تعداد اعضای S را مرتبه a مینامند و با σ(a)0 نمایش میدهند که در واقع
در این جا قضایای تعیین کننده روابط بین گروه و زیرگروههای آنها را بیان میکنیم.فرض کنید a ∈ G و & sigma;(a) = n. اگر k ∈ Z و ak = e آنگاه n|k.درصورتی که G یک گروه دوری باشد.اگر G متناهی باشد، آنگاه با (+,Z) یکریخت است.اگر مرتبه G برابر با n باشد، آنگاه با (+,Zn) یکریخت است.هر زیرگروه یک گروه دوری، گروهی دوری است.گروه جایگشتی
گروه جایگشتیگروه متناهی
گروه متناهی گروهی است که به مرتبه آن (به مرتبه گروه در همین مقاله مراجعه کنید) نتوان عددی نسبت داد.(تعداد اعضا محدود نباشند)گروه آبلی
گروه آبلی یا تعویض پدیر گروهی است که علاوه بر خصوصیتهای بالا، تعویض پذیر نیز باشد. صفت آبلی به افتخار ریاضیدان نروژِی، نیلس هنریک آبل اختیار شدهاست. برای هر a,b ∈ G، داریم a ο b = b ο aگروه آبلی متناهی
گروههای آبلی متناهی، گروهی است که علاوه بر مرتبه متناهی دارای خاصیت جابجایی در عمل بین اعضای خود باشد.گروه خارج قسمتیگروه خارج قسمتیگروه متقارنگروه متقارنگروه دووجهیگروه دووجهیاصطلاحات موجود در نظریه گروهها
عمل دوتایی - گروه آبلی - زیرگروه - مرکز گروه - هم مجموعهها - مرکز ساز گروه - نرمال ساز گروه - زیرگروه نرمال - مرتبه گروه - مرتبه عضو - گروه دوری - گروه خارج قسمت - گروه متقارن - همومورفیسم - قضایای ایزومورفیسم - حاصل ضرب مستقیم - تزویج - معادله کلاسی - قضیه کیلی - قضیه لاگرانژ - قضیه کوشی - قضایای سیلوتعاریف و ویژگیهای مقدماتیدر صورتی که برای عمل گروه نشانهای در نظر نگیریم به صورت پیش فرض ضربی خواهد بود.توان در گروههای ضربی
برای هر عنصر توان را به صورت زیر تعریف میکنیم:a۰ = e.n ≥0، an+1 = an.aاز طرف دیگر چون هر عنصر گروه عکسی دارد، باید a-n در نظر گرفته شود، برای n ∈ Z+ تعریف میکنیم:همچنین برای am.an = am+nm,n∈ Z وam)n = amn) میباشند.(در مورد گروه با عمل با خواص جمعی خواص متناظر با این موارد مشاهده میشود.)مرتبه گروهوقتی G گروه متناهی است، تعداد عنصرهای آن را مرتبه G مینامند و با |G| نمایش میدهند.
مثلا برای Zn,+)| = n ،n ∈ Z+v)| و برای هر عدد اول p، داریم: Zp*,.)| = p-1)|زیرگروه
زیرمجموعه ناتهی H از گروه G را زیرگروه G میگوییم هرگاه H تحت عمل گروه G تشکیل یک گروه بدهد. اگر H زیرگروه G باشد مینویسیم H⊆G.
توجه داشته باشید که از آن جا که H خود یک گروهاست، سایر خواص یک گروه را داراست.قضایای مقدماتیبرای هر گروه Gعنصر همانی G یکتاست.عکس هر عنصر G یکتاست.اگر ac = ab، a,b,c ∈ G در این صورت b = c.(حذف از چپ)اگر ca = ba، a,b,c ∈ G در این صورت b = c.(حذف از راست)برای هر ab)۲ = b۲a۲، a,b ∈ G) اگر و تنها اگر گروه G آبلی باشد.اگر H زیرمجموعهای ناتهی از گروه G باشد، H زیرگروه G است اگر و فقط اگر:H تحت عمل G بسته باشد یعنی برای هر a,b∈H داشته باشیم ab∈HH تحت معکوس هر عضو بسته باشد، یعنی اگر a∈H آنگاه a-۱∈Hشرط تناهی این وضعیت را بهتر میکند:
اگر G گروه باشد و π ≠ H ⊆ G و H متناهی باشد، آن گاه H زیرگروه G است اگر و تنها اگر H تحت عمل دودوی G بسته باشد.فرض کنید (G,ο) و (*,H) دو گروه باشند. عمل دوتایی. را بر G×H به نحو زیر تعریف میکنیم:(g۱,h۱).(g۲,h۲) = (g۱οg۲,h۱*h۲)
در این صورت، (. ,G×H) یک گروهاست و حاصل ضرب مستقیم G و H خوانده میشود.همریختی و یکریختی