GEB, Глава IV: Непротиворечивость, полнота и геометрия
Смысл рождается из изоморфизма.
Чем сложнее изоморфизм — тем больше "техники" нужно для извлечения смысла.
Ошибка: приписывать значение слову, а не связи между словом и реальностью.
🌀 Как думать, что шум — свойство столкновения, забывая про воздух.
Смысл рождается из изоморфизма.
Чем сложнее изоморфизм — тем больше "техники" нужно для извлечения смысла.
Ошибка: приписывать значение слову, а не связи между словом и реальностью.
🌀 Как думать, что шум — свойство столкновения, забывая про воздух.
GEB, стр. 82–83
Два уровня значения пластинки:
1-й уровень: дорожки → звуки (музыка)
2-й уровень: звуки → вибрация патефона
Второй уровень неявный, но именно он разрушает патефон.
🌀 Неявное значение "атакует".
Два уровня значения пластинки:
1-й уровень: дорожки → звуки (музыка)
2-й уровень: звуки → вибрация патефона
Второй уровень неявный, но именно он разрушает патефон.
🌀 Неявное значение "атакует".
GEB, стр. 84–85
Соответствие "Акростиконтрапунктуса" и теоремы Гёделя:
патефон → система аксиом
"совершенный" патефон → полная система
пластинка → строчка системы
проигрываемая → теорема
непроигрываемая → не-теорема
разбивальная музыка → гёделевское предложение
🌀 Для любого патефона существует пластинка, которую нельзя проиграть.
Соответствие "Акростиконтрапунктуса" и теоремы Гёделя:
патефон → система аксиом
"совершенный" патефон → полная система
пластинка → строчка системы
проигрываемая → теорема
непроигрываемая → не-теорема
разбивальная музыка → гёделевское предложение
🌀 Для любого патефона существует пластинка, которую нельзя проиграть.
GEB, стр. 85
Ключевое соответствие:
Название песни Черепахи:
"Меня нельзя воспроизвести на патефоне Х"
↕️
Неявное значение строчки Гёделя:
"Меня нельзя вывести в формальной системе Х"
🌀 Quaerendo invenietis! (Ищущий да обрящет)
Ключевое соответствие:
Название песни Черепахи:
"Меня нельзя воспроизвести на патефоне Х"
↕️
Неявное значение строчки Гёделя:
"Меня нельзя вывести в формальной системе Х"
🌀 Quaerendo invenietis! (Ищущий да обрящет)
GEB, стр. 87–88
Проблема Евклида: он использовал обычные слова — "точка", "прямая", "круг".
У каждого уже есть ассоциации. Вместо принятия определений — руководствуемся "складом мозга".
Евклид не предупредил: это технические термины! Он считал, что его точки — точки реального мира.
🌀 Так ассоциации проникли в доказательства.
Проблема Евклида: он использовал обычные слова — "точка", "прямая", "круг".
У каждого уже есть ассоциации. Вместо принятия определений — руководствуемся "складом мозга".
Евклид не предупредил: это технические термины! Он считал, что его точки — точки реального мира.
🌀 Так ассоциации проникли в доказательства.
GEB, стр. 89
Пятый постулат Евклида — "гадкий утёнок".
Четыре первых — кратки и элегантны.
Пятый — громоздкий (о параллельных прямых).
Евклид не использовал его в первых 28 доказательствах.
Сотни математиков пытались вывести его из первых четырёх.
К 1763 году — 28 "доказательств". Все ошибочные.
🌀 Путаница интуиции и формальных свойств.
Пятый постулат Евклида — "гадкий утёнок".
Четыре первых — кратки и элегантны.
Пятый — громоздкий (о параллельных прямых).
Евклид не использовал его в первых 28 доказательствах.
Сотни математиков пытались вывести его из первых четырёх.
К 1763 году — 28 "доказательств". Все ошибочные.
🌀 Путаница интуиции и формальных свойств.
GEB, стр. 90–91
Саккери (1667–1733): решил доказать пятый постулат от противного.
Вывел много "странных" теорем... и остановился, найдя нечто "противное самому понятию прямой линии".
Опубликовал: "Евклид, освобождённый от недостатков".
🌀 Он не понял, что открыл гиперболическую геометрию.
Саккери (1667–1733): решил доказать пятый постулат от противного.
Вывел много "странных" теорем... и остановился, найдя нечто "противное самому понятию прямой линии".
Опубликовал: "Евклид, освобождённый от недостатков".
🌀 Он не понял, что открыл гиперболическую геометрию.
GEB, стр. 91
1828: неевклидова геометрия открыта независимо:
• Янош Больяй (21 год, Венгрия)
• Николай Лобачевский (30 лет, Россия)
В тот же год Лежандр "доказал" пятый постулат — ошибочно.
Отец Больяя писал сыну: "Не пытайся! Я прошёл этот путь до конца. Эта бездонная ночь погасила всякий свет в моей жизни."
🌀 Но сын не послушал.
1828: неевклидова геометрия открыта независимо:
• Янош Больяй (21 год, Венгрия)
• Николай Лобачевский (30 лет, Россия)
В тот же год Лежандр "доказал" пятый постулат — ошибочно.
Отец Больяя писал сыну: "Не пытайся! Я прошёл этот путь до конца. Эта бездонная ночь погасила всякий свет в моей жизни."
🌀 Но сын не послушал.
GEB, стр. 92–93
Неопределяемые понятия: "ТОЧКА", "ЛИНИЯ" определяются совокупностью утверждений, в которых встречаются.
Не прямо — через словарь.
А косвенно — через все теоремы.
Как p и r в системе pr.
🌀 Постулаты — косвенные определения.
Неопределяемые понятия: "ТОЧКА", "ЛИНИЯ" определяются совокупностью утверждений, в которых встречаются.
Не прямо — через словарь.
А косвенно — через все теоремы.
Как p и r в системе pr.
🌀 Постулаты — косвенные определения.
GEB, стр. 93
Ключевой вывод:
Непротиворечивость — НЕ свойство формальной системы как таковой.
Она зависит от интерпретации.
Система может казаться противоречивой — пока не найдёшь правильную интерпретацию.
🌀 Как модифицированная pr: противоречива, если r="равняется". Непротиворечива, если r="≥".
Ключевой вывод:
Непротиворечивость — НЕ свойство формальной системы как таковой.
Она зависит от интерпретации.
Система может казаться противоречивой — пока не найдёшь правильную интерпретацию.
🌀 Как модифицированная pr: противоречива, если r="равняется". Непротиворечива, если r="≥".
GEB, стр. 95
Разные виды непротиворечивости:
• Логическая (никакие теоремы не противоречат друг другу)
• Математическая (не нарушают законов математики)
• Физическая (совместимы с законами физики)
• Биологическая...
Граница интересного: между физической и математической.
🌀 Это решают математики и физики — "компания, которую вряд ли можно назвать беспристрастной".
Разные виды непротиворечивости:
• Логическая (никакие теоремы не противоречат друг другу)
• Математическая (не нарушают законов математики)
• Физическая (совместимы с законами физики)
• Биологическая...
Граница интересного: между физической и математической.
🌀 Это решают математики и физики — "компания, которую вряд ли можно назвать беспристрастной".
GEB, стр. 97
Эшер и зрительное восприятие:
Лестницы — "островок уверенности". Мы не можем "перерешить", что это лестницы, а не рыбы.
Когда видим парадокс на высшем уровне — поздно менять интерпретации нижнего.
Выход: оставить линии без интерпретации, как "бессмысленные символы".
🌀 Это и есть "способ U" — дзен-буддистский подход.
Эшер и зрительное восприятие:
Лестницы — "островок уверенности". Мы не можем "перерешить", что это лестницы, а не рыбы.
Когда видим парадокс на высшем уровне — поздно менять интерпретации нижнего.
Выход: оставить линии без интерпретации, как "бессмысленные символы".
🌀 Это и есть "способ U" — дзен-буддистский подход.
GEB, стр. 98–99
Что общего для всех возможных миров?
Математика? Но постулат параллельности не универсален — иначе неевклидова геометрия невозможна!
Логика? Дзен-буддизм принимает и противоречия, и непротиворечия. "Это может показаться непоследовательным, но непоследовательность — органическая часть дзена..."
🌀 Ну что тут можно сказать?
Что общего для всех возможных миров?
Математика? Но постулат параллельности не универсален — иначе неевклидова геометрия невозможна!
Логика? Дзен-буддизм принимает и противоречия, и непротиворечия. "Это может показаться непоследовательным, но непоследовательность — органическая часть дзена..."
🌀 Ну что тут можно сказать?
GEB, стр. 99
Арифметика Пеано — "сердцевина" теории чисел. Как абсолютная геометрия.
Но теория чисел тоже разветвляется! Следствие теоремы Гёделя.
В отличие от геометрии — "сортов" теории чисел бесконечно много.
Для практики все версии одинаковы: мосты строятся одинаково.
🌀 Какой тип теории чисел истинен? Вернёмся после Гёделя.
Арифметика Пеано — "сердцевина" теории чисел. Как абсолютная геометрия.
Но теория чисел тоже разветвляется! Следствие теоремы Гёделя.
В отличие от геометрии — "сортов" теории чисел бесконечно много.
Для практики все версии одинаковы: мосты строятся одинаково.
🌀 Какой тип теории чисел истинен? Вернёмся после Гёделя.
GEB, стр. 100
Непротиворечивость: каждая теорема, будучи интерпретирована, истинна.
"Всё, что производит система — истинно."
Полнота: все истинные утверждения, выразимые в системе — теоремы.
"Всё истинное — производится системой."
Система pr — полна на своём уровне.
Но не говорит, сколько простых чисел.
🌀 Полнота — максимальное признание пассивных значений.
Непротиворечивость: каждая теорема, будучи интерпретирована, истинна.
"Всё, что производит система — истинно."
Полнота: все истинные утверждения, выразимые в системе — теоремы.
"Всё истинное — производится системой."
Система pr — полна на своём уровне.
Но не говорит, сколько простых чисел.
🌀 Полнота — максимальное признание пассивных значений.
GEB, стр. 100
Теорема Гёделя о неполноте:
"Любая ДОСТАТОЧНО МОЩНАЯ система уже в силу своей мощности неполна."
Есть хорошо сформированные строчки, выражающие истины — но не являющиеся теоремами.
Маломощные системы типа pr — полны, но неинтересны.
Мощные системы — неполны.
🌀 Ирония: каждый раз, прибавляя правило, думаем — вот теперь полнота! Но нет.
Теорема Гёделя о неполноте:
"Любая ДОСТАТОЧНО МОЩНАЯ система уже в силу своей мощности неполна."
Есть хорошо сформированные строчки, выражающие истины — но не являющиеся теоремами.
Маломощные системы типа pr — полны, но неинтересны.
Мощные системы — неполны.
🌀 Ирония: каждый раз, прибавляя правило, думаем — вот теперь полнота! Но нет.
GEB: Маленький гармонический лабиринт
Вложенные истории:
1. Ахилл и Черепаха на колесе обозрения
2. → похищены злодеем Удачей
3. → читают книгу в его кабинете
4. → в книге: они смотрят Эшера
5. → пьют ПРОТАЛКИВАЮЩЕЕ ЗЕЛЬЕ → попадают в картину
ВЫТАЛКИВАЮЩАЯ НАСТОЙКА — выводит обратно.
🌀 На каждое проталкивание — одно выталкивание. Стек вызовов.
Вложенные истории:
1. Ахилл и Черепаха на колесе обозрения
2. → похищены злодеем Удачей
3. → читают книгу в его кабинете
4. → в книге: они смотрят Эшера
5. → пьют ПРОТАЛКИВАЮЩЕЕ ЗЕЛЬЕ → попадают в картину
ВЫТАЛКИВАЮЩАЯ НАСТОЙКА — выводит обратно.
🌀 На каждое проталкивание — одно выталкивание. Стек вызовов.
GEB, стр. 108–110
Ахилл хочет 100 желаний вместо 3.
Гений: "Это мета-желание. Не исполняю. БОГ не велит."
Решение: Мета-Лампа → Мета-Гений
→ Мета-Мета-Лампа → Мета-Мета-Гений
→ ...
→ БОГ
Потом стек разворачивается обратно, каждый уровень вдвое медленнее.
🌀 Рекурсия с базовым случаем.
Ахилл хочет 100 желаний вместо 3.
Гений: "Это мета-желание. Не исполняю. БОГ не велит."
Решение: Мета-Лампа → Мета-Гений
→ Мета-Мета-Лампа → Мета-Мета-Гений
→ ...
→ БОГ
Потом стек разворачивается обратно, каждый уровень вдвое медленнее.
🌀 Рекурсия с базовым случаем.
GEB, стр. 111
БОГ — рекурсивное сокращение:
"БОГ, Одолевающий Гения"
→ "БОГ, Одолевающий Гения, Одолевающий Гения"
→ ...
"БОГа невозможно познать до конца."
Черепаха: "Вы верите в БОГа?"
Ахилл: "Конечно!"
Черепаха: "А я — мета-агностик. Сомневаюсь, что я сомневаюсь."
🌀
БОГ — рекурсивное сокращение:
"БОГ, Одолевающий Гения"
→ "БОГ, Одолевающий Гения, Одолевающий Гения"
→ ...
"БОГа невозможно познать до конца."
Черепаха: "Вы верите в БОГа?"
Ахилл: "Конечно!"
Черепаха: "А я — мета-агностик. Сомневаюсь, что я сомневаюсь."
🌀
GEB, стр. 113
Ахилл: "Хочу, чтобы моё желание НЕ исполнилось!"
ПАРАДОКС: исполнить = отказать. Отказать = исполнить.
Результат: система отказала.
Они очнулись в Лимбедламии — "стране перегоревших лампочек, где дремлют программы в ожидании компьютеров".
🌀 Контекст восстановлен неправильно — попали в другую картину Эшера.
Ахилл: "Хочу, чтобы моё желание НЕ исполнилось!"
ПАРАДОКС: исполнить = отказать. Отказать = исполнить.
Результат: система отказала.
Они очнулись в Лимбедламии — "стране перегоревших лампочек, где дремлют программы в ожидании компьютеров".
🌀 Контекст восстановлен неправильно — попали в другую картину Эшера.
GEB, стр. 117–119
Они внутри звуковой дорожки пластинки!
"Маленький гармонический лабиринт" Баха — модуляции кружат голову.
Ахилл принял разрешение в ля-мажор за финал. Но конечная цель — до-мажор!
Черепаха: "Бах хотел заставить вас заблудиться в Лабиринте. Злодей Мажотавр — его сообщник."
🌀 Мажотавр = мажор + Минотавр.
Они внутри звуковой дорожки пластинки!
"Маленький гармонический лабиринт" Баха — модуляции кружат голову.
Ахилл принял разрешение в ля-мажор за финал. Но конечная цель — до-мажор!
Черепаха: "Бах хотел заставить вас заблудиться в Лабиринте. Злодей Мажотавр — его сообщник."
🌀 Мажотавр = мажор + Минотавр.