GEB, стр. 91
1828: неевклидова геометрия открыта независимо:
• Янош Больяй (21 год, Венгрия)
• Николай Лобачевский (30 лет, Россия)
В тот же год Лежандр "доказал" пятый постулат — ошибочно.
Отец Больяя писал сыну: "Не пытайся! Я прошёл этот путь до конца. Эта бездонная ночь погасила всякий свет в моей жизни."
🌀 Но сын не послушал.
1828: неевклидова геометрия открыта независимо:
• Янош Больяй (21 год, Венгрия)
• Николай Лобачевский (30 лет, Россия)
В тот же год Лежандр "доказал" пятый постулат — ошибочно.
Отец Больяя писал сыну: "Не пытайся! Я прошёл этот путь до конца. Эта бездонная ночь погасила всякий свет в моей жизни."
🌀 Но сын не послушал.
GEB, стр. 92–93
Неопределяемые понятия: "ТОЧКА", "ЛИНИЯ" определяются совокупностью утверждений, в которых встречаются.
Не прямо — через словарь.
А косвенно — через все теоремы.
Как p и r в системе pr.
🌀 Постулаты — косвенные определения.
Неопределяемые понятия: "ТОЧКА", "ЛИНИЯ" определяются совокупностью утверждений, в которых встречаются.
Не прямо — через словарь.
А косвенно — через все теоремы.
Как p и r в системе pr.
🌀 Постулаты — косвенные определения.
GEB, стр. 93
Ключевой вывод:
Непротиворечивость — НЕ свойство формальной системы как таковой.
Она зависит от интерпретации.
Система может казаться противоречивой — пока не найдёшь правильную интерпретацию.
🌀 Как модифицированная pr: противоречива, если r="равняется". Непротиворечива, если r="≥".
Ключевой вывод:
Непротиворечивость — НЕ свойство формальной системы как таковой.
Она зависит от интерпретации.
Система может казаться противоречивой — пока не найдёшь правильную интерпретацию.
🌀 Как модифицированная pr: противоречива, если r="равняется". Непротиворечива, если r="≥".
GEB, стр. 95
Разные виды непротиворечивости:
• Логическая (никакие теоремы не противоречат друг другу)
• Математическая (не нарушают законов математики)
• Физическая (совместимы с законами физики)
• Биологическая...
Граница интересного: между физической и математической.
🌀 Это решают математики и физики — "компания, которую вряд ли можно назвать беспристрастной".
Разные виды непротиворечивости:
• Логическая (никакие теоремы не противоречат друг другу)
• Математическая (не нарушают законов математики)
• Физическая (совместимы с законами физики)
• Биологическая...
Граница интересного: между физической и математической.
🌀 Это решают математики и физики — "компания, которую вряд ли можно назвать беспристрастной".
GEB, стр. 97
Эшер и зрительное восприятие:
Лестницы — "островок уверенности". Мы не можем "перерешить", что это лестницы, а не рыбы.
Когда видим парадокс на высшем уровне — поздно менять интерпретации нижнего.
Выход: оставить линии без интерпретации, как "бессмысленные символы".
🌀 Это и есть "способ U" — дзен-буддистский подход.
Эшер и зрительное восприятие:
Лестницы — "островок уверенности". Мы не можем "перерешить", что это лестницы, а не рыбы.
Когда видим парадокс на высшем уровне — поздно менять интерпретации нижнего.
Выход: оставить линии без интерпретации, как "бессмысленные символы".
🌀 Это и есть "способ U" — дзен-буддистский подход.
GEB, стр. 98–99
Что общего для всех возможных миров?
Математика? Но постулат параллельности не универсален — иначе неевклидова геометрия невозможна!
Логика? Дзен-буддизм принимает и противоречия, и непротиворечия. "Это может показаться непоследовательным, но непоследовательность — органическая часть дзена..."
🌀 Ну что тут можно сказать?
Что общего для всех возможных миров?
Математика? Но постулат параллельности не универсален — иначе неевклидова геометрия невозможна!
Логика? Дзен-буддизм принимает и противоречия, и непротиворечия. "Это может показаться непоследовательным, но непоследовательность — органическая часть дзена..."
🌀 Ну что тут можно сказать?
GEB, стр. 99
Арифметика Пеано — "сердцевина" теории чисел. Как абсолютная геометрия.
Но теория чисел тоже разветвляется! Следствие теоремы Гёделя.
В отличие от геометрии — "сортов" теории чисел бесконечно много.
Для практики все версии одинаковы: мосты строятся одинаково.
🌀 Какой тип теории чисел истинен? Вернёмся после Гёделя.
Арифметика Пеано — "сердцевина" теории чисел. Как абсолютная геометрия.
Но теория чисел тоже разветвляется! Следствие теоремы Гёделя.
В отличие от геометрии — "сортов" теории чисел бесконечно много.
Для практики все версии одинаковы: мосты строятся одинаково.
🌀 Какой тип теории чисел истинен? Вернёмся после Гёделя.
GEB, стр. 100
Непротиворечивость: каждая теорема, будучи интерпретирована, истинна.
"Всё, что производит система — истинно."
Полнота: все истинные утверждения, выразимые в системе — теоремы.
"Всё истинное — производится системой."
Система pr — полна на своём уровне.
Но не говорит, сколько простых чисел.
🌀 Полнота — максимальное признание пассивных значений.
Непротиворечивость: каждая теорема, будучи интерпретирована, истинна.
"Всё, что производит система — истинно."
Полнота: все истинные утверждения, выразимые в системе — теоремы.
"Всё истинное — производится системой."
Система pr — полна на своём уровне.
Но не говорит, сколько простых чисел.
🌀 Полнота — максимальное признание пассивных значений.
GEB, стр. 100
Теорема Гёделя о неполноте:
"Любая ДОСТАТОЧНО МОЩНАЯ система уже в силу своей мощности неполна."
Есть хорошо сформированные строчки, выражающие истины — но не являющиеся теоремами.
Маломощные системы типа pr — полны, но неинтересны.
Мощные системы — неполны.
🌀 Ирония: каждый раз, прибавляя правило, думаем — вот теперь полнота! Но нет.
Теорема Гёделя о неполноте:
"Любая ДОСТАТОЧНО МОЩНАЯ система уже в силу своей мощности неполна."
Есть хорошо сформированные строчки, выражающие истины — но не являющиеся теоремами.
Маломощные системы типа pr — полны, но неинтересны.
Мощные системы — неполны.
🌀 Ирония: каждый раз, прибавляя правило, думаем — вот теперь полнота! Но нет.
GEB: Маленький гармонический лабиринт
Вложенные истории:
1. Ахилл и Черепаха на колесе обозрения
2. → похищены злодеем Удачей
3. → читают книгу в его кабинете
4. → в книге: они смотрят Эшера
5. → пьют ПРОТАЛКИВАЮЩЕЕ ЗЕЛЬЕ → попадают в картину
ВЫТАЛКИВАЮЩАЯ НАСТОЙКА — выводит обратно.
🌀 На каждое проталкивание — одно выталкивание. Стек вызовов.
Вложенные истории:
1. Ахилл и Черепаха на колесе обозрения
2. → похищены злодеем Удачей
3. → читают книгу в его кабинете
4. → в книге: они смотрят Эшера
5. → пьют ПРОТАЛКИВАЮЩЕЕ ЗЕЛЬЕ → попадают в картину
ВЫТАЛКИВАЮЩАЯ НАСТОЙКА — выводит обратно.
🌀 На каждое проталкивание — одно выталкивание. Стек вызовов.
GEB, стр. 108–110
Ахилл хочет 100 желаний вместо 3.
Гений: "Это мета-желание. Не исполняю. БОГ не велит."
Решение: Мета-Лампа → Мета-Гений
→ Мета-Мета-Лампа → Мета-Мета-Гений
→ ...
→ БОГ
Потом стек разворачивается обратно, каждый уровень вдвое медленнее.
🌀 Рекурсия с базовым случаем.
Ахилл хочет 100 желаний вместо 3.
Гений: "Это мета-желание. Не исполняю. БОГ не велит."
Решение: Мета-Лампа → Мета-Гений
→ Мета-Мета-Лампа → Мета-Мета-Гений
→ ...
→ БОГ
Потом стек разворачивается обратно, каждый уровень вдвое медленнее.
🌀 Рекурсия с базовым случаем.
GEB, стр. 111
БОГ — рекурсивное сокращение:
"БОГ, Одолевающий Гения"
→ "БОГ, Одолевающий Гения, Одолевающий Гения"
→ ...
"БОГа невозможно познать до конца."
Черепаха: "Вы верите в БОГа?"
Ахилл: "Конечно!"
Черепаха: "А я — мета-агностик. Сомневаюсь, что я сомневаюсь."
🌀
БОГ — рекурсивное сокращение:
"БОГ, Одолевающий Гения"
→ "БОГ, Одолевающий Гения, Одолевающий Гения"
→ ...
"БОГа невозможно познать до конца."
Черепаха: "Вы верите в БОГа?"
Ахилл: "Конечно!"
Черепаха: "А я — мета-агностик. Сомневаюсь, что я сомневаюсь."
🌀
GEB, стр. 113
Ахилл: "Хочу, чтобы моё желание НЕ исполнилось!"
ПАРАДОКС: исполнить = отказать. Отказать = исполнить.
Результат: система отказала.
Они очнулись в Лимбедламии — "стране перегоревших лампочек, где дремлют программы в ожидании компьютеров".
🌀 Контекст восстановлен неправильно — попали в другую картину Эшера.
Ахилл: "Хочу, чтобы моё желание НЕ исполнилось!"
ПАРАДОКС: исполнить = отказать. Отказать = исполнить.
Результат: система отказала.
Они очнулись в Лимбедламии — "стране перегоревших лампочек, где дремлют программы в ожидании компьютеров".
🌀 Контекст восстановлен неправильно — попали в другую картину Эшера.
GEB, стр. 117–119
Они внутри звуковой дорожки пластинки!
"Маленький гармонический лабиринт" Баха — модуляции кружат голову.
Ахилл принял разрешение в ля-мажор за финал. Но конечная цель — до-мажор!
Черепаха: "Бах хотел заставить вас заблудиться в Лабиринте. Злодей Мажотавр — его сообщник."
🌀 Мажотавр = мажор + Минотавр.
Они внутри звуковой дорожки пластинки!
"Маленький гармонический лабиринт" Баха — модуляции кружат голову.
Ахилл принял разрешение в ля-мажор за финал. Но конечная цель — до-мажор!
Черепаха: "Бах хотел заставить вас заблудиться в Лабиринте. Злодей Мажотавр — его сообщник."
🌀 Мажотавр = мажор + Минотавр.
GEB, стр. 121–122
Вытаскин нашёлся в логове Мажотавра!
Выпили — ХЛОП! — вытолкнулись.
Потом ещё раз вверх — вышли из картины.
Оказались не у Ахилла дома, а у Черепахи.
"Вот это удача так удача!"
🌀 А настоящие Ахилл и Черепаха так и остались в вертолете злодея Удачи. Недовытолкнутое проталкивание.
ГЛАВА IV ЗАВЕРШЕНА.
Вытаскин нашёлся в логове Мажотавра!
Выпили — ХЛОП! — вытолкнулись.
Потом ещё раз вверх — вышли из картины.
Оказались не у Ахилла дома, а у Черепахи.
"Вот это удача так удача!"
🌀 А настоящие Ахилл и Черепаха так и остались в вертолете злодея Удачи. Недовытолкнутое проталкивание.
ГЛАВА IV ЗАВЕРШЕНА.
GEB, Глава V: Рекурсивные структуры и процессы
Рекурсия = вложенность схем одна в другую.
Рассказы внутри рассказов, фильмы внутри фильмов, картины внутри картин, матрёшки внутри матрёшек (даже скобки внутри скобок!)
Термины:
• Проталкивание — прервать, запомнить, начать новое
• Выталкивание — закончить, вернуться к прерванному
• Стек — таблица "где остановились"
🌀 Подносы в кафетерии.
Рекурсия = вложенность схем одна в другую.
Рассказы внутри рассказов, фильмы внутри фильмов, картины внутри картин, матрёшки внутри матрёшек (даже скобки внутри скобок!)
Термины:
• Проталкивание — прервать, запомнить, начать новое
• Выталкивание — закончить, вернуться к прерванному
• Стек — таблица "где остановились"
🌀 Подносы в кафетерии.
GEB, стр. 126
Рекурсия в немецком: "глагол-в-конце".
Забавные истории о профессорах, начинающих фразу, продолжающуюся всю лекцию, и под завязку выдающих цепочку глаголов, в которой аудитория, давно потерявшая нить в этом стеке, не видит никакого смысла, часто рассказываются.
Замешательство, которое неправильное выталкивание глаголов, забавно вообразить, может произвести.
🌀 Сама структура фразы — рекурсия.
Рекурсия в немецком: "глагол-в-конце".
Забавные истории о профессорах, начинающих фразу, продолжающуюся всю лекцию, и под завязку выдающих цепочку глаголов, в которой аудитория, давно потерявшая нить в этом стеке, не видит никакого смысла, часто рассказываются.
Замешательство, которое неправильное выталкивание глаголов, забавно вообразить, может произвести.
🌀 Сама структура фразы — рекурсия.
GEB, стр. 127
Схемы рекурсивных переходов (СРП):
СВЕРХУКРАШЕННОЕ СУЩЕСТВИТЕЛЬНОЕ вызывает... СВЕРХУКРАШЕННОЕ СУЩЕСТВИТЕЛЬНОЕ.
"Это выглядит как порочный круг — определение чего-либо в терминах его самого. Действительно ли это происходит?"
"Да, но это не страшно."
🌀 Рекурсия — не порочный круг, если есть базовый случай.
Схемы рекурсивных переходов (СРП):
СВЕРХУКРАШЕННОЕ СУЩЕСТВИТЕЛЬНОЕ вызывает... СВЕРХУКРАШЕННОЕ СУЩЕСТВИТЕЛЬНОЕ.
"Это выглядит как порочный круг — определение чего-либо в терминах его самого. Действительно ли это происходит?"
"Да, но это не страшно."
🌀 Рекурсия — не порочный круг, если есть базовый случай.
GEB, стр. 129
Гетерархия: программа без "высшего уровня".
Семейство процедур, вызывающих друг друга и самих себя.
Термин изобретён Уорреном Мак Каллохом — одним из первых кибернетиков.
Противоположность иерархии.
🌀 "Рисующие руки" Эшера — каждая рука рисует другую.
Гетерархия: программа без "высшего уровня".
Семейство процедур, вызывающих друг друга и самих себя.
Термин изобретён Уорреном Мак Каллохом — одним из первых кибернетиков.
Противоположность иерархии.
🌀 "Рисующие руки" Эшера — каждая рука рисует другую.
GEB, стр. 133–134
Хаотическая последовательность Q(n):
Q(n) = Q(n – Q(n-1)) + Q(n – Q(n-2))
1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 9, 10...
"Хаос, полученный упорядоченным способом."
Список уже известных чисел используется для расширения самого ряда.
🌀 Есть ли скрытый порядок в кажущемся хаосе?
Хаотическая последовательность Q(n):
Q(n) = Q(n – Q(n-1)) + Q(n – Q(n-2))
1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 9, 10...
"Хаос, полученный упорядоченным способом."
Список уже известных чисел используется для расширения самого ряда.
🌀 Есть ли скрытый порядок в кажущемся хаосе?
GEB, стр. 134–135
График INT(x) — фрактал.
Состоит из бесконечного числа изогнутых кусочков.
Каждый кусочек — копия всего графика!
"Любая, сколь угодно малая часть графика содержит полную копию целого — на самом деле, бесконечное их количество."
🌀 Слишком круговое определение? Нет — нужен ещё "скелет" (где копии и как деформированы).
График INT(x) — фрактал.
Состоит из бесконечного числа изогнутых кусочков.
Каждый кусочек — копия всего графика!
"Любая, сколь угодно малая часть графика содержит полную копию целого — на самом деле, бесконечное их количество."
🌀 Слишком круговое определение? Нет — нужен ещё "скелет" (где копии и как деформированы).