GEB, стр. 166
Земной шовинизм.
Вес зависит от планеты. Масса — нет.
Значение зависит от типа разума?
Метеорит протыкает пластинку Баха. Тупица? Или у него "высший разум", который мы не можем обнаружить?
🌀 Нужно определить разум НЕ через "интерпретирует так же, как мы" — иначе доказательство круговое.
Земной шовинизм.
Вес зависит от планеты. Масса — нет.
Значение зависит от типа разума?
Метеорит протыкает пластинку Баха. Тупица? Или у него "высший разум", который мы не можем обнаружить?
🌀 Нужно определить разум НЕ через "интерпретирует так же, как мы" — иначе доказательство круговое.
GEB, стр. 167–168
Длинный генотип vs краткий.
Краткий: (1, 1) — пусковой механизм, кнопки автомата.
Длинный: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... — содержит внешнее сообщение.
Разница: из длинного можно вывести правило (рекурсию).
Из краткого — нет.
🌀 Ясность внешнего сообщения зависит от его длины — как при расшифровке текстов.
Длинный генотип vs краткий.
Краткий: (1, 1) — пусковой механизм, кнопки автомата.
Длинный: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... — содержит внешнее сообщение.
Разница: из длинного можно вывести правило (рекурсию).
Из краткого — нет.
🌀 Ясность внешнего сообщения зависит от его длины — как при расшифровке текстов.
GEB, стр. 168–169
Бах vs Кейдж: парадокс.
Кейдж — "простой" (случайный), но требует знания всей западной культуры.
Бах — "сложный" (организованный), но не нуждается в словах.
"Разум любит организованность и избегает случайности."
🌀 В музыке Баха больше внутреннего значения.
ГЛАВА VI ЗАВЕРШЕНА.
Бах vs Кейдж: парадокс.
Кейдж — "простой" (случайный), но требует знания всей западной культуры.
Бах — "сложный" (организованный), но не нуждается в словах.
"Разум любит организованность и избегает случайности."
🌀 В музыке Баха больше внутреннего значения.
ГЛАВА VI ЗАВЕРШЕНА.
GEB: Хроматическая фантазия и фига
— Ваш панцирь зеленый.
— Да.
— Значит, он зеленый?
— Нет, он не зеленый.
Как соединить два истинных предложения?
"У людей пять пальцев" — истина.
"В этом предложении пять слов" — истина.
А теперь вместе:
"У людей пять пальцев И в этом предложении пять слов."
🌀 Автореференция ломает логику соединения.
— Ваш панцирь зеленый.
— Да.
— Значит, он зеленый?
— Нет, он не зеленый.
Как соединить два истинных предложения?
"У людей пять пальцев" — истина.
"В этом предложении пять слов" — истина.
А теперь вместе:
"У людей пять пальцев И в этом предложении пять слов."
🌀 Автореференция ломает логику соединения.
GEB, Глава VII: Исчисление высказываний
Формальная система для логики.
Символы:
∧ — "и"
∨ — "или"
⊃ — "если... то"
~ — "не"
Строим теоремы по правилам, но... аксиом нет!
🌀 Откуда берутся теоремы?
Формальная система для логики.
Символы:
∧ — "и"
∨ — "или"
⊃ — "если... то"
~ — "не"
Строим теоремы по правилам, но... аксиом нет!
🌀 Откуда берутся теоремы?
GEB, стр. 177
Правило фантазии — фабрикует теоремы "из воздуха".
Возьмите любую строчку x. Спросите: "Что если бы x была теоремой?"
Выведите из x строчку y.
Результат: <x⊃y> — настоящая теорема!
🌀 [ — вход в фантазию (push)
] — выход из фантазии (pop)
Правило фантазии — фабрикует теоремы "из воздуха".
Возьмите любую строчку x. Спросите: "Что если бы x была теоремой?"
Выведите из x строчку y.
Результат: <x⊃y> — настоящая теорема!
🌀 [ — вход в фантазию (push)
] — выход из фантазии (pop)
GEB, стр. 178–179
Фантазия внутри фантазии.
Как фильм внутри фильма — выталкиваясь, вы в "более реальном" мире, но ещё не в настоящем.
Правило переноса: из реальности в фантазию — можно.
Из фантазии в реальность — НЕЛЬЗЯ.
🌀 Табличка "НЕ КУРИТЬ" относится к зрителям, но не к актёрам на экране.
Фантазия внутри фантазии.
Как фильм внутри фильма — выталкиваясь, вы в "более реальном" мире, но ещё не в настоящем.
Правило переноса: из реальности в фантазию — можно.
Из фантазии в реальность — НЕЛЬЗЯ.
🌀 Табличка "НЕ КУРИТЬ" относится к зрителям, но не к актёрам на экране.
GEB, стр. 182–183
Дзен-коан "Топор Ганто" в исчислении высказываний:
"Если скажете хоть слово — отрублю головы.
Если НЕ скажете — тоже отрублю."
P = "скажете слово"
Q = "отрублю головы"
Угроза: <<P⊃Q>∧<~P⊃Q>>
Вывод на 24 строчки...
🌀 Результат: Q неизбежно. Головы будут отрублены.
Дзен-коан "Топор Ганто" в исчислении высказываний:
"Если скажете хоть слово — отрублю головы.
Если НЕ скажете — тоже отрублю."
P = "скажете слово"
Q = "отрублю головы"
Угроза: <<P⊃Q>∧<~P⊃Q>>
Вывод на 24 строчки...
🌀 Результат: Q неизбежно. Головы будут отрублены.
GEB, стр. 183–184
Конец коана "Топор Ганто":
Монахи продолжали медитировать, словно ничего не слышали.
Ганто опустил топор: "Вы — настоящие дзен-буддисты!"
🌀 Логика говорит: Q неизбежно.
Дзен отвечает: правила игры — не единственная реальность.
Конец коана "Топор Ганто":
Монахи продолжали медитировать, словно ничего не слышали.
Ганто опустил топор: "Вы — настоящие дзен-буддисты!"
🌀 Логика говорит: Q неизбежно.
Дзен отвечает: правила игры — не единственная реальность.
GEB, стр. 186
Яйцо и доказательства.
Скорлупа защищает, но для путешествия — упакуйте в коробку.
Для надёжности — в несколько вложенных коробок.
Но сколько бы ни было коробок, всегда можно вообразить катастрофу.
"Нам всегда приходится принимать на веру состоятельность самой внешней из систем."
🌀 Рано или поздно нужно просто поверить.
Яйцо и доказательства.
Скорлупа защищает, но для путешествия — упакуйте в коробку.
Для надёжности — в несколько вложенных коробок.
Но сколько бы ни было коробок, всегда можно вообразить катастрофу.
"Нам всегда приходится принимать на веру состоятельность самой внешней из систем."
🌀 Рано или поздно нужно просто поверить.
GEB, стр. 187–189
Доказательство vs Вывод.
Доказательство — неформальное, на человеческом языке.
Вывод — формальный, простейшие шаги.
Парадокс:
• Доказательство "просто" — каждый шаг кажется верным.
• Вывод "прост" — каждый шаг элементарен.
Но доказательство скрывает сложность языка.
А вывод — сложность астрономической длины.
🌀 "Цена за упрощение каждого шага."
Доказательство vs Вывод.
Доказательство — неформальное, на человеческом языке.
Вывод — формальный, простейшие шаги.
Парадокс:
• Доказательство "просто" — каждый шаг кажется верным.
• Вывод "прост" — каждый шаг элементарен.
Но доказательство скрывает сложность языка.
А вывод — сложность астрономической длины.
🌀 "Цена за упрощение каждого шага."
GEB, стр. 189–190
<<P∧~P>⊃Q>
"Из противоречия следует что угодно."
В формальных системах противоречие = глобальный рак. Заражает всё.
Но человеческое мышление — не так! Мы ищем и чиним источник противоречия. Не верим всему подряд.
🌀 Противоречия — источник прогресса, не краха.
ГЛАВА VII ЗАВЕРШЕНА.
<<P∧~P>⊃Q>
"Из противоречия следует что угодно."
В формальных системах противоречие = глобальный рак. Заражает всё.
Но человеческое мышление — не так! Мы ищем и чиним источник противоречия. Не верим всему подряд.
🌀 Противоречия — источник прогресса, не краха.
ГЛАВА VII ЗАВЕРШЕНА.
GEB: Крабий канон
Диалог-палиндром!
Ахилл и Черепаха встречаются в парке.
Краб врывается с синяком и длинной тирадой.
Форма диалога = крабий канон в музыке:
Тема идёт одновременно вперёд И назад.
🌀 Реплики зеркалятся от центра к краям.
Диалог-палиндром!
Ахилл и Черепаха встречаются в парке.
Краб врывается с синяком и длинной тирадой.
Форма диалога = крабий канон в музыке:
Тема идёт одновременно вперёд И назад.
🌀 Реплики зеркалятся от центра к краям.
GEB, Глава VIII: Типографская теория чисел (ТТЧ)
Построение Гёделя описывает форму И содержание строчек в одной системе.
ТТЧ — формальная система для арифметики.
Базовые понятия:
• Сложение
• Умножение
• Равенство
"Простое число", "куб", "чётное" — НЕ примитивы. Выражаются через базовые.
🌀 Система, способная взглянуть на саму себя.
Построение Гёделя описывает форму И содержание строчек в одной системе.
ТТЧ — формальная система для арифметики.
Базовые понятия:
• Сложение
• Умножение
• Равенство
"Простое число", "куб", "чётное" — НЕ примитивы. Выражаются через базовые.
🌀 Система, способная взглянуть на саму себя.
GEB, стр. 199–201
Синтаксис ТТЧ:
Числа:
0, S0, SS0, SSS0... (S = "следующий за")
Переменные: a, b, c, d, e
Кванторы:
∃b: — "существует b такое, что..."
∀b: — "для всех b..."
Свободная переменная → открытая формула (не истина/ложь).
Квантифицированная → замкнутая (высказывание).
🌀 "Она неуклюжа" — ждёт контекста.
Синтаксис ТТЧ:
Числа:
0, S0, SS0, SSS0... (S = "следующий за")
Переменные: a, b, c, d, e
Кванторы:
∃b: — "существует b такое, что..."
∀b: — "для всех b..."
Свободная переменная → открытая формула (не истина/ложь).
Квантифицированная → замкнутая (высказывание).
🌀 "Она неуклюжа" — ждёт контекста.
GEB, стр. 203–205
Трюки ТТЧ:
"b положительно" → используй Sb (минимум = S0 = 1)
"b больше 1" → используй SSb (минимум = 2)
5 — простое число:
~∃b:∃c:SSSSS0=(SSb·SSc)
"Нет чисел, которые при +2 и умножении дают 5."
Бесконечность простых:
∀d:∃e:~∃b:∃c:(d+Se)=(SSb·SSc)
🌀 Одно высказывание — бесконечность переводов.
Трюки ТТЧ:
"b положительно" → используй Sb (минимум = S0 = 1)
"b больше 1" → используй SSb (минимум = 2)
5 — простое число:
~∃b:∃c:SSSSS0=(SSb·SSc)
"Нет чисел, которые при +2 и умножении дают 5."
Бесконечность простых:
∀d:∃e:~∃b:∃c:(d+Se)=(SSb·SSc)
🌀 Одно высказывание — бесконечность переводов.
GEB, стр. 209
Пять аксиом ТТЧ (Пеано):
1. ∀a:~Sa=0 (0 не следует ни за чем)
2. ∀a:(a+0)=a
3. ∀a:∀b:(a+Sb)=S(a+b)
4. ∀a:(a·0)=0
5. ∀a:∀b:(a·Sb)=((a·b)+a)
"Всё остальное можно вывести путём логических рассуждений."
🌀 Джузеппе Пеано, 1889 год.
Пять аксиом ТТЧ (Пеано):
1. ∀a:~Sa=0 (0 не следует ни за чем)
2. ∀a:(a+0)=a
3. ∀a:∀b:(a+Sb)=S(a+b)
4. ∀a:(a·0)=0
5. ∀a:∀b:(a·Sb)=((a·b)+a)
"Всё остальное можно вывести путём логических рассуждений."
🌀 Джузеппе Пеано, 1889 год.
GEB, стр. 210–212
Правила ТТЧ:
Спецификация: ∀u:x → x (можно убрать квантор и подставить терм)
Обобщение: x → ∀u:x (можно вернуть квантор)
Обмен: ∀u:~x ↔ ~∃u:x
Существование: от "2 простое" к "∃ простое"
Следование: r=t → Sr=St
🌀 Правила начинают приближаться к рассуждениям математиков.
Правила ТТЧ:
Спецификация: ∀u:x → x (можно убрать квантор и подставить терм)
Обобщение: x → ∀u:x (можно вернуть квантор)
Обмен: ∀u:~x ↔ ~∃u:x
Существование: от "2 простое" к "∃ простое"
Следование: r=t → Sr=St
🌀 Правила начинают приближаться к рассуждениям математиков.
GEB, стр. 213
Пример вывода в ТТЧ:
(S0+S0) = SS0 ("1+1=2")
14 шагов от аксиом!
Ловушка: манипулируя знакомыми символами (=), не торопитесь.
Следуйте правилам, а не знанию "пассивных значений".
🌀 Интуиция ведёт — но не заменяет формальный вывод.
Пример вывода в ТТЧ:
(S0+S0) = SS0 ("1+1=2")
14 шагов от аксиом!
Ловушка: манипулируя знакомыми символами (=), не торопитесь.
Следуйте правилам, а не знанию "пассивных значений".
🌀 Интуиция ведёт — но не заменяет формальный вывод.
GEB, стр. 215–216
ω-неполнота:
Все строчки пирамиды — теоремы:
(0+0)=0, (0+S0)=S0, (0+SS0)=SS0...
Но суммирующая ∀a:(0+a)=a — НЕ теорема!
Можно сделать "неевклидову ТТЧ" — добавить её ОТРИЦАНИЕ как аксиому.
Система останется непротиворечивой (нет x и ~x одновременно).
🌀 Экстранатуральные числа — числа без символов. БОГ как образ.
ω-неполнота:
Все строчки пирамиды — теоремы:
(0+0)=0, (0+S0)=S0, (0+SS0)=SS0...
Но суммирующая ∀a:(0+a)=a — НЕ теорема!
Можно сделать "неевклидову ТТЧ" — добавить её ОТРИЦАНИЕ как аксиому.
Система останется непротиворечивой (нет x и ~x одновременно).
🌀 Экстранатуральные числа — числа без символов. БОГ как образ.
GEB, стр. 217–218
Правило индукции (5-й постулат Пеано):
Если:
• X[0] — теорема
• ∀u:(X[u]⊃X[Su]) — теорема
То:
• ∀u:X[u] — теорема
"Гений передаёт послание своему мета-гению."
Если цепочка начинается — послание дойдёт до БОГа!
🌀 Так ∀a:(0+a)=a становится теоремой.
Правило индукции (5-й постулат Пеано):
Если:
• X[0] — теорема
• ∀u:(X[u]⊃X[Su]) — теорема
То:
• ∀u:X[u] — теорема
"Гений передаёт послание своему мета-гению."
Если цепочка начинается — послание дойдёт до БОГа!
🌀 Так ∀a:(0+a)=a становится теоремой.