И признак равногранного тетраэдра, и его обобщение выше совсем легко следует из теоремы Минковского о ежах.

Про теорему Минковского и ее следствия можно послушать лекцию В.Ю.Протасова на ЛШСМ-2019 (рассуждение про тетраэдры примерно через 30 минут от начала).

Видео: http://www.mathnet.ru/present24980

Всероссийская олимпиада 2022, региональный этап, первый день, задача 9.5.

Пусть CE — биссектриса в остроугольном треугольнике ABC. На внешней биссектрисе угла ACB отмечена точка D, а на стороне BC — точка F, причем ∠BAD=90°=∠DEF. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника CEF, лежит на прямой BD.

O - центр квадрата ABCD. Полуокружности, построенные на диаметрах BС и AO, пересекаются в точке E (отличной от O). Докажите наглядно *), что длина DE равна стороне квадрата.

*) слово "наглядно" означает, что решение в духе "напишем уравнения окружностей, найдем координаты E и вычислим расстояние DE по теореме Пифагора" - это не то, что хочется увидеть автору задачи.

Забавное утверждение, которого я почему-то до сегодняшнего дня не знал. Если есть две параболы с параллельными осями симметрии, то их общая хорда делит отрезок общей касательной пополам.

Среди всяких теорем о касающихся окружностях есть, конечно, не мало удивительных. Но вот, так называемая, теорема о семи окружностях это сравнительно недавнее изобретение. Этот факт был обнаружен только в 1974-м году тремя авторами (Evelyn, Money-Coutts, and Tyrrell). Утверждение состоит в следующем.

Шесть окружностей (синих) составляют окружностей, касающихся друг друга по цепочке и касающихся данной красной окружности. Тогда диагонали шестиугольника с вершинами в точках касания пересекаются в одной точке.

перевод фрагмента книги «Теорема о семи окружностях и другие новые теоремы» Ивлина, Мани-Каутса и Тиррелла (в т.ч. доказательство теоремы о семи окружностях) напечатан в выпуске 23 «Математического просвещения»
http://mi.mathnet.ru/mp927

а в выпуске 25 есть другое доказательство теоремы о семи окружностях от Глеба Минаева
http://mi.mathnet.ru/mp965

появилась видеозапись рассказа Димы Швецова про вписанную окружность (семинар учителей математики 20.01.2022, МЦНМО):

https://youtu.be/OngSmVd60t4
https://mccme.ru/nir/seminar/

Привет! На связи бот Поли 🤖
⠀
Я помогу тебе подготовиться к ЕГЭ, определиться с вузом и не пропустить важные даты!

Специально для тех, кто еще не определился с профессией, у меня есть профориентационный тест, советую начать с него 📲
⠀
Обещаю присылать только полезную информацию и не спамить 👋

Подпишись, бот Поли — лучший друг и помощник абитуриента.

#реклама

https://www.iucr.org/news/newsletter/volume-27/number-3/deformed-penrose-tiling-and-quasicrystals

картинки по выходным: мозаика Пенроуза и ее деформации

Онлайн-ярмарка образовательных товаров и услуг

Приглашаем участвовать в онлайн-ярмарке образовательных товаров и услуг в канале matolimp. Аудитория канала и групп matolimp — родители школьников из Москвы, интересующиеся олимпиадами и поступлением в топовые школы.

Расскажите на Ярмарке о кружках для школьников, индивидуальных и групповых занятиях, весенних и летних лагерях, офлайн и онлайн интенсивах, об образовательных онлайн-сервисах и платформах, об экскурсиях — обо всём, что может быть интересно родителям мотивированных школьников из Москвы.

Ярмарка пройдёт с 4 по 10 марта. Госшколы, компании с госденьгами и специальные гости могут размещаться бесплатно, для остальных стоимость участия от 3000 рублей в зависимости от типа услуги и параметров объявления. При самом раннем (до 18 февраля) и раннем (до 25 февраля) бронировании действуют скидки до 15%..

Участвуйте сами и расскажите другим руководителям образовательных проектов о ярмарке в канале @matolimp
Условия участия, отзывы участников прошлых ярмарок и более подробную информацию можно получить у @maxim_dmitriev
#реклама

Разрезаем квадрат на шесть частей и складываем из них круг — https://www.quantamagazine.org/an-ancient-geometry-problem-falls-to-new-mathematical-techniques-20220208/

Картинка красивая, но правду тоже надо сказать.

В исходной статье количество частей явно не написано, но есть доклад одного из авторов про это: https://www.math.ucla.edu/~marks/talks/2017_02_circle_squaring.pdf — и там явно сказано, что «Our equidecomposition of the circle and square uses ≈ 10^200 pieces».
Так что 6 частей на картинке — это фантазия художника и низкое разрешение.

в качестве картинок по выходным — португальские изразцы (азулежу) 18 века с геометрическими теоремами

(конкретно здесь предложение 3 книги 6 «Начал»: биссектриса делит сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам)

подробности: Euclid in tiles: the mathematical azulejos of the Jesuit college in Coimbra, https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s00591-014-0130-8.pdf

В четырёхугольнике ABCD известно, что AB=BC=CD, ∠A = 70° и ∠B = 100°. Чему могут быть равны углы C и D?

(задача с сегодняшнего Матпраздника; автор М.А.Волчкевич)

В недавнем видео, посвящённом задачам Г.Б.Филипповского, Дмитрий Швецов и Дмитрий Мухин разбирали такую задачу на построение:

Дан треугольник, а также вписанная в него окружность (с центром) и описанная вокруг него окружность (без центра). С помощью одной линейки постройте диаметр этой окружности, проведя не более семи прямых.

Решение, которое они рассказали, начиналось с идеи "нам не нужна вписанная окружность, достаточно иметь ее центр".

Докажите, что если кроме центра, все-таки использовать еще и точки касания вписанной окружности со сторонами, то для построения медианы треугольника (одной линейкой) достаточно трёх прямых, а для построения диаметра - пяти прямых.

То самое видео по задачам Григория Борисовича Филипповского.

https://youtu.be/dOjrO6K6WDM

Предельно наглядно: среднее арифметическое всегда не меньше среднего геометрического
https://medium.com/@satoshihgsn/visual-proof-of-inequality-of-arithmetic-and-geometric-means-am-gm-inequality-a-b-2-ab-d7ec78e05292

плакат для кабинета математики с разными геометрическими интерпретациями неравенств о средних

картинка: https://zadachi.mccme.ru/plak/estimates.jpg
версия для типографии: https://zadachi.mccme.ru/plak/estimates.pdf
этот и другие плакаты М.Панова: https://zadachi.mccme.ru/plak/

Дан треугольник и вписанная в него окружность (с отмеченным центром и точками касания сторон). Как построить одной линейкой медиану треугольника?

Коллега Кноп рассказал в чате рецепт — вот он на картинке (соединяем две точки касания и пересекаем с нормалью в третьей точке касания — получается точка на медиане).

Доказать это — на удивление непросто. Завтра будет решение (а может и не одно).

Контекст: https://news.1rj.ru/str/geometrykanal/1929 и https://news.1rj.ru/str/c/1141607031/25034

Напоминание про прямую Симсона: проекции точки описанной окружности на стороны треугольника лежат на одной прямой; и наоборот, если проекции точки на стороны треугольника лежат на одной прямой, то точка лежит на описанной окружности.

Обсуждение (в т.ч. разные доказательства): https://vk.com/@olympgeom-pro-pryamuu-simsona